東北大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽論文

1、東北大學(xué)第九屆東軟杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽暨2011年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽校內(nèi)選拔賽參賽隊編號：（20093481）選擇題目：a b基于公路汽車側(cè)滑的公路合理性分析和改進方案一 摘要本論文通過上網(wǎng)查找事故發(fā)生地的實際情況，結(jié)合公路設(shè)計的標準要求，忽略次要因素，對于問題一，建立了基于分析汽車在彎道內(nèi)側(cè)滑的條件的公路合理性模型，計算出汽車在彎道內(nèi)行駛最容易發(fā)生事故的點和進入彎道而不發(fā)生事故的最大速度。對于問題二，設(shè)計緩和曲線，建立了緩和曲線的曲線方程模型，使汽車通過緩和曲線能從直道平滑的過渡到彎道。對于問題一，首先，通過在google地圖上取點，描繪出事故多發(fā)地彎道的曲線形狀，將屏幕坐標點轉(zhuǎn)化為實際

2、道路情況坐標點。其次，對得到的反映實際路況的一系列坐標點進行hermite插值處理，并將處理后的點擬合成一個多項式函數(shù)。再次，通過分析汽車入彎后行駛時的情況得出發(fā)生側(cè)滑的條件。最后，考慮汽車在彎道上每一點行駛的滾動摩擦力，結(jié)合已經(jīng)分析得出的側(cè)滑條件，計算得出在彎道上最容易發(fā)生事故的點的坐標，并求出該點對應(yīng)的進入彎道的初始速度的值，這個值就是能順利過彎而不發(fā)生事故的速度最大值。通過計算得出進入彎道的最大速度為17.2839m/s轉(zhuǎn)換為km/h為62.2221km/h即超過此速度后汽車在彎道內(nèi)一定會發(fā)生事故。對于問題二，由于不要求成本最低，則假設(shè)不能改變s型彎道的形狀，依據(jù)問題一的結(jié)論，在不改變彎

3、道形狀的前提下，通過設(shè)計緩和曲線使汽車安全過彎，緩和曲線作用主要有兩點，一是提示司機前方有彎，需減速至60km/h以下，二是使汽車車頭能平滑的轉(zhuǎn)動至彎道切線方向，而不因為車頭轉(zhuǎn)動過快使汽車失去控制。緩和曲線的設(shè)計通過對緩和曲線的要求推導(dǎo)出霍爾布魯克螺線（回旋線）模型，根據(jù)要求改變道路成本最低，確定處緩和曲線的最小長度，通過最小長度確定回旋線的參數(shù)。求解緩和曲線方程式，通過轉(zhuǎn)化，近似，將此問題轉(zhuǎn)化為求解一個帶初值的二階微分方程的問題，微分方程為：此微分方程無法求得解析解，因此采用計算出其在設(shè)置緩和曲線范圍內(nèi)的一系列數(shù)值解，之后通過最小二乘法對緩和曲線方程做擬合的方法近似計算緩和曲線方程。論文中圖

4、七為緩和曲線與彎道連接的示意圖。關(guān)鍵詞：hermite插值，最小二乘法擬合，滾動摩擦力，緩和曲線，霍爾布魯克螺線（回旋線），微分方程數(shù)值解， 二 問題重述廣元市利州區(qū)寶輪鎮(zhèn)街道上，于2010年5月25日發(fā)生一起交通事故。一輛拉磚的貨車一頭撞進路邊居民房內(nèi)，司機受傷。該段道路的上段是近2公里的長坡，到出事路段時，則是一段s形的急彎陡坡路。“這一段公路至少都有40多米寬，是寶輪的形象公路?！睆埥|來到寶白公路另一端說，他家門口的公路，卻因為建了一座“山珍大廈”，將整個道路差不多占去一半，該大廈同時將往寶輪方向行駛的車輛的視線完全擋住?！拔覀冋J為這段路設(shè)計上有問題，以前這里就是一塊平地，本來可以建成

