狀態(tài)變量分析法

1、狀態(tài)變量分析法狀態(tài)變量分析法 1. 狀態(tài)方程和輸出方程 狀態(tài)變量分析法有兩個基本方程，即狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)方程把系統(tǒng)內(nèi)部一些稱為狀態(tài)變量的節(jié)點變量和輸入聯(lián)系起來；而輸出方程則把輸出信號和那些狀態(tài)變量聯(lián)系起來。 一般狀態(tài)變量選在基本信號流圖中單位延時支路輸出節(jié)點處。 圖5.5.1是二階網(wǎng)絡(luò)基本信號流圖，有兩個延時支路，因此建立兩個狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)。下面建立流圖中其它節(jié)點w2和輸出y(n)與狀態(tài)變量之間的關(guān)系。 22221121221120222 0111 020(1)(1)( )( )( )(1)( )( )( )( )()( )()( )( )nnananx nnny nb

2、nbnbba bnba bnb x n (5.5.1) (5.5.2) (5.5.3) 將以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫成矩陣形式：11222101(1)( )0( )(1)( )1nnx nnnaa (5.5.4) 圖5.5.1 二階網(wǎng)絡(luò)基本信號流圖 x(n)y(n)z 1z 1b0b1b2w1w2w2 a1 a2222211212211202220111 020(1)(1)( )( )( )(1)( )( )( )( )()( )()( )( )nnananx nnny nbnbnbba bnba bnb x n x(n)y(n)z 1z 1b0b1b2w1w2w2 a1

3、a2 圖5.5.2示出更為一般的二階網(wǎng)絡(luò)基本信號流圖，兩個延時支路輸出節(jié)點定為狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)。按照信號流圖寫出以下方程： 111111122122221122221122( )(1)(1)( )( )( )( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnananb x nnnnananb x ny ncncndx n圖5.5.2 一般二階網(wǎng)絡(luò)基本信號流圖 x(n)y(n)z1z1b1b2c1c2da22a12a21w1(n)w2(n)w1w2 將以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫成矩陣形式：11121112222122(1)( )( )(1)( )

4、aannbx nnnbaa(5.5.6)1 212( )( )( )( )Ty nc cnndx n(5.5.7)再用矩陣符號表示： (1)( )( )( )( )( )W nAW nBx nY nCW nDx n(5.5.8)(5.5.9) 111212212212,TaaAB bbaaCccDd 式(5.5.8)和式(5.5.9)分別稱為圖5.5.2二階網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程。 如果系統(tǒng)中有N個單位延時支路，M個輸入信號：x1(n),x2(n),xM(n)，L個輸出信號y1(n),y2(n),，yL(n)，則狀態(tài)方程和輸出方程分別為 (1)( )( )( )( )( )W nAW nBX

5、 nY nCW nDX n(5.5.10)(5.5.11) 式中121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )TNTMTLW nnnnX nx n x nxnY ny n y nyn11 12111 1212122221 222121211 1211112121 222212221212,NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNa aab bbAa aaBb bba aab bbc ccd ddCc ccDd ddc ccddd圖5.5.3 狀態(tài)變量分析法y(n)x(n)z1W(n1)W(n)dABC 例5.5.1 建立圖5.5.4流圖的狀態(tài)方程和

6、輸出方程。 圖5.5.4 例5.5.1圖x(n)y(n)z1a1b0z1b1b2a2w1(n1)w1(n)w2(n) 信號流圖中有兩個延時支路，分別建立兩個狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)(如圖5.5.4所示)，然后列出延時支路輸入端節(jié)點方程如下： 1112221(1)( )( )( )(1)( )nananx nnn將上式寫成矩陣方程： 121122(1)( )1( )(1)( )010aannx nnn (5.5.12) 輸出信號y(n)的方程推導(dǎo)如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n) 將上面w1(n+1)的方程代入上式： y(n) =a1b0w1(n)+b0a

7、2w2(n)+b0 x(n)+b1w1(n)+b2w2(n) =(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0 x(n)11 012 0202( )( ),( )( )ny na bb a bbb x nn 例 5.5.2直接寫出圖5.5.4信號流圖的 A、B、C和D參數(shù)矩陣。 解 111121221222, , ,baaABCc cDdaab 要注意：從wi(n)到輸出節(jié)點可能不止一條通路，要把所有通路增益加起來，即111 0220 0,cba b cba b d表示從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路增益，這里d=d0，最后得到四個參數(shù)矩陣為121,100aaAB 例5.5.3 已

8、知系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 1121122(1)(1 1.440.7)( )(10.5)(10.90.81)zzzH zzzz(1)畫出H(z)的級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(2)根據(jù)已畫出的流圖寫出其狀態(tài)方程和輸出方程。 112112(1) 1 1.440.7( )210.510.90.81zzzH zzzz 圖5.5.5 例5.5.3圖 x(n)z12y(n)z1z11.4140.70.9w1(n)w2(n)w3(n)0.51 在延時支路輸出端建立狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如圖5.5.5所示)。寫出狀態(tài)變量 w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n) w2(n+1)=w1(n+1)-

9、w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 將以上三個方程寫成矩陣方程：112233(1)( )0.5002(1)1.50.90.81( )2( )0100(1)( )nnnnx nnn 輸出方程為y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)將上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)將y(n)寫成矩陣方程，即是要求的輸出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)

10、w3(n)T+2x(n) 例5.5.4 已知FIR濾波網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 畫出其直接型結(jié)構(gòu)及寫出狀態(tài)方程和輸出方程。 解：畫出直接型結(jié)構(gòu)如圖5.5.6所示，在延時支路輸出端建立狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根據(jù)參數(shù)矩陣中各元素的意義，直接寫出狀態(tài)方程和輸出方程如下：30( )iiiH za z112233(1)( )0001(1)100( )1( )0100(1)( )nnnnx nnn y(n)=a1 a2 a3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n) 圖5.5.6 例5.5.4圖 y(n)x(n)z1z1z1w1(n)w2(n)a1a2a3a0w3(n) 2.

