數(shù)學思想和數(shù)學方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系

1、數(shù)學思想和數(shù)學方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學方法的實踐性更強一些。人們實現(xiàn)數(shù)學思想往往要靠一定的數(shù)學方法；而人們選擇數(shù)學方法，又要以一定的數(shù)學思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂，那么，要想學好數(shù)學、用好數(shù)學，就要深入到數(shù)學的“靈魂深處”。 數(shù)學課程標準在總體目標中明確提出：“學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應用技能。”這一總體目標貫穿于小學和初中，這充分說明了數(shù)學思想方法的重要性。在小學數(shù)學階段有意識地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學思想方法可以加深學

2、生對數(shù)學概念、公式、法則、定律的理解，提高學生解決問題的能力和思維能力，也是小學數(shù)學進行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。同時，也能為初中數(shù)學思想方法的學習打下較好的基礎。在小學階段，數(shù)學思想方法主要有符號化思想、化歸思想、類比思想、歸納思想、分類思想、方程思想、集合思想、函數(shù)思想、一一對應思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、演繹推理思想、變換思想、統(tǒng)計與概率思想等等。為了使廣大小學數(shù)學教師在教學中能很好地滲透這些數(shù)學思想方法，筆者把這些思想方法比較系統(tǒng)地進行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們在小學數(shù)學各個知識點中的應用，以及了解每個思想方法的適當拓展。一、符號化思想1. 符號化思想的概念。數(shù)學符

3、號是數(shù)學的語言，數(shù)學世界是一個符號化的世界，數(shù)學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學有了符號，才使得數(shù)學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數(shù)學的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學符號的使用，使數(shù)學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2. 如何理解符號化思想。數(shù)學課程標準比較重視培養(yǎng)學生的符號意識，并提出了幾點要求。那么，在小學階段，如何理解這一重要思想呢？下面結(jié)合案例做簡要解析。第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數(shù)相加，

4、交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：Sab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。第二，理解符號所代表的數(shù)量關系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關系。如假設一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。第三，會進行符號間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關系一旦確定，便可以用數(shù)學符號表示出來，但數(shù)學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛

5、汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數(shù)量關系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉(zhuǎn)換的。第四，能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進行數(shù)學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數(shù)學基本功，也是非常重要的數(shù)學能力。3. 符號化思想的具體應用。數(shù)學的發(fā)展雖然經(jīng)歷了幾千年，但是數(shù)學符號的規(guī)范和統(tǒng)一卻經(jīng)歷了比較慢長的過程。如我們現(xiàn)在通用的算術中的十進制計數(shù)符號數(shù)字09于公元8世紀在印度產(chǎn)生，經(jīng)過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數(shù)在早期

6、主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀韋達、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學家逐步引進和完善了代數(shù)的符號體系。符號在小學數(shù)學中的應用如下表。知識領域知識點應用舉例應用拓展數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示阿拉伯數(shù)字：09中文數(shù)字：一十百分號：千分號：用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運算+、( ) 2（平方）3（立方）數(shù)的大小關系、K21K24，所以KK（K1）（K1）（K2）（K2），所以把這個偶數(shù)拆分成兩個相等的數(shù)的和，它們的積最大。如果N為奇數(shù)，可設N2K1（K為任意大于1的自然數(shù)）；那么NK（K1）（K1）（K2）（K2）（K3），因為K2KK2K2K2K6，所以K（K1）（K1）（K2）（K2）（K3），所以把這個奇數(shù)拆分成

7、兩個相差1的數(shù)的和，它們的積最大。仔細觀察問題可以發(fā)現(xiàn)，題中的自然數(shù)只要大于4, 便存在一種普遍的規(guī)律；因此，取幾個具體的特殊的數(shù)，也應該存在這樣的規(guī)律。這時就可以把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，僅舉幾個有代表性的比較小的數(shù)（只要大于4）進行枚舉歸納，如10,11等，就可以解決問題，具體案例見前文。化歸思想作為最重要的數(shù)學思想之一，在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題的過程中無所不在，對于學生而言，要學會善于運用化歸的思想方法解決各種復雜的問題，最終達到在數(shù)學的世界里舉重若輕的境界。三、模型思想1. 模型思想的概念。數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。從廣

