歷年初中數(shù)學(xué)競賽試題精選(含解答)

1、請預(yù)覽后下載！初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練(1)1、一個六位數(shù)，如果它的前三位數(shù)碼與后三位數(shù)碼完全相同，順序也相同，由此六位數(shù)可以被（）整除。A. 111B. 1000C. 1001D. 1111解：依題意設(shè)六位數(shù)為，則abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）abcabcb10（1031）c（1031）（a103b10c） （1031）1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整數(shù)，所以能被 1001 整除。故選 C方法二：代入法2、若，則 S 的整數(shù)部分是_2001119811198011S解：因 1981、19822001 均大于

2、1980，所以，又9022198019801221S1980、19812000 均小于 2001，所以，從而知 S22219022200120011221S的整數(shù)部分為 90。3、設(shè)有編號為 1、2、3100 的 100 盞電燈，各有接線開關(guān)控制著，開始時，它們都是關(guān)閉狀態(tài)，現(xiàn)有 100 個學(xué)生，第 1 個學(xué)生進來時，凡號碼是 1 的倍數(shù)的開關(guān)拉了一下，接著第二個學(xué)生進來，由號碼是 2 的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，第 n 個（n100）學(xué)生進來，凡號碼是 n 的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，如此下去，最后一個學(xué)生進來，把編號能被100 整除的電燈上的開關(guān)拉了一下，這樣做過之后，請問哪些燈還亮著。解：首先，電燈編號

3、有幾個正約數(shù)，它的開關(guān)就會被拉幾次，由于一開始電燈是關(guān)的，所以只有那些被拉過奇數(shù)次的燈才是亮的，因為只有平方數(shù)才有奇數(shù)個約數(shù)，所以請預(yù)覽后下載！那些編號為 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盞燈是亮的。4、某商店經(jīng)銷一批襯衣，進價為每件 m 元，零售價比進價高 a%，后因市場的變化，該店把零售價調(diào)整為原來零售價的 b%出售，那么調(diào)價后每件襯衣的零售價是 （）請預(yù)覽后下載！A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：根據(jù)題意，這批襯衣的零售價為每件 m（1a%）元，因調(diào)整后的零售價為原零售價

4、的 b%，所以調(diào)價后每件襯衣的零售價為 m（1a%）b%元。應(yīng)選 C5、如果 a、b、c 是非零實數(shù)，且 a+b+c=0，那么的所有可能|abcabcccbbaa的值為（）A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2解：由已知，a，b，c 為兩正一負或兩負一正。當 a，b，c 為兩正一負時：；0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，當 a，b，c 為兩負一正時：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由知所有可能的值為 0。|abcabcccbbaa應(yīng)選 A6、在ABC 中，a、b、c 分別為角 A、B、C 的對邊，若B60，則的

5、bcabac值為（）A. B. 2122C. 1D. 2解：過 A 點作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，由于B60，所以DB，AD。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a）2CC232C2b2C2，整理得 a2c2=b243cABCab請預(yù)覽后下載！ac，從而有1)(22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac應(yīng)選 C7、設(shè) ab0，a2+b2=4ab，則的值為（baba）A. B. C. 2D. 336解：因為(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得，abbaabba26，故。3baba應(yīng)選 A8.已知 a1999x2000，b

6、1999x2001，c1999x2002，則多項式 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值為（）A. 0B. 1C. 2D. 332) 1() 1(21211)()()(21222222222原式，又，解：accbbaaccbbacabcabcba9、已知 abc0，且 a+b+c0，則代數(shù)式的值是（abccabbca222）A. 3B. 2C. 1D. 03)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb解：原式10、某商品的標價比成本高 p%，當該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價的折扣（即降價的百分數(shù)）不得超過 d%，則 d 可用 p 表示為

7、請預(yù)覽后下載！解：設(shè)該商品的成本為 a，則有 a(1+p%)(1-d%)=a，解得p100p100d11、已知實數(shù) x、y、z 滿足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，則 x+2y+3z=_解：由已知條件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以 x1，y 是 t26tz29=0的兩個實根，方程有實數(shù)解，則（6）24（z29）4z20，從而知z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z812.氣象愛好者孔宗明同學(xué)在 x（x 為正整數(shù)）天中觀察到：有 7 個是雨天；有 5 個下午是晴天；有 6 個上午是晴天；當下午下雨時上午是晴天。則 x 等于（）A. 7B. 8C. 9D.