11、 由狀態(tài)變量分析法轉(zhuǎn)換到輸入輸出分析法 把單輸入單輸出的狀態(tài)方程和輸出方程重寫如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14) y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15) 將上面兩式進行Z變換 zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16) Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17) 式中 W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)T Wi(z)=ZTwi(n) X(z)=ZTx(n) Y(z)=ZTy(n) 由(5.5.16)式得到： W(z)=zI-A-1 BX(z) (5.5.18) 將上式代入(5.5.17)式，得到：11( )( )( )( )( )

12、( )Y zC zIABX zdX zY zH zC zIABdX z(5.5.19) 例5.5.5 已知二階網(wǎng)絡(luò)的四個參數(shù)矩陣如下：2122 011 00010,1,ABaaCba bba bdb 求該網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。解 2111212212111011()11( )zzIAazazazIABazz zaazza zaH zC zIABd 系 統(tǒng) 頻 響 決 定 于 H ( z ) 的 零 、 極 點 分 布 。 設(shè)H(z)=B(z)/A(z)，其極點為A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到： A(z)多項式稱為A 矩陣的特征多項式，其根為A矩陣的特征值，因此A矩陣的特征值就是H(z)的

13、極點。如果A矩陣全部特征值的模均小于1，系統(tǒng)因果穩(wěn)定，否則系統(tǒng)因果不穩(wěn)定。21201201221212121b zb zbbb zb zza zaa za z( )det()A zzIA(5.5.20) z2-3z+2=0 特征值 1=1, 2=2 極點 z1=，z2=2 將狀態(tài)方程重寫如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n)321032det01AzzIAz 方程式左端是n+1時刻的狀態(tài)變量矢量，右端是n時刻的狀態(tài)變量矢量和輸入x(n)的線性組合。由起始值 W(n0)，用遞推法求出W(n)的時域解： n=n0時，W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0) n=n0+1時，W(n0+2)

14、=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1) =AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0 +1) =A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1) n= n0 +k時W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+ A k-1 Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k) 令n=n0+k+1，則 0000101101( )()()( )()()nnnnlin nn nliW nAW nABx nlW nAW nABx nl將n換成n，則(5.5.21) 為求單位脈沖響應(yīng)，將(5.5.15)式中的x(n)用(n)代替，W(n)用(5.5.21)式中的零狀態(tài)響應(yīng)代替，

15、且令n0=0，此時y(n)=h(n)，得到：111( )()( )00( )00nllnh nCABnldnnh ndnCABn(5.5.22) (5.5.23) 例5.5.6 求圖5.5.7所示的N階FIR格形網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)以及單位脈沖響應(yīng)。圖5.5.7 例5.5.6圖 z1z1w1w2k1k1k2k2z1z1wN1kN1kN1wNkNx(n)y(n) 解 首先建立狀態(tài)變量w1(n),w2(n),wN(n)，如圖所示。這種網(wǎng)絡(luò)沒有反饋支路，直接寫出各參數(shù)矩陣： 121123111( )()TNNBkkkCkkkkDH zC zIABD設(shè)N=2，則有11212121211212200,110,

16、10111(1)11(1)TTABkCkkDzzIAkzzk zkk z zkkzk z 將上式進行反變換，得單位取樣響應(yīng)： h(n)=(n)+k1(1+k2)(n-1)+k2(n-2) 如果用(5.5.22)式求h(n)，也得到同樣的結(jié)果，但要求A矩陣的n-1次冪。關(guān)于求矩陣的冪，請參考本書附錄B。 3. 線性變換 下面研究在不改變系統(tǒng)傳輸函數(shù)的條件下，如何對狀態(tài)變量進行線性變換。設(shè)T是NN非奇異矩陣。系統(tǒng)中有N個延時支路。令 G(k)=T-1W(k) (5.5.25) G(k+1)=T-1W(k+1) =T-1AW(k)+BX(k) =T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.2

17、6) Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27) 按照(5.5.26)式和(5.5.27)式，原來的狀態(tài)矢量W(k)變成新的狀態(tài)矢量G(k)，狀態(tài)參數(shù)矩陣為A、B、C和D，即 A=T-1 AT B=T-1 B C=CT D=D 經(jīng)過(5.5.28)式線性變換后的狀態(tài)方程和輸出方程為 G(k+1)=AG(k)+BX(k) (5.5.29) Y(k)=CG(k)+DX(k) (5.5.30)(5.5.28) H(z)=CzI-A-1 B +d =CTzI-T-1AT-1 T-1 B+d =CTT-1(zI-A)T-1 T-1 B+d =CTT-1(zI-A)-1 TT-1 B+d =C(zI-A)-1 B+