8、義角度講，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關系式、圖表、程序等都是數(shù)學模型。數(shù)學的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學家對數(shù)學模型的理解似乎更注重數(shù)學的應用性,即把數(shù)學模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學在經(jīng)濟、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會學等領域的應用，所構(gòu)造的各種數(shù)學模型。為了把數(shù)學模型與數(shù)學知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，本文主要從俠義的角度討論數(shù)學模型，即重點分析小學數(shù)學的應用及數(shù)學模型的構(gòu)建。2. 模型思想的重要意義。數(shù)學模型是運用數(shù)學的語言和工具，對現(xiàn)

9、實世界的一些信息進行適當?shù)暮喕?，?jīng)過推理和運算，對相應的數(shù)據(jù)進行分析、預測、決策和控制，并且要經(jīng)過實踐的檢驗。如果檢驗的結(jié)果是正確的，便可以指導我們的實踐。如上所述，數(shù)學模型在當今市場經(jīng)濟和信息化社會已經(jīng)有比較廣泛的應用；因而，模型思想在數(shù)學思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學教育領域也應該有它的一席之地。如果說符號化思想更注重數(shù)學抽象和符號表達，那么模型思想更注重數(shù)學的應用，即通過數(shù)學結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題；當然，把現(xiàn)實情境數(shù)學結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程?，F(xiàn)行的數(shù)學課程標準對符號化思想有明確的要求，如要求學生“能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號來表示”這實際上

10、就包含了模型思想。但是，課程標準對第一、二學段并沒有明確提出模型思想的要求，只是在第三學段的內(nèi)容標準和教學建議中明確提出了模型思想，要求在教學中“注重使學生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學模型”，教學過程以“問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的模式展開。如果說小學數(shù)學教育工作者中有人關注了模型思想，多數(shù)人基本上只是套用第三學段對模型思想的要求進行研究，也很難做到要求的具體化和課堂教學的貫徹落實。據(jù)了解，即將頒布的課程標準修改稿與現(xiàn)行的課程標準相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過

11、程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識”。并在教材編寫建議中提出了“教材應當根據(jù)課程內(nèi)容，設計運用數(shù)學知識解決問題的活動。這樣的活動應體現(xiàn)問題情境建立模型求解驗證的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能，感悟數(shù)學思想、積累活動經(jīng)驗；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創(chuàng)新意識”。這是否可以理解為：在小學階段，從課程標準的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重

12、要意義。這不僅表明了數(shù)學的應用價值，同時明確了建立模型是數(shù)學應用和解決問題的核心。3. 模型思想的具體應用。數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，也是一個應用的過程。從這個角度而言，伴隨著數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學模型實際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1，2，3，是描述離散數(shù)量的數(shù)學模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數(shù)學知識建立數(shù)學模型來解決問題的。就小學數(shù)學的應用來說，大多數(shù)是古老的初等數(shù)學的簡單應用，也許在數(shù)學家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學模型；不過，小學數(shù)學的應用雖然簡單，但仍然是現(xiàn)實生活和進一步學習所不可或缺的。小學數(shù)學中的模型如下表。知識領域知

13、識點應用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列：0,1,2,用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運算a+b=cca =b, cbaabc(a0,b0)ca=b, cba運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數(shù)量關系時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關系：y/x=k反比例關系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關系用圖象表示數(shù)量間的關系空間與圖形用字母表示公式三角形面積：Sab平行四邊形面積：Sah梯形面積：S (a+b)h圓周長：C2r圓面積：Sr2長方體體積：v=a

14、bc正方體體積：v=a3圓柱體積：v=sh圓錐體積：v=sh空間形式用圖表表示空間和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計與概率統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息可能性用分數(shù)表示可能性的大小4模型思想的教學。從表格中可以看出：模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達數(shù)量關系和空間形式，這是它們的共同之處；但是模型思想更加重視如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數(shù)學解決生活和科學研究中的各種問題。正是因為數(shù)學在各個領域的廣泛應用，不但促進了科學和人類的進步，也使得人們對數(shù)學有了新的認識：數(shù)學不僅僅是數(shù)學家的樂園，它也不應是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學生的朋友。廣大教師在教學

