小學數(shù)學_滲透“畫圖”策略_提高解決問題能力(1)

1、滲透“畫圖”策略 提高解決問題能力 圓環(huán)面積教學的實踐研究【內(nèi)容摘要】當學生面對著一個比較綜合、有一定難度的數(shù)學問題，怎樣才能引導學生迅速地找到其突破口，打開學生的解題思路呢？俗話說妙計可以打勝仗，良策則有利于解題。數(shù)學解題策略有許多種，其中畫圖是一種最基本的解決問題的策略。因為小學生年齡小，抽象思維水平不高，而畫圖比較直觀。通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學問題具體化，把一些復雜的問題簡單化，容易找到解決問題的關(guān)鍵。所以引導學生采用畫圖的策略，十分適合小學生的思維特點，也是我最常向?qū)W生推薦的一種解題策略。下面結(jié)合一道運用圓環(huán)面積計算公式解決實際問題的的題目來談談在教學中滲透“畫圖”策略，提高學生解

2、決問題能力的反思與體會。【關(guān)鍵詞】滲透 “畫圖”策略 解題策略的指導 應用價值 教學建議一、緣起人教版六年級上冊數(shù)學配套的作業(yè)本P34，有這樣一道題目：一元硬幣的直徑為25mm，其中有一圈1mm寬的邊。這一圈邊的面積是多少平方毫米？(先看一看1元硬幣，再想想怎么算，然后計算)設計的目的是讓學生運用圓環(huán)的面積公式解決實際問題。但從學生完成練習的結(jié)果反饋：近八成的學生出現(xiàn)了各種各樣的錯誤，如：25212.512.5113.53.14(13.52 12.52)25212.525126262133.14（13212.52）25212.525124242123.14（12.52122）其中有一半竟然是一

3、直以來教師心目中的優(yōu)生。評講后，將這一道習題作為典型錯例原題照搬到單元測試卷中，測評結(jié)果仍然不容樂觀，還有近四成（39.6%）的同學仍然出現(xiàn)了不同程度的錯誤，當中也仍然有好幾個教師心目中的“優(yōu)生”。本以為這是自己班級中的特殊現(xiàn)象，不足為鑒。想不到在與其它班數(shù)學老師的交流中發(fā)現(xiàn)，每個班都出現(xiàn)了類似的現(xiàn)象，有些班級出現(xiàn)的結(jié)果還更嚴重，能正確完成的也就那么少部分同學。這一現(xiàn)象引起了我的重視，看樣子，問題并沒有剛開始想的那么簡單，第一次作業(yè)本上出現(xiàn)時，我總認為學生懶，題目的問題后面明明寫著提示：先看一看1元硬幣。卻不愿意拿1元硬幣看一看，題目亂做。到底是什么原因讓學生一錯再錯呢？怎么解決呢？調(diào)查解題錯

4、誤的學生，了解解決這道題的相應知識是否掌握。一問：你知道“硬幣一圈邊”是什么形狀嗎？二問: 你知道圓環(huán)的面積計算公式嗎？三問：求圓環(huán)的面積，必須知道哪些條件？發(fā)現(xiàn)錯誤的同學中除了二、三個學困生，都能說出“硬幣一圈”是圓環(huán)，圓環(huán)的面積計算公式是外圓面積內(nèi)圓面積，也可以用（R2r2）,從學生錯誤的算式中我們也可以看到圓環(huán)面積計算公式的影子。這說明前一節(jié)課的知識目標是達成的，根據(jù)經(jīng)驗，我估計問題的癥結(jié)在于學生根據(jù)文字敘述找不出解決問題的條件。為了證實問題是否出在“學生根據(jù)文字敘述找不出求圓環(huán)的兩個必要條件：R和r”。 為此，我設計了一組調(diào)研題(見下)，為了避免相互干擾，我將這組題目分兩個時間完成。1

5、、計算下面陰影部分的面積。(單位：厘米)2、在直徑為4米的圓形花壇內(nèi)有一條寬1米的環(huán)形小路。這條小路的面積是多少？統(tǒng)計結(jié)果(第一題的正確率是84.1%，第二題的正確率只有41.3%)，證實我的猜測，問題的癥結(jié)在于學生根據(jù)文字敘述找不出解決問題的條件。調(diào)查解題正確的學生，了解學生解決這道題的解題策略有哪些？叫來第一次作業(yè)本上做對的13人進行了解，通過詢問發(fā)現(xiàn)做對的同學中：解題策略看實物的畫圖的想一想的別人教的人數(shù)5422可見，借助于實物或者是畫圖，數(shù)形結(jié)合，學生就能比較容易的找到解決問題的條件。錯誤的學生為什么不畫圖呢？是不會畫嗎？一問之下，結(jié)果令人驚訝，幾乎所有的學生都說“我沒有想到”。甚至還