8、10解：選 C。設(shè)全天下雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴 c 天，全天晴 d 天。由題可得關(guān)系式 a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得 2d-a=4，即d2，故 b=4，c=3，于是 xa+b+c+d=9。13、有編號為、的四條賽艇，其速度依次為每小時、千米，1v2v3v4v且滿足0，其中，為水流速度（千米/小時） ，它們在河流中進1v2v3v4v水v行追逐賽。規(guī)則如下：（1）四條艇在同一起跑線上，同時出發(fā)，、是逆流而上，號艇順流而下。 （2）經(jīng)過 1 小時，、同時掉頭，追趕號艇，誰先追上號艇誰為冠軍，問冠軍為幾號？ 解：出發(fā) 1 小時后，、號艇與號艇的距離分別為4

9、41)(vvvvvvSiii水水（）各艇追上號艇的時間為44444421)()(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水水對有，即號艇追上號艇用的時間最小，號是冠1v2v3v4v321ttt軍。14.有一水池，池底有泉水不斷涌出，要將滿池的水抽干，用 12 臺水泵需 5 小時，用 10臺水泵需 7 小時，若要在 2 小時內(nèi)抽干，至少需水泵幾臺？解：設(shè)開始抽水時滿池水的量為，泉水每小時涌出的水量為，水泵每小時抽水量為xy，2 小時抽干滿池水需 n 臺水泵，則z請預(yù)覽后下載！nzyxzyxzyx2210771255由得，代入得： zyzx535nzzz21035，故 n 的最小整數(shù)值為 23。2

10、122n答：要在 2 小時內(nèi)抽干滿池水，至少需要水泵 23 臺15.某賓館一層客房比二層客房少 5 間，某旅游團 48 人，若全安排在第一層，每間 4 人，房間不夠，每間 5 人，則有房間住不滿；若全安排在第二層，每 3 人，房間不夠，每間住 4 人，則有房間住不滿，該賓館一層有客房多少間？解：設(shè)第一層有客房間，則第二層有間，由題可得x)5( x)5(448)5(35484xxxx由得：，即xx54848412539 x由得：，即)5(44848)5(3xx117 x原不等式組的解集為11539 x整數(shù)的值為。x10 x答：一層有客房 10 間。16、某生產(chǎn)小組開展勞動競賽后，每人一天多做 1

11、0 個零件，這樣 8 個人一天做的零件超過 200 個，后來改進技術(shù)，每人一天又多做 27 個零件，這樣他們 4 個人一天所做零件就超過勞動競賽中 8 個人做的零件，問他們改進技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動競賽前的幾倍？解：設(shè)勞動競賽前每人一天做個零件x由題意)10(8)2710(4200)10(8xxx解得1715 x是整數(shù)16xx請預(yù)覽后下載?。?637）163.3故改進技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動競賽前的 3.3 倍。請預(yù)覽后下載！初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（2 2）（方程應(yīng)用）一、選擇題：1、甲乙兩人同時從同一地點出發(fā)，相背而行 1 小時后他們分別到達各自的終點 A 與 B，若仍從原

12、地出發(fā)，互換彼此的目的地，則甲在乙到達 A 之后 35 分鐘到達 B，甲乙的速度之比為（）A. 35B. 43C. 45D. 34答：D。解：設(shè)甲的速度為千米/時，乙的速度為千米/時，根據(jù)題意知，從出發(fā)地點到 A1v2v的路程為千米，到 B 的路程為千米，從而有方程：1v2v，化簡得，解得不合題60352112vvvv012)(7)(1221221vvvv34(432121vvvv意舍去） 。應(yīng)選 D。2、某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為 10 個檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤 8 元，每提高一個檔次，每件產(chǎn)品利潤增加 2 元，用同樣工時，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn) 60 件，提高一個檔次將減少 3 件，如

13、果獲利潤最大的產(chǎn)品是第 R 檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量增加） ，那么 R 等于（）A. 5B. 7C. 9D. 10答：C。解：第 k 檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了（k1）個檔次，所以每天利潤為864)9(6)1(28)1(3602kkky所以，生產(chǎn)第 9 檔次產(chǎn)品獲利潤最大，每天獲利 864 元。3、某商店出售某種商品每件可獲利 m 元，利潤為 20%（利潤） ，若這種商品售價進價進價的進價提高 25%，而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利 m 元，則提價后的利潤率為（）A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5%答：C。解：若這商品原來進價為每件 a 元，提價后的