15、中結(jié)合數(shù)學的應用和解決問題的教學，要注意貫徹課程標準的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學生如何建立模型，并喜歡數(shù)學。學生學習數(shù)學模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學習，即學習教材中以例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學習的理解過程；第二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用學習的基本知識解決教材中豐富多彩的習題以及各種課外問題。數(shù)學建模是一個比較復雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：(1) 理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。(2) 把復雜的情境經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。(3) 建立模型，可以是數(shù)量

16、關系式，也可以是圖表形式。(4) 解答問題。下面結(jié)合案例做簡要解析。第一，學習的過程可以經(jīng)歷類似于數(shù)學家建模的再創(chuàng)造過程。現(xiàn)實生活中已有的數(shù)學模型基本上是數(shù)學家和物理學家等科學家們把數(shù)學應用于各個科學領域經(jīng)過艱辛的研究創(chuàng)造出來的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到杠桿支點的距離之比，等于兩個物體重量的反比，即1：22：L1。根據(jù)課程標準的理念，學生的學習過程有時是一個探索的過程，也是一個再創(chuàng)造的過程；也就是說有些模型是可以由學生進行再創(chuàng)造的，可以把科學家發(fā)明的成果再創(chuàng)造一次。如在學習了反比例關系以后，可以利用簡單的學具進行操作實驗，探索杠桿定律。再如利用若

17、干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數(shù)與長方體的長、寬、高的關系，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型Vabc，這是一個模型化的過程，也是一個再創(chuàng)造的過程。第二，對于大多數(shù)人來說，在現(xiàn)實生活和工作中利用數(shù)學解決各種問題，基本上都是根據(jù)對現(xiàn)實情境的分析，利用已有的數(shù)學知識構(gòu)建模型。這樣的模型是已經(jīng)存在并且是科學的，并不是新發(fā)明的，由學生進行再創(chuàng)造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學生再創(chuàng)造。如兩個變量成反比例關系，如果給出兩個量數(shù)據(jù)變化的表格，學生通過觀察和計算有可能發(fā)現(xiàn)這兩個量的關系。但是如果讓學生動手實踐操作去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是有一定

18、難度的。再如物體運動的路程、時間和速度的關系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學生進行再創(chuàng)造。教師只需要通過現(xiàn)實模擬或者動畫模擬，使學生能夠理解模型的意義便可。第三，應用已有的數(shù)學知識分析數(shù)量關系和空間形式，經(jīng)過抽象建立模型，進而解決各種問題。學生學習了教材上的基礎知識以后，利用已有知識解決新的更加復雜的各種問題，是一個富有挑戰(zhàn)的過程，也可以是一個合作探究的過程。如小學生奧林匹克數(shù)學競賽中有很多應用數(shù)學解決的問題，就是一個建立模型的過程；再如中學生和大學生組隊參加數(shù)學建模大賽，就是一個團隊合作探究的過程。案

19、例1：小明的家距離學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早晨出門2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶學具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，他從回家再到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）解答過程如下：(1) 本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關于時間、速度和路程的問題。(2) 這里需要明確所求的速度相對應的路程和時間是什么，因為取東西等時間忽略不計，因此剩余的時間就可以確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘后開始算，再回家的路程加上從家到學校的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時間了。(3) 根據(jù)基本的關系式s=vt，可先求出s60

20、0+（60010）2720(米),t1028(分鐘)。列式為：7208v。(4)v90，即小明步行的速度為90米分鐘。從上面的解答過程來看，小學數(shù)學的情境還是比較容易理解的，模型系統(tǒng)也容易確定。如果說此題比教材中的一般習題有難度的話，就是路程和時間沒有直接給出,拐了個彎。也就是說難點在于第二步中知道模型系統(tǒng)后相應的數(shù)量怎么準確地找出來，一定要注意題中對每一個量是怎樣敘述的，有什么特殊的要求，在認真讀題的基礎上準確地找出來或計算出來。案例2 ：有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩余，并且每種規(guī)格的跳繩至少要有一根。）分析：此題從表面上看，是小