6、有幾個同學說“題目又沒有要求我們畫圖”。這一結(jié)果真讓我們老師無言以對,哭笑不得。怎樣講評這道題目呢？問了幾個老師，不約而同的說：“要么拿實物給他們看，或者畫圖給他們看”，再讓他們從實物上或從圖上找出解決問題的條件：R和r。不管是學生，還是老師，都認為“畫圖”是解決這類實際問題的好策略，那學生為什么想不到畫圖呢？學生缺少畫圖的解題策略，肯定于我們前面的教學有關(guān)。因為教學結(jié)果其實是教學過程在一定程度上的必然呈現(xiàn)。那么在新授課時，我們對此進行滲透了嗎？為了更清楚地說明問題，我調(diào)出了同年級任課老師圓環(huán)面積的教學設計及課件，發(fā)現(xiàn)無一人叫學生畫圖，碰到類似問題，是老師畫在黑板上，或者是題目和圖形一起在課件

7、中呈現(xiàn)。這也難怪大部分學生會想不到畫圖!如何變“老師畫”為“學生畫”，如何變“要我畫”為“我要畫”，讓學生在思考的過程中產(chǎn)生畫圖的需要，在自己畫圖的活動中體會方法、感悟策略、發(fā)展思維、獲得思想。我設計了一節(jié)課巧用“畫圖”策略，提高解決問題能力，下面從幾個片段進行一些反思與體會。二、片段回放與反思片段一（“畫圖”的熱身運動）1、請學生在紙上任意畫一個圓，提問：你能求出它的周長和面積嗎？2、再畫一個與它大小不一樣的圓，這兩個圓有哪幾種位置關(guān)系？想一想，再動手畫一畫。3、反饋，展示學生的各種位置關(guān)系：4、師：幾號圖形是我們上節(jié)課認識的圓環(huán)呢？你知道圓環(huán)的面積計算公式嗎？先測量所需數(shù)據(jù)再計算。 師：今

8、天我們繼續(xù)學習有關(guān)圓環(huán)面積計算的實際問題。反思課始，我讓學生兩次畫圖。第一次任意畫一個圓，目的是再現(xiàn)有關(guān)圓的特征以及周長、面積計算公式。第二次再畫一個大小不一樣的圓，使這兩個圓形成不同的位置關(guān)系。學生的表現(xiàn)是很出色的，如： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 看起來這好象是很簡單的一畫，但是這“一畫”于課始就吸引了學生，使學生能全身心投入到課堂上。這“一畫”畫出了新舊知識間的橋梁，畫出了求圓環(huán)面積的各種條件，如先測量再計算時，測量的條件也各不相同：有的測量R和r；有的測量D和d；有的測量D和r；有的測量r和環(huán)寬學生是各有各的辦法，與圓環(huán)面積計算相關(guān)的各種數(shù)據(jù)以及這此數(shù)據(jù)間的聯(lián)系活生

9、生地進入學生的腦海，為后面揭示用“畫圖”策略解決問題作好鋪墊。片段二（激發(fā)“畫圖”需要） 1出示例題（選自浙江教育出版社出版的同步課時特訓P109）。 將一直徑6米的圓形花壇向周圍拓寬2米，花壇的面積比原來增加了多少平方米？(生自主閱讀例題，理解題意) 2畫圖分析。 師：這道題叫我們求什么？ 生：花壇的面積比原來增加了多少平方米？師：那這一部分是什么形狀?計算它又需要哪些條件?這些條件已知嗎?(大部分學生不能馬上回答，但從學生臉上可觀察出他腦子里正在想。)師：光看文字敘述，你感覺怎么樣?生：不是很清楚。 師：可用什么方法幫助我們更清楚地整理題中的條件和問題? 生：可以畫圖。師：是啊!畫圖就是解

10、決問題的一種策略。請同學們根據(jù)題意先試著畫圖?！痉此肌坷}只有文字敘述，具有一定的挑戰(zhàn)性，學生往往不能直接看出要求的圖形，以及幾個數(shù)量之間的關(guān)系。此時我沒有直接讓學生畫圖，而是通過“這道題叫我們求什么？這一部分是什么形狀，計算它又需要哪些條件，這些條件已知嗎?光看文字敘述，你感覺怎么樣? 可用什么方法幫助我們更清楚地整理題中的條件和問題?”這四個問題，誘發(fā)學生產(chǎn)生心理需要“一下子想不出方法怎么辦？”，需要一種方法幫助自己理解題意。因為課始學生做了畫圖的“熱身運動”，此刻學生馬上覺得畫圖是一種解題的方法，從而主動地采用畫圖的策略。片段三（適時引導“畫圖”）（全體學生獨立在草稿本上嘗試畫圖后，我讓