14、利潤率為，%x則解這個方程組，得，即提價后的利潤率為 16%。%)251 (%20 xamam16x4、某項工程，甲單獨需 a 天完成，在甲做了 c（ca）天后，剩下工作由乙單獨完成還需 b 天，若開始就由甲乙兩人共同合作，則完成任務(wù)需（）天A. B. C. D. cabababc2cbacbabc請預(yù)覽后下載！答：B。請預(yù)覽后下載！解：設(shè)甲乙合作用天完成。x由題意：，解得。故選 B。1)11(xbacacbaabx5、A、B、C 三個足球隊舉行循環(huán)比賽，下表給出部分比賽結(jié)果：球隊比賽場次勝負平進球數(shù)失球數(shù)A22 場1B21 場24C237則：A、B 兩隊比賽時，A 隊與 B 隊進球數(shù)之比為（

15、）A. 20B. 31C. 21D. 02答：A。解：A 與 B 比賽時，A 勝 2 場，B 勝 0 場，A 與 B 的比為 20。就選 A。6、甲乙兩輛汽車進行千米比賽，當甲車到達終點時，乙車距終點還有 a 千米（0a50）現(xiàn)將甲車起跑處從原點后移 a 千米，重新開始比賽，那么比賽的結(jié)果是（）A. 甲先到達終點B. 乙先到達終點C. 甲乙同時到達終點D. 確定誰先到與 a 值無關(guān)答：A。解：設(shè)從起點到終點 S 千米，甲走(s+a)千米時，乙走 x 千米。千米。甲先到。故選乙走（千米時，即甲走A)a)(s000)(: )()( :22222sasssasassasassasasxxasass7

16、、一只小船順流航行在甲、乙兩個碼頭之間需 a 小時，逆流航行這段路程需 b 小時，那么一木塊順水漂流這段路需（）小時A. B. C. D. baab2abab2baababab答：B。解：設(shè)小船自身在靜水中的速度為 v 千米/時，水流速度為 x 千米/時，甲乙之間的距離為 S 千米，于是有求得所以。bSxvaSxv，abSabx2)( ababxS28、A 的年齡比 B 與 C 的年齡和大 16，A 的年齡的平方比 B 與 C 的年齡和的平方大1632，那么 A、B、C 的年齡之和是（）A. 210B. 201C. 102D. 120請預(yù)覽后下載！答：C。解：設(shè) A、B、C 各人的年齡為 A、

17、B、C，則 AB+C+16A2（BC）2+1632由可得（ABC） （ABC）1632，由得ABC16，代入可求得 ABC102二、填空題1、甲乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，都計劃把全年的產(chǎn)品銷往濟南，這樣兩廠的產(chǎn)品就能占有濟南市場同類產(chǎn)品的，然而實際情況并不理想，甲廠僅有的產(chǎn)品，乙廠僅有4321的產(chǎn)品銷到了濟南，兩廠的產(chǎn)品僅占了濟南市場同類產(chǎn)品的，則甲廠該產(chǎn)品的3131年產(chǎn)量與乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量的比為答：21。解：甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為，乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為。xy則：，解得31433121yxyx1:2:2yxyx2、假期學(xué)校組織 360 名師生外出旅游，某客車出租公司有兩種大客車可供選擇，甲種客車每

18、輛有 40 個座位，租金 400 元；乙種客車每輛有 50 個座位，租金 480 元，則租用該公司客車最少需用租金元。答：3520。解：因為 9 輛甲種客車可以乘坐 360 人，故最多需要 9 輛客車；又因為 7 輛乙種客車只能乘坐 350 人，故最多需要 8 輛客車。當用 9 輛客車時，顯然用 9 輛甲種客車需用租金最少，為 40093600 元；當用 8 輛客車時，因為 7 輛甲種客車，1 輛乙種客車只能乘坐 407+50330 人，而 6 輛甲種客車，2 輛乙種客車只能乘坐 406+502340 人，5 輛甲種客車，3輛乙種客車只能乘坐 405+503350 人，4 輛甲種客車，4 輛乙

19、種客車只能乘坐404+504360 人，所以用 8 輛客車時最少要用 4 輛乙種客車，顯然用 4 輛甲種客車，4 輛乙種客車時需用租金最少為 4004+48043520 元。3、時鐘在四點與五點之間，在時刻（時針與分針）在同一條直線上？答：4 點分或 4 點分時，兩針在同一直線上。1192111654請預(yù)覽后下載！解：設(shè)四點過分后，兩針在同一直線上，x若兩針重合，則，求得分，xx21120611921x若兩針成 180 度角，則，求得分。180211206xx11654x所以在 4 點分或 4 點分時，兩針在同一直線上。11921116544、為民房產(chǎn)公司把一套房子以標價的九五折出售給錢先生，