21、學數(shù)學整數(shù)乘除法的一般問題，但是由于題目中有特殊要求，無法直接列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個未知數(shù)，屬于二元一次方程，超出了小學數(shù)學的范圍。那么，面對這樣的問題如何解決呢？在小學數(shù)學中面對一些非常規(guī)的問題時，有時運用列表枚舉或者猜測的方式是一種可行的策略，只不過會繁瑣一些。5米跳繩的根數(shù)12342米跳繩的根數(shù)7520剩余米數(shù)1010由上表可知符合要求的答案為：5米和2米的跳繩分別剪2根和5根。此題如果用方程解決，可設5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程：5x2y20?？煞抡照壤P系ykx圖像的畫法，在有方格紙的坐標系里，通過兩點(0，10)和(4，0)畫出一條直線，就是方程5x

22、2y20的圖像。再找出圖像與方格的交叉點重合的點，就是方程的解。案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？分析：此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要的假設，就是礦泉水瓶圓柱部分并不是一個嚴格的圓柱形狀，要假設它是圓柱形狀，這樣才便于建立模型。由于不知道圓柱的底面積，所以無法用容積公式直接求解。這就需要換一個思路來想，根據(jù)容積公式vsh，可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比。這樣就把求容積問題轉(zhuǎn)化為比例的問題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規(guī)則，倒立過來以后喝的水就相當于圓

23、柱形瓶子高度為4厘米的水。滿瓶礦泉水就相當于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為20厘米的水?？稍O小林喝的水為v毫升，列式為：v：5004：(16+4)，v100。四、推理思想1. 推理思想的概念。推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關系推理等。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用

24、形式有：歸納推理和類比推理。當前提為真時，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。(1) 演繹推理。三段論，有兩個前提和一個結(jié)論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情況，結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷。例如：一切奇數(shù)都不能被整除，(3)是奇數(shù)，所以(3)不能被整除。選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個選言支，結(jié)論則否定其它選言支；小前提否定除其中一個以外的選言支，結(jié)論則肯定剩下的那個選言支。例如：一個三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要

25、么是鈍角三角形。這個三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個鈍角三角形。假言推理， 假言推理的分類較為復雜，這里簡單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個數(shù)的末位是，那么這個數(shù)能被整除；這個數(shù)的末位是，所以這個數(shù)能被整除。這里的大前提是一個假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。關系推理，是前提中至少有一個是關系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關系推理：(1)對稱性關系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反對稱性關系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)傳遞性關系推理，ab，bc，所以

26、ac。關系推理在數(shù)學學習中應用比較普遍，如在一年級學習數(shù)的大小比較時，把一些數(shù)按從小到大或從大到小的順序排列，實際上都用到了關系推理。(2) 合情推理。歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某類事物中的每個事物或每個子類事物都具有某種性質(zhì)，而推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結(jié)論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分對象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。依據(jù)該方法得到的

27、結(jié)論可能為真也可能為假，需要進一步證明結(jié)論的可靠性。數(shù)學歸納法是一種特殊的數(shù)學推理方法，從表面上看并沒有考察所有對象，但是根據(jù)自然數(shù)的性質(zhì)，相當于考察了所有對象，因而數(shù)學歸納法實際上屬于完全歸納推理。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進一步證明結(jié)論的可靠性。2. 推理思想的重要意義。我國數(shù)學教育幾十年來的主要優(yōu)勢或者說成果就是重視培養(yǎng)學生的運算能力、推理能力和空間想象能力。傳統(tǒng)的數(shù)學大綱比較強調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理；而現(xiàn)行的課程標準又矯枉過正，過于強調(diào)合情推理，在邏

28、輯推理能力方面有所淡化。近年來課程改革的實踐證明，二者不可偏廢。就學好數(shù)學或者培養(yǎng)人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據(jù)了解，課程標準修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性”。數(shù)學在當今市場經(jīng)濟和信息化社會有比較廣泛的應用，人們在利用數(shù)學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機來完成。但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推

29、理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學教育的主要任務之一。3. 推理思想的具體應用。推理思想作為數(shù)學的一個重要的思想方法，無論在小學還是在中學都有著廣泛的應用，尤其是合情推理作為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，在小學數(shù)學的探究學習和再創(chuàng)造學習中應用更為廣泛。在小學數(shù)學中雖然沒有初中類似于數(shù)學證明等嚴密規(guī)范的演繹推理，但是在很多結(jié)論的推導過程中間接地應用了演繹推理。如推導出平行四邊形的面積公式之后，三角形的面積公式的推導過程是先把兩個同樣的三角形拼成一個平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。這個過程實際上應用了演繹推理，如下：平行四邊形的面積等于底乘高，兩個同樣