5、沒有坡的道路，現(xiàn)在卻是原沒有坡的拱了個坡，沒有彎的造了個彎?！备浇用裾f，行駛至該路段的駕駛員被前方十字路口的建筑擋住視線，駛過此路段的車輛車速都很快，一下坡就遇到紅綠燈，根本來不及剎車。汽車行駛經(jīng)過下坡路段后，車速達到較大的值，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下，不會減速剎車。遇到紅綠燈后剎車已經(jīng)來不及了。在題目給定的條件下，同學(xué)們可自行設(shè)計符合題意的情景，建立你的數(shù)學(xué)模型：(1) 說明道路設(shè)計是否合理；(2) 如道路設(shè)計不合理需要如何修改設(shè)計在最小成本的情況下得到最大改善。三 模型假設(shè)1. 汽車在下坡時不知道前方有急彎。汽車在不知情情況下沿下坡路段一直加速。2. 當(dāng)汽車發(fā)現(xiàn)紅綠燈時立即剎車

6、減速，并開始過彎。汽車進入彎道為平滑入彎，即是沿彎道的切線方向進入彎道的。3. 汽車的轉(zhuǎn)彎半徑約等于彎道的曲率半徑。4. 假設(shè)汽車發(fā)生的事故只有側(cè)滑而沒有側(cè)翻的情況，即當(dāng)失去平衡時汽車四輪沒有離開地面。5. 認為只要側(cè)滑就為發(fā)生事故。四 問題分析 通過查閱google地圖中當(dāng)?shù)氐匦蔚膶嶋H情況的衛(wèi)星視圖可清楚的看到事故發(fā)生路段的地形情況，事故所發(fā)生路段為一個直道下坡之后接一個s型彎道如下圖所示：s型彎道直道山珍大廈圖片一：事故發(fā)生地地形示意圖結(jié)合google地圖中的地形和照片中的路口實際情況，分析事故發(fā)生的原因可以推斷，汽車行駛經(jīng)過下坡路段后，車速達到較大的值，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下

7、，不會減速剎車。遇到紅綠燈后汽車剎車過彎，但已經(jīng)來不及將速度降低到正常過彎的情況。由于離心力的作用，導(dǎo)致汽車失去控制，發(fā)生事故。分析道路設(shè)計是否合理即可轉(zhuǎn)化為分析汽車以一定速度從坡道上行駛下來后不發(fā)生事故的最大速度的問題。改良公路線型使汽車能平滑入彎。第一步，通過取點將入彎段得公路彎道曲線離散化，用hermite插值對所取離散的點進行插值處理，之后用最小二乘法擬合出在入彎處得公路曲線的函數(shù)。第二步，結(jié)合第一步所得的函數(shù)，計算在入彎處的函數(shù)在此點的曲率半徑，結(jié)合牛頓力學(xué)進行分析，得出實際允許的最大速度，與實際情況比較得出公路設(shè)計是否合理第三步，以汽車在彎道路段不發(fā)生側(cè)滑為原則，對以上兩步求得的結(jié)

8、果進行優(yōu)化分析，結(jié)合公路設(shè)計中的緩和曲線，盡可能大的增大最大速度，權(quán)衡成本與速度最優(yōu)得出結(jié)論。五 符號說明符號含義在地圖上取得一系列的點汽車行駛到彎道處得曲線方程汽車駛?cè)霃澋罆r，彎道的起點彎道在處開始到處結(jié)束，汽車入彎時在的曲率半徑，在彎道中行駛在處得曲率半徑汽車的質(zhì)量，汽車入彎時的速度，汽車行駛到時的速度 汽車的滾動摩擦系數(shù)汽車的橫向附著力系數(shù)路面超高，即公路平面與水平面夾角剎車后滑行，從剎車點到的路程。緩和曲線的方程。緩和曲線的起始點。點處距開始處距離。緩和曲線段行駛的平均速度。緩和曲線上行駛的離心加速度變化率為l緩和曲線的總長度。直線段得斜率，即入彎點的彎道斜率緩和曲線上點處得曲率半徑六

