941129走一趟排列組合倒機(jī)率統(tǒng)計(jì)之旅研習(xí)心得

1、941129 走一趟排列組合倒機(jī)率統(tǒng)計(jì)之旅研習(xí)心得為鼓勵(lì)教師在職進(jìn)修，增進(jìn)專業(yè)知能，推廣數(shù)學(xué)生活化，更將數(shù)學(xué)融入 生活當(dāng)中 ，並提升 95 學(xué)年度進(jìn)入排列組合機(jī)率新課程 的教學(xué)活動(dòng)及 內(nèi)容。二 、主辦單位 : 大安高工 數(shù)學(xué)科教學(xué)研究會(huì)三、研習(xí)時(shí)間： 94 年 11 月 29 日 下午 1 時(shí)起至下午 4 時(shí)止四 、研習(xí)地點(diǎn) : 大安高工二樓會(huì)議室五、研習(xí)主題 : 提升不確定通則的明智決策走一趟排列組合到機(jī) 率統(tǒng)計(jì)之旅六、講師 : 丁村成臺(tái)北市建國中學(xué)老師七 、研習(xí)心得 :為什麼要學(xué)排列組合是許多學(xué)生的疑問，丁老師在演講中提出兩個(gè) 原因，第一個(gè)是美國數(shù)學(xué)家 Niven 所指出，學(xué)習(xí)排列組合之目

2、的在教人 ：How to count without counting ，例如： 0,1,2,3,4,5 所形成四位數(shù)中是四的倍數(shù)的 個(gè)數(shù)有幾個(gè)？，我們不可能一個(gè)一個(gè)數(shù)它，而是利用加法原理、乘法原理 及排列組合的其他方法來計(jì)算。第二個(gè)原因排列組合是學(xué)習(xí)機(jī)率的基礎(chǔ)，但 過度困難的內(nèi)容與教學(xué)，卻往往成為日後學(xué)習(xí)機(jī)率的障礙。以大陸的現(xiàn)況為 例，北京師範(fàn)大學(xué)堅(jiān)持刪除排列組合的課程，上海華東師範(fàn)大學(xué)堅(jiān)持反對(duì)立 場(chǎng)，兩套教材經(jīng)過兩年的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)北京的較佔(zhàn)優(yōu)勢(shì)，因?yàn)閯h除排列組合的 課程後，教學(xué)更加容易。在 Dubois(1984) 曾提出排列組合的三個(gè)基本模式：選擇模式、映射模式與 分解模式後，大家開始明瞭

3、它的困難度，此後歐美各國開始研究到底要不要 教排列組合或要教到什麼程度。目前以亞洲的現(xiàn)況而言，香港、新加坡、上 海等城市有安排加法原理、乘法原理、直線排列、重覆排列及單純組合等教 學(xué)內(nèi)容，而不納入重覆組合；但臺(tái)灣及日本除前述課程外還安排重覆組合的 內(nèi)容。另外，美國芝加哥大學(xué)設(shè)計(jì)的教材提及簡單的排列組合，而機(jī)率部分 有較深入的探討，甚至介紹中央極限定理，先為大學(xué)課程的基礎(chǔ)鋪路，使得 美國的高中生程度超過我們，但大學(xué)後卻能超越我們。丁老師想了解學(xué)生對(duì)排列組合的學(xué)習(xí)狀況，曾針對(duì)建中的學(xué)生設(shè)計(jì)如下的考題(參考資料第3頁一份排列組合的考題)，結(jié)果有超過60%的人不及格， 突顯了教學(xué)上的困難度。因此丁老師