20、錢先生在三年后再以超出房子原來標價 60%的價格把房子轉(zhuǎn)讓給金先生，考慮到三年來物價的總漲幅為 40%，則錢先生實際上按%的利率獲得了利潤（精確到一位小數(shù)）答：20.3。解：錢先生購房開支為標價的 95%，考慮到物價上漲因素，錢先生轉(zhuǎn)讓房子的利率為%3 .20203. 014 . 195. 06 . 11%)401%(95%6015、甲乙兩名運動員在長 100 米的游泳池兩邊同時開始相向游泳，甲游 100 米要 72 秒，乙游 100 米要 60 秒，略去轉(zhuǎn)身時間不計，在 12 分鐘內(nèi)二人相遇次。答：共 11 次。6、已知甲、乙、丙三人的年齡都是正整數(shù)，甲的年齡是乙的兩倍，乙比丙小 7 歲，三

21、人的年齡之和是小于 70 的質(zhì)數(shù)，且質(zhì)數(shù)的各位數(shù)字之和為 13，則甲、乙、丙三人的年齡分別是答：30 歲、15 歲、22 歲。解：設(shè)甲、乙、丙的年齡分別為歲、歲、歲，則xyz60100 米180300420540660720請預(yù)覽后下載！為質(zhì)數(shù)且7072zyxzyxzyyx顯然是兩位數(shù)，而 134+95+86+7zyx只能等于 67。由三式構(gòu)成的方程組，得，zyx30 x15y。22z三、解答題1、某項工程，如果由甲乙兩隊承包，天完成，需付 180000 元；由乙、丙兩隊承包，522天完成，需付 150000 元；由甲、丙兩隊承包，天完成，需付 160000 元，現(xiàn)433762在工程由一個隊單

22、獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少？解：設(shè)甲、乙、丙單獨承包各需、天完成，xyz則解得207111541112511xzzyyx1064zyx再設(shè)甲、乙、丙單獨工作一天，各需、元，uvw則，解得160000)(720150000)(415180000)(512uwwvvu105002950045500wvu于是，甲隊單獨承包費用是 455004182000（元） ，由乙隊單獨承包費用是295006177000（元） ，而丙不能在一周內(nèi)完成，所以，乙隊承包費最少。2、甲、乙兩汽車零售商（以下分別簡稱甲、乙）向某品牌汽車生產(chǎn)廠訂購一批汽車，甲開始定購的汽車數(shù)量是乙所訂購數(shù)量的 3

23、倍，后來由于某種原因，甲從其所訂的汽車中轉(zhuǎn)讓給乙 6 輛，在提車時，生產(chǎn)廠所提供的汽車比甲、乙所訂購的總數(shù)少了6 輛，最后甲所購汽車的數(shù)量是乙所購的 2 倍，試問甲、乙最后所購得的汽車總數(shù)最請預(yù)覽后下載！多是多少量？最少是多少輛？請預(yù)覽后下載！解：設(shè)甲、乙最后所購得的汽車總數(shù)為輛，在生產(chǎn)廠最后少供的 6 輛車中，甲少要了x輛（） ，乙少要了（）輛，則有y60 yy6，整理后得。)6(6)6(41 26)6(43yxyxyx1218當時，最大，為 90；當時，最小為 18。6yx0yx所以甲、乙購得的汽車總數(shù)至多為 90 輛，至少為 18 輛。3、8 個人乘速度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站，每

24、輛車乘 4 人（不包括司機） ，其中一輛小汽車在距離火車站 15km 的地方出現(xiàn)故障，此時距停止檢票的時間還有 42分鐘。這時惟一可利用的交通工具是另一輛小汽車，已知包括司機在內(nèi)這輛車限乘5 人，且這輛車的平均速度是 60km/h，人步行的平均速度是 5km/h。試設(shè)計兩種方案，通過計算說明這 8 個人能夠在停止檢票前趕到火車站。解：方案一：當小汽車出現(xiàn)故障時，乘這輛車的 4 個人下車步行，另一輛車將車內(nèi)的 4 個人送到火車站，立即返回接步行的 4 個人到火車站。設(shè)乘出現(xiàn)故障汽車的 4 個人步行的距離為，根據(jù)題意，有xkm6015155xx解得，因此這 8 個人全部到火車站所需時間為1330

