平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

1、復習引入.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或我們學過兩向量的和與差可以轉(zhuǎn)化為它們相應我們學過兩向量的和與差可以轉(zhuǎn)化為它們相應的坐標來運算的坐標來運算, ,那么怎樣用那么怎樣用呢？的坐標表示和baba 在直角坐標系中，已知兩個非零向量在直角坐標系中，已知兩個非零向量a = （x1，y1），）， b = （x2，y2），）， 如何用如何用a 與與b的坐標表示的坐標表示a b Y A（x1,y1）aB(x2，y2)b Oija = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j X _ _ _ _ ii jj jiij單位向量單位向量i 、j 分別與分別

2、與x 軸軸、y 軸方向相同，求軸方向相同，求1100 jyixjyixba22112211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和和.1212a bx xy y 在坐標平面在坐標平面xoy內(nèi)，已知內(nèi)，已知 (x1，y1)， (x2，y2)，則則ab求求 例例 1:已知已知 (1,3 )， ( 2,23 ),abba解： 1(2)3234;ab1、平面向量數(shù)量積的坐標表示、平面向量數(shù)量積的坐標表示練習：練習： 則則 ),4 , 3(),1, 3(),2 , 1 (cba_)(cba( 13, 26)

3、；或aaaaaa2)1(221221221122222),(),2,),() 1 (yyxxAByxByxAyxayxayxa（則、（設(shè)）兩點間的距離公式（；或則設(shè)向量的模2、向量的模和兩點間的距離公式用于計算向量的模用于計算向量的模22,ax yaxy(1).設(shè)則 .,2212212211yyxxayxyxa那么點的坐標分別為的有向線段的起點和終如果表示向量即平面內(nèi)兩點間的距離公式即平面內(nèi)兩點間的距離公式求求| |,| | 例例 1:已知已知 (1,3 )， ( 2,23 ),abab 12(3 )22,a ( 2)2(23 )2 4,b(3,3)ab|ab22|3(3)122 3ab 3、

4、兩向量夾角公式的坐標運算、兩向量夾角公式的坐標運算bababacos1800則），（的夾角為與設(shè)0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中則，夾角為與且（設(shè)向量夾角公式的坐標式：向量夾角公式的坐標式：121222221122cosx xy yxyxy 例例 1:已知已知a(1，3 )，b( 2，23 ),求a與b的夾角.cos ,424aba b12 60(x1，y1)， (x2，y2)，則則ab0baba垂直垂直0),(),21212211yyxxbayxbyxa則（設(shè)4、兩向量垂直的坐標表示0a bab

5、 例 2：已知a(5, 0)，b(3.2, 2.4), 求證：(ab)b .證明：(ab)babb2 5(3.2)02.4(3.2)22.42 0 (ab)b12120 x xy y 與與 垂直：垂直：ab(x1，y1)， (x2，y2)，則則ab練習：練習： 且且 起點坐標為起點坐標為( 1, 2) 終點坐標為終點坐標為( x, 3x), 則則 ,),4 , 3(abab_b4 115 5（，） 例例3:已知已知A（1、2），），B（2，3），），C（ 2，5），）， 求證求證ABC是直角三角形是直角三角形證明證明: :AB = （2 1，3 2）= （1，1） AC = （2 1，5 2）

6、= （3，3）AB AC = 1（3）+ 1 3 = 0ABACABC是直角三角形 注：兩個向量的注：兩個向量的數(shù)量積是否為零數(shù)量積是否為零是判斷相應的兩條直線是判斷相應的兩條直線是否垂直是否垂直的重要方法之一的重要方法之一。 ABCO如證明四邊形是矩形，三角形的高，菱形對角線垂直等如證明四邊形是矩形，三角形的高，菱形對角線垂直等.XY(0/)abab b 0a bab 12210 x yx y12120 x xy y例例4:已知已知 ,當當k取何值時取何值時,1). 與與 垂直垂直?2). 與與 平行平行? 平行時它們是同向平行時它們是同向還是反向還是反向?2 , 3,2 , 1babakb

7、a3bakba35、兩向量垂直、平行的坐標表示(x1，y1)， (x2，y2)，則則ab分析分析:由已知啟發(fā)我們先用坐標表示向量由已知啟發(fā)我們先用坐標表示向量 然后用兩個向量平行和垂直的充要條件來解答。然后用兩個向量平行和垂直的充要條件來解答。2 , 3,2 , 1babakba3bakba3例例4:已知已知 ,當當k取何值時取何值時,1). 與與 垂直垂直?2). 與與 平行平行? 平行時它們是同向還是反向平行時它們是同向還是反向?解解：1） 22 , 32 , 32 , 1kkkbak 4,102 , 332 , 13 ba 時當03babak這兩個向量垂直這兩個向量垂直 0422103k

8、k由解得解得k=192) ,3存在唯一實數(shù)平行時與當babakbabak3使得得31k31k,3,31平行與時因此babakk此時它們方向相反。此時它們方向相反。babak3 和逆向及綜合運用逆向及綜合運用 例例5 5 （1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），），向量向量 是是垂直于垂直于 的單位向量，求的單位向量，求 . .abab./)2 , 1 (,102的坐標，求，且）已知（ababa.43)5 ,(),0 , 3(3的值求，的夾角為與，且）已知（kbakba343 4(1)( ,)(, )555 5bb 答案：或(2)( 2,2 2)(2, 2 2)或(3)5k 提高練習提高

9、練習的坐標為，則點，且，、已知CABBCOBACOBOA/)5 , 0() 1 , 3(1)329, 3(C 2、已知、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，則四邊形則四邊形ABCD的形狀是的形狀是 .矩形矩形 3、已知、已知 = (1，2)， = (-3，2)，若若k +2 與與 2 - 4 平行，則平行，則k = .abaabb - 1（1）掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積之和；（2）要學會運用平面向量數(shù)量積的坐標表示解決有關(guān)長度、角度及垂直問題.小結(jié)：(x1，y1)， (x2，y2)，則則ab1212x xy ya b 1221

10、0 x yx yab2.ab3.a b | |cosab0a b 12120 x xy y5.cos| |a bab 224.(1)|aa2|aa22xy121222221122x xy yxyxy( , )ax y其中作業(yè)：作業(yè)：1.課本課本0 8組組5（1），），9，10，11.2.( 1,23),(1,1),| |,;(2)(2,3),( 2,4),aba b ab abababab (1)已知求與 的夾角已知求（） （）.),1 , 1 (),32 , 1( (1) 1的夾角與，求已知例babababa.60,1800,21cos) 31 ( 2324231babababa，.),4

11、, 2(),3 , 2( (2) ）（）則（已知bababa72013. 7) 1(740) 1, 4(),7 , 0( 2222babababababababa）（）法二：（）（）（法一： :,4,3, 002, 001:. 1其中正確的個數(shù)為有四個式子babacbcabaaa基礎(chǔ)訓練題基礎(chǔ)訓練題A. 4個 B.3個 C. 2個 D.1個:,. 2下列結(jié)論正確的是均為單位向量已知ba1.baA22.baBbabaC平行.0.baD :04,3,2,1:,. 3212121212222221212211其中假命題序號是有下列命題設(shè)向量yyxxbayyxxbayxbyxayxbyxaD DB B 的值是則實數(shù)且若,1 , 1,1 , 0. 4ababaA-1 B.0 C.1 D.2A能力訓練能力訓練:, 0, 4, 1. 122的夾角是與則已知baa