11、一個學生上黑板根據(jù)題意畫，并適時進行引導）師：直徑6米標在哪里？（同學來標）師：向周圍拓寬2米怎么畫？（重點指導）（有的學生直接延長了直徑，使增加的只是一條線段，如下圖）師：這就叫做向周圍拓寬2米嗎？生：應該兩邊同時都要拓寬2米。生: 應該是向四面八方都拓展2米。（如下圖）師：哎，向周圍拓寬2米，面積好像沒有增加？生：老師，還要再畫一個圓！師：這個圓在哪里呢？（指一指）原來都拓展2米形成的圖形是一個圓！（老師趕緊畫一個圓）增加的面積在哪里呢？我們一般用陰影來表示。 如圖： (接下來老師進一步指導學生在圖上標出有關(guān)數(shù)據(jù)和所求問題，如下圖。其他學生逐步完善自己所畫的圖形)【反思】步步為營地引導學生

12、分析這樣畫是否符合題意，特別重點指導“向周圍拓寬2米怎么畫”，讓學生在糾錯的過程中掌握畫圖的方法，深刻地體會到向周圍拓寬2米什么意思，拓寬后它的面積也增加了。當我和學生一起把題目中的文字變成這樣一幅看似簡約、線條寥寥無幾但又充滿生動的“直觀圖”時，學生的注意力一直沒有離開過課堂，喚起學生的有意注意，學生學得生動活潑，印象深刻，充分展示了數(shù)學內(nèi)在的魅力。片段四（ 看“圖形”解決問題）師：畫圖之后再來解決問題，你愿意看著原來的文字思考還是看著圖形思考?為什么? 生：看圖形思考，比較方便。 師：畫圖后，你發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的花壇和原來的花壇半徑和直徑各有什么關(guān)系？ 生：半徑增加了2米，直徑增加了2個2米，也就

13、是增加了4米。 生：原來半徑是3米，現(xiàn)在半徑是5米;原來直徑是6米,現(xiàn)在直徑是10米。 師：增加部分的面積就是是圓環(huán)的面積，現(xiàn)在你能列出算式解決問題嗎? (生自主列式計算，師指名學生板書) 生：3.14(3+2)2-32 = 3.14(102)2-32 = 師：3是什么？3+2是什么？10是什么？102又是什么？在圖中指一指【反思】當抽象的文字敘述，轉(zhuǎn)化為直觀的圖畫時，學生對數(shù)量關(guān)系一目了然，自然會對畫圖的方法產(chǎn)生興趣和好感，此時老師追問：“現(xiàn)在看圖和文字哪個好？為什么？”有如順水推舟讓學生在“文字”和“圖形”兩者的比較中體會到了畫圖的價值，為學生正確解題打下了扎實的基礎(chǔ)。當學生畫圖之后，通過

14、觀察比較，將數(shù)與形的意義對應起來，大部分學生結(jié)合已有舊知都能解決所求問題。后面列式之后讓學生說出“3是什么？3+2是什么？10是什么？102又是什么”，再次數(shù)形對照，理解列式原理。片段五（回顧反思“畫圖”） 師：剛才我們?yōu)槭裁匆媹D呢? 生：沒有畫圖時，光看文字，看不出花壇向周圍拓展2米的變化。 生：畫圖之后，可以看出原來花壇的半徑是多少，現(xiàn)在花壇的直徑和半徑是多少。師：看來，畫圖確實是一種有效的策略?！痉此肌吭诮鉀Q問題之后讓學生回顧與反思，感受畫圖策略的價值所在。使學生在對解決問題過程的不斷反思中，感受到畫圖策略對于解決問題的價值；使學生進一步積累了解決問題的經(jīng)驗，增強了解決問題的策略意識，

15、并獲得了解決問題的成功經(jīng)驗，從而提高了學生學好數(shù)學的信心。事實上，策略作為一種隱性的、潛在的知識，本身并不易為學生所清晰地感知與把握。因此在經(jīng)歷解決問題的過程后作出必要的反思，無疑是策略教學十分重要的一環(huán)，也是構(gòu)建策略的精髓所在。三、“畫圖”策略應用的價值1、畫圖數(shù)形相結(jié)合，激發(fā)學生的興趣。布魯納說過：“最好的學習動機莫過于學生對所學材料本身具有內(nèi)在的興趣。”然而數(shù)學最本質(zhì)的東西是抽象的,很多學生看到只是用單調(diào)文字敘述的數(shù)學題一籌莫展時，往往容易對數(shù)學產(chǎn)生厭惡，甚至是恐懼感。基于這一點，我們一定會想“如果能使抽象枯燥的數(shù)學知識，形象化，具體化，使得數(shù)學教學充滿樂趣，那該多好啊！”如何使“數(shù)”添