25、x（分鐘）（分鐘）小時4213540523560)133015(51330故此方案可行。方案二：當小汽車出現(xiàn)故障時，乘這輛車的 4 個人下車步行，另一輛車將車內(nèi)的4 個人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外 4個人，使得兩批人員最后同時到達車站。分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，D 為無故障汽車人員下車地點，C 為有故障汽車人員上車地點。因此，設(shè) ACBDy，有解得。因此這 8 個人同時到火車站所需時間為60215155yyy2y，故此方案可行。（分鐘）分鐘）（小時）42(37603760215524、某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午

26、7 時到達學(xué)校，接參觀的師生立即出發(fā)到縣城，由于汽車在赴校途中發(fā)生了故障，不得不停車修理，學(xué)校師生等到 7時 10 分仍未見汽車來接，就步行走向縣城，在行進途中遇到了已修理好的汽車，立即火車站ACDB故障點請預(yù)覽后下載！上車趕赴縣城，結(jié)果比原來到達縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6 倍，問汽車在途中排除故障花了多少時間？請預(yù)覽后下載！解：假定排除故障花時分鐘，如圖設(shè)點 A 為縣城所在地，點 C 為學(xué)校所在地，點 B 為x師生途中與汽車相遇之處。在師生們晚到縣城的 30 分鐘中，有 10 分鐘是因晚出發(fā)造成的，還有 20 分鐘是由于從 C 到 B 步行代替乘車而耽誤的，汽車所晚的

27、 30 分鐘，一方面是由于排除故障耽誤了分鐘，但另一方面由于少跑了 B 到 C 之間的一個來回而x省下了一些時間，已知汽車速度是步行速度的 6 倍，而步行比汽車從 C 到 B 這段距離要多花 20 分鐘，由此汽車由 C 到 B 應(yīng)花（分鐘） ，一個來回省下 8 分鐘，41620所以有-83038即汽車在途中排除故障花了 38 分鐘。xx初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（3 3）（邏輯推理）一、選擇題：1、世界杯足球賽小組賽，每個小組 4 個隊進行單循環(huán)比賽，每場比賽勝隊得 3 分，敗隊得 0 分，平局時兩隊各得 1 分，小組賽完以后，總積分最高的兩個隊出線進入下輪比賽，如果總積分相同

28、，還要按凈勝球排序，一個隊要保證出線，這個隊至少要積（）A. 6 分B. 7 分C. 8 分D. 9 分答：B。解：4 個隊單循環(huán)比賽共比賽 6 場，每場比賽后兩隊得分之和或為 2 分（即打平） ，或為3 分（有勝負） ，所以 6 場后各隊的得分之和不超過 18 分，若一個隊得 7 分，剩下的3 個隊得分之和不超過 11 分，不可能有兩個隊得分之和大于或等于 7 分，所以這個隊必定出線，如果一個隊得 6 分，則有可能還有兩個隊均得 6 分，而凈勝球比該隊多，該隊仍不能出線。應(yīng)選 B。2、甲、乙、丙三人比賽象棋，每局比賽后，若是和棋，則這兩個人繼續(xù)比賽，直到分出勝負，負者退下，由另一個與勝者比賽

29、，比賽若干局后，甲勝 4 局，負 2 局；乙勝 3 局，負 3 局，如果丙負 3 局，那么丙勝（）A. 0 局B. 1 局C. 2 局D. 3 局ABC請預(yù)覽后下載！答：B。解：有人勝一局，便有人負一局，已知總負局數(shù)為 2+3+38，而甲、乙勝局數(shù)為4+37，故丙勝局數(shù)為 8-71，應(yīng)選 B。3、已知四邊形 ABCD 從下列條件中ABCDBCADABCDBCADACBD，任取其中兩個，可以得出“四邊形 ABCD 是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（）A. 4 種B. 9 種C. 13 種D. 15 種答：B。解：共有 15 種搭配。和和和和和和和和和能得出四邊形 ABCD 是平行四邊形。和和和和和

30、和不能得出四邊形 ABCD 是平行四邊形。應(yīng)選 B。4、某校初三兩個畢業(yè)班的學(xué)生和教師共 100 人，一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形陣（排數(shù)3） ，且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空檔處，那么滿足上述要求的排法的方案有（）A. 1 種B. 2 種C. 4 種D. 0 種答：B。解：設(shè)最后一排 k 個人，共 n 排，各排人數(shù)為 k，k+1，k+2k+（n1） 。由題意，即，因 k、n 都是正整數(shù)，且 n3，所1002) 1(nnnk200)1(2 nkn以，且 n 與的奇偶性相同，將 200 分解質(zhì)因數(shù)可知) 1(2nkn)