9、 模型建立6.1 原始數(shù)據(jù)的取得和處理6.1.1 對所取的點進行hermite插值用google地圖中的點在屏幕上的坐標得到在題目描述路段的道路曲線上的點的坐標并將通過比例尺轉(zhuǎn)化為橫縱坐標都為m的點設(shè)為。以水平東西方向為x軸，以水平南北方向為y軸建立直角坐標系，。在中對事故發(fā)生路段著重取點增大取點的密集程度，提高準確性。對取得的一組點中的事故發(fā)生路段的點設(shè)為，設(shè)其中有若干組點進行hermite插值，得到更加密集的一組點，使曲線更加平滑。6.1.2 最小二乘法擬合由于hermite插值得到的插值多項式一階可導(dǎo)但二階不一定可導(dǎo)，而求曲線的曲率時必須用到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)值，因此，對hermite求得的

10、更密集的點用最小二乘法進行擬合，擬合成一個多項式函數(shù)，設(shè)用最小二乘法擬合求得彎道曲線的方程為，并求得汽車在處入彎。6.2 公路彎道設(shè)計合理性分析公路設(shè)計的合理性可由入彎不發(fā)生側(cè)滑的最大速度衡量，即容許通過該路段不發(fā)生事故車輛的最大速度。通過動力學(xué)理論分析可求得此最大速度。6.2.1彎道曲線中的曲率半徑道路曲線的方程為，則曲線上點的的曲率半徑為： (1)在點的曲率半徑為6.2.2 汽車不發(fā)生側(cè)滑時速度條件模型 輪胎在路面上出現(xiàn)橫向滑移時的附著系數(shù)稱為橫滑附著系數(shù)設(shè)其為。汽車通過彎道時，在未使用制動的條件下，不出現(xiàn)側(cè)滑的條件是離心力不大于橫向附著力與汽車重力在路面平行方向的分力之和。汽車離心力可表

11、示為 (2)公示中m為汽車的質(zhì)量，v為汽車過彎的速度。汽車的橫向附著力可表示為： (3)由于公路設(shè)計時路面都不會是平整的，路面與水平面之間都有很小的夾角，設(shè)路面與水平面之間的夾角即路面超高為，因此重力在路面方向的分力為： (4)在很小時由于，即則可以用近似的代替，即上式可化為： (5)要使汽車入彎后不出現(xiàn)側(cè)滑的情況須有： (6)由以上各式可解得： (7)6.2.3 剎車之后速度變化模型剎車之后，發(fā)動機停止工作不做功，汽車依靠原有動能在路上滑行，摩擦力最大可取滑動摩擦力，不發(fā)生側(cè)滑時取滾動摩擦力為。設(shè)滑到處時汽車速度為，在此處彎道的曲率半徑為。由剎車后汽車動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。從處入彎到達處汽車劃過距

12、離由弧長公示可得： (8) 汽車行駛到處時的速度滿足關(guān)系式： (9)判斷公路設(shè)計是否合理即判斷在彎道曲線上的每一點上是否都有 (10)由以上各式帶入化簡可得： (11)在曲線的每一點都要滿足上式，因此應(yīng)滿足： (12)將上式作為評判公路是否合理的標準。6.3 緩和曲線道路改善模型 在不改變彎道形狀的情況下，使道路狀態(tài)改善，在彎道上發(fā)生事故的事故率降低，只有降低入彎時的速度才能達到目的，在6.2的出的結(jié)論基礎(chǔ)上，在坡道和彎道間加入緩和曲線，緩和曲線能提醒司機前方有彎道，提醒司機減速。經(jīng)分析該段道路容易發(fā)生事故的主要原因就是司機不能提前知道事故路段是一個s型彎道，即彎道曲線的曲率半徑變化過快，車通

