《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(共12頁)

1、余弦定理教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容解析人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書必修（五）（第2版）第一章解三角形第一單元第二課余弦定理。余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個重要定理。通過利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能,從而進(jìn)一步運(yùn)用它們解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題，使學(xué)生能更深地體會數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對于三角形中的邊

2、角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。三、設(shè)計思想新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對現(xiàn)實世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設(shè)計者

3、、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，深刻地體會數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)解析1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。2、通過對三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。3、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養(yǎng)學(xué)生

4、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)是有用的。五、教學(xué)問題診斷分析1、通過前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問題：已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進(jìn)而計算出其他的邊和角。而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多

5、角度地對余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。六、教學(xué)支持條件分析為了將學(xué)生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計算借助計算器來完成。當(dāng)使用計算器時，約定當(dāng)計算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時用等號，當(dāng)取其近似值時，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時用約等號。七、教學(xué)過程設(shè)計1、教學(xué)基本流程：從一道

6、生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。余弦定理的證明：啟發(fā)學(xué)生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導(dǎo)學(xué)生自己探索獲得定理的證明。應(yīng)用余弦定理解斜三角形。2、教學(xué)情景：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題1：現(xiàn)有卷尺和測角儀兩種工具，請你設(shè)計合理的方案，來測量學(xué)校前生物島邊界上兩點(diǎn)的最大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）?！驹O(shè)計意圖】：來源于生活中的問題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性。讓學(xué)生進(jìn)一步體會到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學(xué)生設(shè)計方案嘗試解決。學(xué)生1方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取一點(diǎn)C（如圖2）

7、，用卷尺量出AC和BC的長，用測角儀測出ACB的大小，那么ABC的大小就可以確定了。感覺似乎在ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。其他學(xué)生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？學(xué)生2方案2：在島對岸可以取C、D兩點(diǎn)（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出圖中1、2、3、4的大小。在ACD中，已知ACD、ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在BCD中，用正弦定理求出BC。那么在ABC中，已知AC、BC及ACB，似乎可以求AB的長了。教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關(guān)系？【設(shè)計意圖】給學(xué)生足夠的空間

8、和展示的平臺，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。求異探新，證明定理問題2：你能判斷下列三角形的類型嗎？1、以3，4，5為各邊長的三角形是_三角形以2，3，4為各邊長的三角形是_三角形以4，5，6為各邊長的三角形是_三角形2、在ABC中a=8，b=5，c=60，你能求c邊長嗎？【設(shè)計意圖】：幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問題，用實踐進(jìn)行檢驗。師生活動：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。問題3：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討

9、論?！驹O(shè)計意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識入手，選擇簡潔的工具。學(xué)生3：在ABC中，如圖4，過C作CDAB，垂足為D。在RtACD中，AD=bsin1,CD=bcos1;在RtBCD中，BD=asin2, CD=acos2;學(xué)生4：如圖5，過A作ADBC，垂足為D。學(xué)生5：如圖5，AD =bsinC，CD =bcosC，c2=（bsinC）2+（a-bcosC）2= a2+b2-2abcosC類似地可以證明b2= a2+c2-2accosB，c2= a2+b2-2abcosC。教師總結(jié)：以上的證明都是把斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進(jìn)一步指出以上的證明還不嚴(yán)密

10、，還要分C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結(jié)論，這也正是本節(jié)課的重點(diǎn)余弦定理?！驹O(shè)計意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。師生活動：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？【設(shè)計意圖】：通過類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。學(xué)生6：如圖6，教師：以上的證明避免了討論C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現(xiàn)了向量工具的作用。又向量可以用坐標(biāo)表示，AB

11、長度又可以聯(lián)系到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，你會有什么啟發(fā)？【設(shè)計意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在ABC中，AC = b，BC = a .且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），【設(shè)計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動投入到整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空間的深度和廣度?！練w納概括】：余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍?！驹O(shè)計意圖】：知識歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強(qiáng)識記【結(jié)構(gòu)分析】：觀

12、察余弦定理，指明了三邊長與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對應(yīng)表述，同時發(fā)現(xiàn)三邊長的平方在余弦定理中同時出現(xiàn)?！局R聯(lián)系】：余弦定理的推論：【設(shè)計意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過程中，體會數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。運(yùn)用定理，解決問題讓學(xué)生觀察余弦定理及推論的構(gòu)成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。例1：在ABC中，已知a = 2，b = 3，C = 60，求邊c。在ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C?！驹O(shè)計意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既已知三角形兩邊及夾角，求

13、第三邊；已知三角形三邊，求三內(nèi)角。例2：已知ABC中求c邊長分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。練習(xí)檢測：1、某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關(guān)系為（）A：B：=C：D：大小不確定2、銳角ABC中b=1，c=2，則a取值為（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在ABC中若有，你能判斷這個三角形的形狀嗎？若呢？3、小結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理

14、的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。4、作業(yè)第1題：用正弦定理證明余弦定理?！驹O(shè)計意圖】：繼續(xù)要求學(xué)生擴(kuò)寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉(zhuǎn)化成角，然后利用三角公式進(jìn)行推導(dǎo)證明。而這種把邊轉(zhuǎn)化為角、或把角轉(zhuǎn)化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。第2題：在ABC中，已知，求角A和C和邊c?！驹O(shè)計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學(xué)生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運(yùn)用正弦定

15、理求角可能會漏解，運(yùn)用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。5、板書設(shè)計：1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例1、例23、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識八：教學(xué)反思1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用。2、當(dāng)已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個問題在本節(jié)課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時處理。3、本節(jié)課的重點(diǎn)首先是定理的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的

16、定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式，讓學(xué)生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，效果很差。學(xué)生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應(yīng)用呢？事實上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標(biāo)教育的教學(xué)理念。新課標(biāo)課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，重視學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，把“發(fā)現(xiàn)、探究知識”的權(quán)利還給學(xué)生。4、本節(jié)課的教學(xué)過程重視學(xué)生探究知識的過程，突出了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過提供