31、 1(2 nkn5 或 n8，當 n=5 時，k=18，當 n=8 時，k9，共有兩種方案。應(yīng)選 B。5、正整數(shù) n 小于 100，并且滿足等式，其中表示不超過 x 的nnnn632 x最大整數(shù)，這樣的正整數(shù) n 有（）個A. 2B. 3C. 12D. 16答：D。解：由，以及若 x 不是整數(shù)，則xx 知，2|n，3|n，6|n，即 n 是nnnn6326 的倍數(shù)，因此小于 100 的這樣的正整數(shù)有個。應(yīng)選 D。1661006、周末晚會上，師生共有 20 人參加跳舞，其中方老師和 7 個學(xué)生跳舞，張老師和 8 個學(xué)生跳舞依次下去，一直到何老師，他和參加跳舞的所有學(xué)生跳過舞，這個晚會上參加跳舞的

32、學(xué)生人數(shù)是（）請預(yù)覽后下載！A. 15B. 14C. 13D. 12答：C。解：設(shè)參加跳舞的老師有 x 人，則第一個是方老師和（6+1）個學(xué)生跳過舞；第二是張老師和（6+2）個學(xué)生跳過舞；第三個是王老師和（6+3）個學(xué)生跳過舞第 x 個是何老師和（6+x）個學(xué)生跳過舞，所以有 x（6+x）20，x7，20-713。故選 C。7、如圖某三角形展覽館由 25 個正三角形展室組成，每兩個相鄰展室（指有公共邊的小三角形）都有門相通，若某參觀者不愿返回已參觀過的展室（通過每個房間至少一次） ，那么他至多能參觀（）個展室。A. 23B. 22C. 21D. 20答：C。解：如圖對展室作黑白相間染色，得 1

33、0 個白室，15 個黑室，按要求不返回參觀過的展室，因此，參觀時必定是從黑室到白室或從白室到黑室（不會出現(xiàn)從黑到黑，或從白到白） ，由于白室只有 10 個，為使參觀的展室最多，只能從黑室開始，順次經(jīng)過所有的白室，最終到達黑室，所以，至多能參觀到 21 個展室。選 C。8、一副撲克牌有 4 種花色，每種花色有 13 張，從中任意抽牌，最小要抽（）張才能保證有 4 張牌是同一花色的。A. 12B. 13C. 14D. 15答：選 B。解：4 種花色相當于 4 個抽屜，設(shè)最少要抽 x 張撲克，問題相當于把 x 張撲克放進 4 個抽屜，至少有 4 張牌在同一個抽屜，有 x=34+113。故選 B。二、

34、填空題：1、觀察下列圖形：根據(jù)的規(guī)律，圖中三角形個數(shù)解：根據(jù)圖中、的規(guī)律，可知圖中的三角形的個數(shù)為1+4+34+324+3341+4+12+36+108161（個）2、有兩副撲克牌，每副牌的排列順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花花色的牌又按 A，1，2，3，J，Q，K請預(yù)覽后下載！的順序排列，某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，請預(yù)覽后下載！如此下去，直到最后只剩下一張牌，則所剩的這張牌是解：根據(jù)題意，如果撲克牌的張數(shù)為 2、22、23、2n，那么依照上述

35、操作方法，剩下的一張牌就是這些牌的最后一張，例如：手中只有 64 張牌，依照上述操作方法，最后只剩下第 64 張牌，現(xiàn)在手中有 108 張牌，多出 108-6444（張） ，如果依照上述操作方法，先丟掉 44 張牌，那么此時手中恰有 64 張牌，而原來順序的第 88 張牌恰好放在手中牌的最底層，這樣，再繼續(xù)進行丟、留的操作，最后剩下的就是原順序的第 88 張牌，按照兩副撲克牌的花色排列順序 88-54-2-266，所剩的最后一張牌是第二副牌中的方塊 6。3、用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十個數(shù)字一共可組成個能被 5 整除的三位數(shù)解：百位上的數(shù)共有 9 個，十位上的數(shù)共有 10 個