13、過在坡道和彎道曲線之間加入一條緩和曲線可解決此問題。緩和曲線是設(shè)置在直線與圓曲線之間或大圓曲線與小圓曲線之間過渡的線型，是道路平面線型要素之一。在加入緩和曲線后，汽車行駛至緩和曲線范圍時開始減速。讓司機有足夠的時間調(diào)整車頭方向，使汽車平滑入彎。6.3.1 緩和曲線的曲線方程模型此處的緩和曲線應(yīng)為在一條直線與圓曲線之間的過渡，在理想狀態(tài)下此緩和曲線應(yīng)滿足如下性質(zhì)：1.在緩和曲線開始處，曲率半徑應(yīng)與直線曲率半徑一致，均為無窮大。2.在緩和曲線結(jié)束處，曲率半徑應(yīng)與彎道曲線的曲率半徑相同。3.以緩和曲線開始處為參照點，在曲線任意點處曲線的曲率半徑都與對應(yīng)的曲線長成反比例。由以上性質(zhì)建立緩和曲線方程模型

14、，設(shè)緩和曲線從處開始至處結(jié)束，為緩和曲線上任意一點，此點距處距離為，曲率半徑為。緩和曲線總長為。在曲線任意點曲率半徑與對應(yīng)曲線長成反比例： (13)為使上式滿足當(dāng)時，當(dāng)時。必須找出一個待定的比例系數(shù)，為推導(dǎo)上的便利，由于和都為正數(shù)因此選比例系數(shù)為。上式可化為： (14)此公式即為緩和曲線公式，滿足此條件的螺旋線稱為霍爾布魯克螺線（回旋線）。用此作為公路直線段與彎道段的過渡曲線可滿足平滑過渡的要求。6.3.2霍爾布魯克螺線（回旋線）中參數(shù)的確定以上推導(dǎo)得出的霍爾布魯克螺線方程中緩和曲線總長為是未知量，即緩和曲線的初始位置是未知的?；魻柌剪斂寺菥€的參數(shù)未知，可根據(jù)6.2中擬合出的緩和曲線終點的曲率

15、半徑等于彎道起始點的曲率半徑得出與的函數(shù)關(guān)系如下： (15)分析上述函數(shù)式，必須引入其他因素來確定緩和曲線長度的值從而確定出螺線中的參數(shù)。緩和曲線的長度應(yīng)盡可能的小，從而降低修改公路的成本，緩和曲線的最小長度可綜合旅客過彎時的舒適程度和緩和曲線段行駛時間長短確定。（1）根據(jù)旅客的舒適程度確定旅客的舒適程度是有離心加速度的變化率決定的，設(shè)在緩和曲線上行駛的離心加速度變化率為，進入彎道時的離心加速度為，緩和曲線上行駛平均速度為，緩和曲線上行駛的時間為，則： (16) (17)綜合確定的取值 (18)這a的取值即可確定：。（2）行駛時間不宜過短確定緩和曲線上行駛的時間為，緩和曲線上行駛平均速度為，則

16、有，由此可得出螺線參數(shù)a的取值： (19)綜合以上兩點，可由（1）先計算出的值，再由（2）式條件調(diào)整的大小，達到最優(yōu)解決問題的目的。6.3.2 霍爾布魯克螺線直角坐標系下曲線方程的推導(dǎo) 設(shè)霍爾布魯克螺線在直角坐標系下的方程為則由上一問模型中給出的公式得在螺線上的每一點的曲率半徑都滿足表達式，距緩和曲線開始時的長度滿足表達式。在螺線上每一點都滿足，得出在螺線的曲線方程應(yīng)滿足： (20)曲為了簡化計算，當(dāng)緩和曲線上點的曲率半徑充分大時可將近似的等于直線上從點到點的直線距離，設(shè)直線的方程為。則上微分方程可化為： (21)求出此微分方程即可得出的表達式，積分得到的表達式。要求解處此微分方程解析解非常困