4、建議教學(xué)上，以直線排列、重覆排列及 單純組為主。由於學(xué)生通常對(duì)重複排列與重複組合上有盲點(diǎn)，丁老師提供他 對(duì)國中數(shù)學(xué)資優(yōu)班教排列組合的經(jīng)驗(yàn)，在重複排列方面，譬如：四封信投進(jìn)三個(gè)郵筒共有幾種寄法？每封信都要寄出，信是主動(dòng)寄出，信的個(gè)數(shù)要安排在指數(shù)部分，所以有34種寄法。六種不同的酒倒入四個(gè)不同的杯子使每杯一種酒之倒法？杯子一定要用，酒不一 定要倒，所以是64種倒法；四個(gè)婦人帶六個(gè)小孩，婦人跟她的孩子的組合數(shù)？ 因?yàn)楹⒆右欢ㄓ心赣H，所以 46種組合。在重覆組合方面，是指n個(gè)相異物中，可重複取r個(gè)的組合數(shù)，記為日：乂： 2，例如：三個(gè)字母a b、c可重複取兩個(gè)的情形有aa,bb,cc,ab,ac,bC

5、， 共H 3 =C； =6種，下面三個(gè)敘述方式也有一樣的個(gè)數(shù)(1)將2個(gè)相同物給代號(hào)a、b、c的3個(gè)人有h；=c4=6種方法數(shù)。aaa拿兩個(gè)、bb“ b拿兩個(gè)、cc“ c拿兩個(gè)、ab“ a拿一個(gè) b拿 個(gè)、ac- a拿一個(gè) c拿一個(gè)、be； b拿一個(gè) c拿一個(gè)a b 2有幾個(gè)非負(fù)整數(shù)解有H；=C；=6個(gè)，意思同將2個(gè)相同物給3個(gè)人。aa； .2,0,0、bb； .0,2,0、cc； .0,0,2、ab； .1,1,0、ac； .1,0,1、be； .0,1,1(3) a b e 2展開式中異類項(xiàng)有H；=c4=6項(xiàng)2 2 2 2a b c i =a b c 2ab 2bc 2ac2! 2!2!2

6、!2!2!aa bb cc abbcac2! 2!2!1!1!1!1!1!1!為什麼H；二cj2呢？以將2個(gè)相同物給代號(hào)a、b、c的3個(gè)人為例，用兩 個(gè)間隔區(qū)隔三個(gè)人，三個(gè)人可重複取相同物，所以H；的重複組合變成兩個(gè)相同的間隔與兩個(gè)相同物的組合數(shù)丄的單純組合，如左圖2!2!表1,1,0：表 1,Q1。D 表 0,1,1而排列組合的知識(shí)會(huì)影響在機(jī)率方面的學(xué)習(xí)，譬如：講義第七頁下方一 道教師甄試題目裡要看成 4個(gè)不同的球全部放入 5個(gè)不同的箱子，每箱至少55一球的機(jī)率是P-浮，而非相同的球放入不同的箱子p = 2，亦非不同的球54h5放入相同的箱子P二丄，更不是相同的球放入相同的箱子P二丄，這是一

7、個(gè)例105子，原因是古典機(jī)率的計(jì)算中，有限相本空間中每一樣本點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等,則事件A在S中之機(jī)率為P A二A 之元素個(gè)數(shù)S之元素個(gè)數(shù)，所以要將相同事為不同來計(jì)數(shù)。生活中人們常誤解一些事情發(fā)生的機(jī)率，譬如：編號(hào)1、2、3的三個(gè)門後，每個(gè)門隨機(jī)放一部汽車和兩隻羊中的一種，若甲猜一號(hào)門後是汽車，此 時(shí)乙打開其中一個(gè)是羊的門 ，問猜的人要不要換猜另一個(gè)門，請(qǐng)問家猜中汽車的機(jī)率為何？答案是在些生活經(jīng)驗(yàn)中也可從決策中看出機(jī)率的影子，譬如：有上中下等三部巴士先後發(fā)車，某人想坐到較好的車子，於是選擇第一部車不坐，如果第二 部車比第一部車好的話就坐，如果不是，就坐第三部車，這樣的決策確實(shí)坐到最好車子的機(jī)率是1，說明如下：第一班車上上中中下下第二班車中下上下上中第三班車下中下上中上所坐巴士