16、“形”，這么多年的教學經(jīng)歷和反思，讓我覺得畫圖是很好的輔助工具。畫圖就是數(shù)形相結(jié)合，把抽象的東西形象化, 把“無形”的數(shù)學題變成直觀的、能摸得著的“有形”材料，學生在一幅幅自畫的圖形中看到解題的“曙光”，慢慢解除“怕”的 心理，逐漸從老師“要我學”轉(zhuǎn)變成“我要學”的良好的學習心理，有利于學生學習興趣的培養(yǎng)，從而有可能獲得最佳的教學效果。2、畫圖解題的中介，最大限度地激活學生的思維。教育大師蘇霍姆林斯基說過“孩子的智慧在手指上”。學生在解決數(shù)學問題的過程中利用畫圖這個中介輔助理解題目，其實他們在畫圖的過程中就是展示其數(shù)學思維過程，閃爍其數(shù)學思維火花的過程。學生能把一些看似剪不斷、理還亂的數(shù)學難題

17、，“翻譯”成圖表的符號，化繁為簡，使問題變得井然有序。整個過程中，學生把文字轉(zhuǎn)成圖畫，把圖畫轉(zhuǎn)成思維，是一個從“外化”到“內(nèi)化”的過程，是一個發(fā)展學生邏輯思維的過程。另外，小學生的思維形式處在以形象思維為主導的思維形式向抽象邏輯思維形式轉(zhuǎn)化的階段，他們抽象思維能力較弱，但好奇心較強，對具體形象的內(nèi)容、生動活潑的形式、新奇動人的事物比較敏感。如果在教學過程中巧用“畫圖”，能將教學內(nèi)容化靜為動，培養(yǎng)學生的抽象思維能力，引導學生在真實鮮明的感性認識中，發(fā)展智力因素，可有效地培養(yǎng)他們的抽象思維能力。3、畫圖感悟策略，提升學生的數(shù)學思想方法。離開教學活動過程，數(shù)學思想方法也無從談起。可見在我們的教學活動

18、過程中，學生的參與是非常重要的，沒有參與就不可能對數(shù)學知識、數(shù)學思想產(chǎn)生體驗；沒有了體驗，那數(shù)學思想只能是一種空話。所以在教學過程中，采取畫圖吸引全體的學生參與到數(shù)學教學過程中，讓他們以一種積極的狀態(tài)，主動參與到數(shù)學教學過程來，在這樣的氣氛下，我們的老師通過啟發(fā)引導，助學生不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感受畫圖解題策略價值，提升數(shù)學思想方法，同時讓學生根據(jù)自己的體驗，逐步領(lǐng)悟，用自己的思維方式構(gòu)建出數(shù)學思想方法的體系。 四、整理教材，做“解題策略”的有心人。翻閱人教版的112冊教材，可以發(fā)現(xiàn)教材對于“解決問題策略”并沒有以獨立的單元形式進行教學，但是在教材的很多領(lǐng)域里都蘊涵著解決問題策略的材料，特別是

19、在“數(shù)學廣角”這部分內(nèi)容。下面是我對人教版教材以“畫圖策略的運用”的一個整理。（如下表）頁數(shù)教學內(nèi)容畫圖策略的運用一上P6-7比一比可引導學生用自己喜歡的圖形畫一畫、比一比。一下P27-29圖形的拼組下圖中缺了( )塊,可讓學生親自畫一畫,感受一下。二上P99數(shù)學廣角每兩個人握一次手，3個人一共要握幾次手？ 二下P115找規(guī)律例1：三上P112數(shù)學廣角“搭配問題”有幾種不同的穿法：三下P108數(shù)學廣角“集合”四上P113(1分鐘)數(shù)學廣角“沏茶問題”把“沏茶問題”用示意圖來表示出來：(8分鐘)(1分鐘)(1分鐘)洗水壺 接水 燒水 沏茶(2分鐘)洗茶杯找茶葉 (1分鐘)盡快讓客人喝上茶的時間是