36、，個位上的數(shù)共有 2 個，因此所有的三位數(shù)共 9102180。4、將 7 個小球分別放入 3 個盒子里，允許有的盒子空著不放，試問有種不同放法。解：設(shè)放在三個盒子里的球數(shù)分別為、，球無區(qū)別，盒子無區(qū)別，故可令xyz，依題意有，于是，故 x 只有取0 yx07zyxzyx73 x312x3、4、5、6、7 共五個值。時，則只取 3、2，相應(yīng)取 1、2，故有 2 種放法；3x4 zyyz4 時，3，則只取 3、2，相應(yīng)取 0、1，故有 2 種放法；x zyyz5 時，2，則只取 2、1，相應(yīng)取 1、0，故有 2 種放法；x zyyz6 時，1，則只取 1，相應(yīng)取 0，故有 1 種放法；x zyyz

37、7 時，0，則只取 0，相應(yīng)取 0，故有 1 種放法；x zyyz綜上所求，故有 8 種不同放法。5、有 1997 個負號“”排成一行，甲乙輪流改“”為正號“” ，每次只準畫一個或相鄰的兩個“”為“” ，先畫完“”使對方無法再畫為勝，現(xiàn)規(guī)定甲先畫，則其必勝的策略是解：先把第 999 個（中間） “”改為“” ，然后，對乙的每次改動，甲做與之中心對稱的改動，視數(shù)字為點，對應(yīng)在數(shù)軸上，這 1997 個點正好關(guān)于點（999）對稱。請預(yù)覽后下載！6、有 100 個人，其中至少有 1 人說假話，又知這 100 人里任意 2 人總有個說真話，則說真話的有人。解：由題意說假話的至少有 1 人，但不多于 1

38、人，所以說假話的 1 人，說真話的 99 人。三、解答題1、今有長度分別為 1、2、3、9 的線段各一條，可用多少種不同的方法從中選用若干條組成正方形？解：1+2+3+945，故正方形的邊長最多為 11，而組成的正方形的邊長至少有兩條線段的和，故邊長最小為 7。71+62+53+481+72+63+59+18+27+36+49+28+37+46+591+82+73+64+5故邊長為 7、8、10、11 的正方形各一個，共 4 個。而邊長為 9 的邊可有 5 種可能能組成 5 種不同的正方形。所以有 9 種不同的方法組成正方形。2、某校派出學(xué)生 204 人上山植樹 15301 株，其中最少一人植

39、樹 50 株，最多一人植樹100 株，證明至少有 5 人植樹的株數(shù)相同。證明：利用抽屜原理，按植樹的多少，從 50 至 100 株可以構(gòu)造 51 年抽屜，則問題轉(zhuǎn)化為至少有 5 人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里。 （用反證法）假設(shè)無 5 人或 5 人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有 4 人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為 204 人，每個抽屜最多有 4 人，故植樹的總株數(shù)最多有：4（505152100）41530015301，得出矛盾。因251)10050(此，至少有 5 人植樹的株數(shù)相同。3、袋中裝有 2002 個彈子，張偉和王華輪流每次可取 1，2 或 3 個，規(guī)定誰能最后取

40、完彈子誰就獲勝，現(xiàn)由王華先取，問哪個獲勝？他該怎樣玩這場游戲？解：王華獲勝。王華先取 2 個彈子，將 2000（是 4 的倍數(shù)）個彈子留給張偉取，不記張偉取多少個彈子，設(shè)為 x 個，王華總跟著?。?x）個，這樣總保證將 4 的倍數(shù)個彈子留給張偉取，如此下去，最后一次是將 4 個彈子留給張偉取，張偉取后，王華一次取完余下的彈子。4、有 17 個科學(xué)家，他們中的每一個都和其他的科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論三個問題，每一對科學(xué)家互相通信時，僅僅討論同一個問題。證明至少有三個科學(xué)請預(yù)覽后下載！家關(guān)于同一個題目互相通信請預(yù)覽后下載！解析：在研究與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問題時，常常利用染色造抽屜解

41、題。17 位科學(xué)家看作 17 個點，每兩位科學(xué)家互相通信看作是兩點的連線段，關(guān)于三個問題通信可看作是用三種顏色染成的線段，如用紅色表示關(guān)于問題甲的通信，藍色表示問題乙通信，黃色表示問題丙通信。這樣等價于：有 17 個點，任三點不共線，每兩點連成一條線段，把每條線段染成紅色、藍色和黃色，且每條線段只染一種顏色，證明一定存在一個三角形三邊同色的三角形。證明：從 17 個點中的一點，比如點 A 處作引 16 條線段，共三種顏色，由抽屜原理至少有 6 條線段同色，設(shè)為 AB、AC、AD、AE、AF、AG 且均為紅色。若 B、C、D、E、F、G 這六個點中有兩點連線為紅線，設(shè)這兩點為 B、C，則ABC