17、難，本模型通過計算數(shù)值解在曲線上描點后擬合得出其曲線方程。七 模型求解7.1 原始數(shù)據(jù)的處理在地圖上取地圖在屏幕上像素點的坐標為原始擬合數(shù)據(jù)，由于題目中給出坡道是一條直線，因此在二維平面上取點時坡道部分只取起點和終點，彎道部分為分析的重點，在彎道部分取點密集在地圖中取點并用matlab畫出折線圖圖像如下：圖二 像素點的初始數(shù)據(jù)需要對數(shù)據(jù)進行處理，將數(shù)據(jù)的像素點對應(yīng)成距離，由于在地圖中縮放都是按比例進行的，即x軸縮放多少倍，y軸也縮放多少倍，由地圖比例尺可知轉(zhuǎn)化成距離圖像如下圖三 處理后道路實際情況示意圖由模型假設(shè)得圖中直線部分與曲線部分相切，即只考慮曲線部分圖形即可，將圖像中的第一個點去掉后可

18、得彎道部分的取點情況（如圖中曲線1），像素點坐標是離散的值，各個點之間不光滑，而擬合曲線時越光滑越好，對所得曲線進行分段hermite插值，通過取每0.2m為一段插值后的曲線（圖中曲線2）比插值前光滑程度上有明顯改善圖四 彎道插值前后的對比曲線為提高計算的準確度，計算曲率半徑時可將數(shù)據(jù)沿東西方向平移，即將橫坐標減去2300。將圖像中x和y變化后用一下過程擬合。求解過程中需要計算切入點的曲率半徑，因此需用最小二乘法對所得插值后各點進行多項式擬合，比較各個階次多項式的擬合情況，決定用10次多項式對彎道曲線進行擬合，擬合情況和各次多項式擬合的程度如下：圖五 擬合曲線與原曲線擬合度對比由以上圖形可得出

19、彎道曲線部分的擬合多項式為：y = p1*x10 + p2*x9 + p3*x8 + p4*x7 + p5*x6 + p6*x5 + p7*x4 + p8*x3 + p9*x2 + p10*x + p11 coefficients: p1 = 3.1713e-023; p2 = -1.4584e-019; p3 = 2.835e-016; p4 = -3.0413e-013; p5 = 1.9759e-010; p6 = -8.0578e-008; p7 = 2.0784e-005; p8 = -0.0033561; p9 = 0.33085; p10 = -18.581; p11 = 695

20、.16;上述多項式即為插值擬合后得到的擬合曲線方程。去掉一些不合理的點之后得到多項式函數(shù)曲線圖像如圖圖六 最終確定的多項式函數(shù)曲線在如圖曲線中x的取值可從50m到680m可研究此段水平方向上0.6公里的彎道情況來說明公路設(shè)計的合理性和緩和曲線的設(shè)計。7.2 公路彎道設(shè)計合理性求解7.1.1 計算彎道的曲率半徑由求得的擬合多項式函數(shù)及曲率半徑的公示計算可得曲率半徑為：for i = 1:1:1259in=x(i) out(i)=p1*in10 + p2*in9 +p3*in8 + p4*in7 +p5*in6 + p6*in5 +p7*in4 + p8*in3 +p9*in2 + p10*in+

21、p11;endd1=diff(out,1);d2 = diff(out,2);d1=abs(d1);d2=abs(d2);for i = 1:1:1259ans(i) = sqrt(1+d1(i)2)3)/d2(i);end 因此在入彎時曲率半徑為142.9576m。此曲率半徑在x=50時取得，最小曲率半徑為86.9802m此曲率半徑在x=555m是取得。min(ans)ans = 86.98027.1.1 計算彎道個點的長度 根據(jù)曲線弧長的計算公式，在計算公式中，積分可變成求個段得和matlab實現(xiàn)代碼如下：s = sqrt(1+d12);for i = 1:1:1259s(i) = sqr