20、：1+1+8+1=11（分鐘） 四下P117數(shù)學廣角“植樹問題”兩端都種：兩端都不種：一端種：五上P92組合圖形的面積2cm通過畫一畫，把圖形分成幾個簡單的圖形再算出它的面積。5cm5cm五下P64分數(shù)的意義任選一個，在圖中涂色表示出來。六上P112-123數(shù)學廣角“雞兔同籠”籠子里有若干只雞和圖兔。從面上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有多少只？如果籠子里都是雞，那么就有8216只腳，這樣就多出261610只腳。一只兔比一只雞多2只腳，也就是1025只兔。所以籠子里有3只雞和5只兔。六下P91數(shù)學思考例5：6個點可以連成多少條線段？8個點呢？1、教材在“畫圖”策略編寫中的優(yōu)點：

21、（1）呈現(xiàn)形式比較豐富。主要有：線段圖、示意圖、統(tǒng)計圖、實物圖等。（2）畫圖要求不高，不強求統(tǒng)一的格式，只要學生畫的圖能夠有效地幫助自己分析和解決問題即可。 （3）畫圖策略幾乎貫穿于整套教材之中，無論是在解決簡單問題還是解決復雜問題時都發(fā)揮了畫圖策略的優(yōu)勢，通過各種圖形幫助學生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學生能從圖中理解題意和分析數(shù)量關(guān)系，搜尋到解決的突破口。2、教材在“畫圖”策略編寫中的不足： （1）教材對畫圖策略沒有一個具體的指導，教材在解決問題的過程中都比較重視運用畫圖策略，但都缺乏明確的指導。例如，在教材中的畫圖策略都是直接呈現(xiàn)或以問題形式提示學生，但具體該怎樣畫卻沒有體現(xiàn)。這樣不

22、利于教師準確把握教材，也不利于學生更好地掌握畫圖策略。 （2）畫圖策略缺乏整體設計，各年段的聯(lián)系和滲透體現(xiàn)不明顯。教材對畫圖策略的編排系統(tǒng)性不強。在低年級主要以實物操作、實物圖的形式呈現(xiàn)的，畫圖策略相對隱性。在中年級畫圖策略體現(xiàn)得較少。到了高年級畫圖策略相對明確，且呈現(xiàn)形式比較多樣。 鑒于以上對教材的梳理和分析，在整體把握畫圖策略的基礎(chǔ)上，“如何在解決問題過程中培養(yǎng)學生的畫圖策略”就成為急需解決的問題了。 五、“畫圖”策略教學的幾點建議。1、幫助學生不斷體會畫圖策略的價值和作用。 解決問題的策略多種多樣，其中畫圖是一種最基本的解決問題的策略。因為圖形比較直觀，通過畫圖能夠把一些抽象的數(shù)學問題具

23、體化，把一些復雜的問題簡單化。低年級孩子對抽象的數(shù)量關(guān)系的理解存在著一定困難。如果適時的讓孩子們自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以幫助學生分析理解抽象的數(shù)量關(guān)系，從而找到解決問題的方法。因此在低年級教學中教師就應有意識的教給學生借助圖來分析理解數(shù)量關(guān)系。 2、鼓勵學生運用多種圖的形式分析和解決問題。在傳統(tǒng)的應用題教學中，提到畫圖教師們想得更多的是線段圖，而且那時的線段圖在畫法上也有明確的要求，如：單位“1”要標在圖的上面，畫圖必須準確，要用直尺等，可以說傳統(tǒng)的教學更多的是把畫圖作為一個知識教給學生，而不是把它看成幫助學生解決問題的一個策略來進行教學，所以學生不愿意按照老師的要求來畫圖。新教材把畫圖

24、作為一種策略來教給學生，而且畫圖的形式也不只限于線段圖，學生可以根據(jù)自己的需要畫出不同的圖來幫助自己分析、理解數(shù)量關(guān)系，解決實際問題。因此教師應鼓勵學生運用多種圖的形式分析和解決問題，教師要認識到學生所畫的圖，在老師的眼中也許有優(yōu)劣之分，但在孩子的思考過程中并沒有好壞之別，都反映出學生對問題的理解和所作出的努力。只要學生畫的圖能夠有效地幫助自己分析和解決問題都應得到教師的肯定，不必強求統(tǒng)一的格式。這為樹立學生的自信心和培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神提供了很有價值的機會。3、重視對解題策略的指導，將“隱性”的策略“顯性化”。 在以往的應用題教學中教師更多地注重知識教學和問題本身的解決，而不重視對解題策略的總結(jié)和歸納，教學中要重視對學生解決問題策略的指導，將“隱性”的解決問題的策略“顯性化”。這樣有助于學生體會到策略在解決問題中的價值，提高學生解決問題的能力。