30、的三角形的面積等于平行四邊形的面積，所以兩個同樣的三角形的面積等于底乘高；因而一個三角形的面積就等于底乘高的積除以2。小學數(shù)學中推理思想的應用如下表。思想方法知識點應用舉例不完全歸納法找規(guī)律找數(shù)列和圖形的規(guī)律整數(shù)計算四則計算法則的總結(jié)運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法商不變的規(guī)律分數(shù)分數(shù)的基本性質(zhì)面積長方形面積公式的推導體積長方體體積公式的推導圓柱體積公式的推導圓錐體積公式的推導完全歸納法三角形三角形內(nèi)角和的推導類比推理整數(shù)讀寫法億以內(nèi)及億以上的數(shù)的讀寫，與萬以

31、內(nèi)數(shù)的讀寫相類比整數(shù)的運算四則計算的法則：多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法相類比，多位數(shù)乘多位數(shù)與多位數(shù)乘一位數(shù)相類比，除數(shù)是多位數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法相類比小數(shù)的運算整數(shù)的運算法則、順序和定律推廣到小數(shù)分數(shù)的運算整數(shù)的運算順序和運算定律推廣到分數(shù)除法、分數(shù)和比除法商不變的規(guī)律、分數(shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)進行類比面積與平行四邊形面積公式的推導方法相類比，三角形、梯形面積公式的推導，也用轉(zhuǎn)化的方法，把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導面積公式。長度、面積、體積線、面、體之間的類比：線段有長短，用長度單位來計量；平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體圖形占的空間有大小，用體積單位來計量問題解決數(shù)量關系相近

32、的實際問題的類比，如分數(shù)實際問題與百分數(shù)實際問題的類比雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問題的類比抽屜原理不同素材的抽屜原理問題的類比三段論多邊形多邊形內(nèi)角和的推導面積正方形面積公式的推導平行四邊形面積公式的推導三角形面積公式的推導梯形面積公式的推導圓面積公式的推導體積正方體體積公式的推導選言推理類似于人教版二年級上冊數(shù)學廣角中的“猜一猜”假言推理根據(jù)概念、性質(zhì)等進行判斷的一些問題關系推理大小比較、恒等變形、等量代換等等4推理思想的教學。就演繹推理和合情推理的關系及教學建議，課程標準修改稿指出“推理貫穿于數(shù)學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條

33、理性，不要過分強調(diào)推理的形式。教師在教學過程中，應該設計適當?shù)膶W習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求”。根據(jù)以上課程標準關于推理思想的理念和要求，在小學數(shù)學教學中要注意把握以下幾點。第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學教學的始終。在小學數(shù)學中，除了運算是數(shù)學的基本方法外，推理也是常用的數(shù)學方法。無論是低年級的找規(guī)律、總結(jié)計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導，無不用到推理的思想方法。因而，廣大教

34、師要牢記推理思想從一年級就要開始滲透和應用，是一個長期的培養(yǎng)過程。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導新的結(jié)論。二者在數(shù)學中的作用都是很重要的。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領域的教學要有機地結(jié)合。推理能力的發(fā)展與各領域知識的學習是一個有機的結(jié)合過程，因而在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識的學習，同時要考慮學生的認知水平和接受能力。綜合現(xiàn)行課程標準

35、及其修改稿關于 “數(shù)學思考”分階段的目標要求，推理能力在小學階段的要求可參考下表。學段推理能力教學目標第一學段初步學會選擇有用信息進行簡單的歸納和類比第二學段在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果下面再結(jié)合案例談談幾種在小學數(shù)學中應用較多的推理思想的教學。（1）類比思想。無論是學習新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進行類比，進而找到解決問題的方法，這樣就實現(xiàn)了知識和方法的正遷移。因此，要引導學生在學習數(shù)學的過程中善于利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如由整數(shù)的運算定律遷移到小數(shù)、分數(shù)的運算定律，問題解決中數(shù)量關系相近的問題的類比等。而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎上才能實現(xiàn)。如抽屜原理，變式練習有很多，難度較大，解決此類問題的關鍵就是通過類比找到抽屜。應用類比的思想方法，關鍵在于發(fā)