22、t(1+d1(i)2);endfor i = 1:1:1259q(i)=sum(s(1:i);end 得出的q即為各點到起點的曲線長度。7.1.2 選取合適的參數(shù) 在公路上行駛假設(shè)地面對汽車的橫向附著力系數(shù)是一個常量，并且不會改變。查閱相關(guān)資料可取，路面超高，為了簡化計算此處的滾動摩擦因數(shù)取附著力系數(shù)的即。下面來求最容易失去控制發(fā)生側(cè)滑的點在曲線中的位置。按照模型推理出來的公式求各點的速度的matlab代碼如下：for i = 1:1:1259f(i)=sqrt(2*(1/30)*0.25*9.8*q(i)+ans(i)*9.8*0.25*(31/30);endmin(f)ans = 17.2

23、839得出要安全過彎在彎道入口處得最大速度為17.2839m/s轉(zhuǎn)換為km/h得入彎時的速度應(yīng)為62.2221km/h。即在入彎處應(yīng)限制最大速度60km/h7.3 緩和曲線設(shè)計模型的求解7.3.1緩和曲線中參數(shù)的確定考慮汽車中乘客的舒適程度，查閱相關(guān)資料得到離心加速度變化率一般都在0.35到0.5之間，即，平均速度取0.0214v得： (22)結(jié)合行駛時間不超過3s得，為方便計算取l=50m。當(dāng)l=50m時a=84.5451。7.3.2計算緩和曲線在直角坐標系下的方程由模型建立中給出的公式結(jié)合已算出的數(shù)據(jù)可將微分方程中參數(shù)加以確定： (23)其中=84.5451，=1.2133，=0.0270

24、，由假設(shè)得到直線的斜率與入彎點的斜率相等，因此=1.2133，此微分方程求解析解很困難，因此求出一系列數(shù)值解后描點得出曲線的形狀，再用最小二乘法擬合出緩和曲線的曲線方程。求解微分方程數(shù)值解需對模型中變量做近似，因為兩點間直線距離最短，當(dāng)直線距離為50米時緩和曲線取值大于50米，但由于緩和曲線的曲率半徑很小所以可以近似的認為緩和曲線設(shè)置在直線長度為50區(qū)間內(nèi)，求解得出直線上距離入彎點50米得點的坐標為（18.5000，243.0834）求解過程如下：x=0:0.5:50;and = (50-x)*sqrt(1+1.21332)and(38)ans = 49.5271x(38)ans = 18.5

25、000即計算出微分方程中x坐標為18.5到50的各點的函數(shù)值即可。求解步驟如下：1.將微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組： (24)2.上述方程中求出關(guān)于x的一系列值。3.對求積分，得出即為緩和曲線上的點。描點得到加入緩和曲線后公路的彎道情況如下：圖七 緩和曲線與彎道連接示意圖曲線用4次多項式擬合后多項式函數(shù)為：y = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5 coefficients: p1 = 1.2659e-017 p2 = -1.747e-015 p3 = 8.7342e-014 p4 = -1.2133 p5 = 341.97九 模型優(yōu)化1.公路設(shè)計合理性的優(yōu)化考慮

26、到方便計算，上述模型只從汽車過彎道時是否發(fā)生側(cè)滑情況加以分析，但沒有考慮另一種罕見的事故情況即側(cè)傾，當(dāng)汽車速度過快入彎時，車頭方向來不及調(diào)整，可能造成汽車側(cè)傾，側(cè)傾與側(cè)滑相似也有一個不發(fā)生側(cè)傾的最大速度， 得出不發(fā)生側(cè)傾的最大速度后可依照原模型進行分析。具體過程與側(cè)滑時相同。2.緩和曲線的優(yōu)化 在設(shè)計緩和曲線時，可加入對超高漸變的設(shè)計，設(shè)彎道超高為，則應(yīng)使超高隨緩和曲線長度的怎大均勻變化即超高與距初始點長度比值為一個常數(shù)即： (25) 在超高上升過程中，緩和曲線應(yīng)有一個旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)軸與行車道外測邊緣之間的相對坡度。附加坡度或超高漸變率太大太小都不好?？捎上旅婀酱_定： (26)其中為旋轉(zhuǎn)軸至行車道外側(cè)邊緣的寬度，為超高坡度與路拱坡度