42、是一個三邊同為紅色的三角形。若 B、C、D、E、F、G 這六點中任兩點的連線不是紅色，則考慮 5 條線段BC、BD、BE、BF、BG 的顏色只能是兩種，必有 3 條線段同色，設(shè)為 BC、BD、BE 均為黃色，再研究CDE 的三邊的顏色，要么同為藍色，則CDE 是一個三邊同色的三角形，要么至少有一邊為黃色，設(shè)這邊為 CD，則CDE 是一個三邊同為黃色的三角形。初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（4 4）（命題及三角形邊角不等關(guān)系）一、選擇題：1、如圖 8-1，已知 AB10，P 是線段 AB 上任意一點，在 AB 的同側(cè)分別以 AP 和 PB 為邊作兩個等邊三角形 APC 和 BPD，則

43、線段 CD 的長度的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. ) 15(5解：如圖過 C 作 CEAD 于 E，過 D 作 DFPB 于 F，過 D 作 DGCE 于G。 顯然 DGEFAB5，CDDG，當 P 為 AB 中點時，有21CDDG5，所以 CD 長度的最小值是 5。2、如圖 8-2，四邊形 ABCD 中A60，BD90，AD8，AB7，則 BCCD 等于（）A. B. 5C. 4D. 336333ABCDPEFG60ABCDABCDP圖 8-1圖 8-2ADCBEF圖 8-360ABCDABCDP圖 8-1圖 8-2ADCBEF圖 8-3請預(yù)覽后下載！解：如圖延長 AB、DC 相

44、交于 E，在 RtADE 中，可求得AE16，DE8，于是 BEAEAB9，在 RtBEC3中，可求得 BC3，CE6，于是 CDDECE233BCCD5。333、如圖 8-3，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD3，BC9，AB6，CD4，若 EFBC，且梯形 AEFD 與梯形 EBCF 的周長相等，則 EF 的長為（）A. B. C. D. 745533539215解：由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CFAD+AE+FDEB+BC+CF11)(21CDBCABADEFBC，EFAD，F(xiàn)CDFEBAE設(shè)，kFCDFEBAE141161kkCDkkDFkkABkkAE，AD+A

45、E+FD3+解得 k413131416kkkkkk111313kk作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G，則 GFHCAD3，BHBCCH9-36，54ABAEBHEG52454BHEG5393524GFEGEF4、已知ABC 的三個內(nèi)角為 A、B、C 且 A+B，C+A，C+B，則 、中，銳角的個數(shù)最多為（）A. 1B. 2C. 3D. 0解：假設(shè) 、 三個角都是銳角，即 90，90，90，也就是A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270，ABC135與ABC180矛盾。故 、 不可能都是銳角，假設(shè) 、 中有兩個60ABCDABCDP圖 8-1圖 8-2ADC

46、BEF圖 8-360ABCDEADCBEFHG請預(yù)覽后下載！銳角，不妨設(shè)請預(yù)覽后下載！、 是銳角，那么有 AB90，CA90，A(ABC)b，若兩個三角形的最小內(nèi)角相等，則的值等于（）baA. B. C. D. 213 215 223 225 解：設(shè)ABC 中，ABACa，BCb，如圖 D 是 AB 上一點，有 ADb，因 ab，故A是ABC 的最小角，設(shè)AQ，則以 b,b,a 為三邊之三角形的最小角亦為 Q，從而它與ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，從而得，即，令，即得方程BCBDABBCbbaabbax ，解得。選 B。012 xx215 b

47、ax7、在凸 10 邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個數(shù)最多是（）A. 0B. 1C. 3D. 5解：C。由于任意凸多邊形的所有外角之和都是 360，故外角中鈍角的個數(shù)不能超過 3個，又因為內(nèi)角與外角互補，因此，內(nèi)角中銳角最多不能超過 3 個，實際上，容易構(gòu)造出內(nèi)角中有三個銳角的凸 10 邊形。圖 8-4ABCDADCFCBEQABCD請預(yù)覽后下載！8、若函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于 A，C 兩點，AB 垂直 x 軸于 B，則)0(kkxyxy1ABC 的面積為（）A. 1B. 2C. kD. k2解：A。設(shè)點 A 的坐標為（） ，則，故ABO 的面積為，又因為yx，1xy2121xyABO 與CBO 同底

48、等高，因此ABC 的面積2ABO 的面積1。二、填空題1、若四邊形的一組對邊中點的連線的長為 d，另一組對邊的長分別為 a，b，則 d 與的大小關(guān)系是2ba 解：如圖設(shè)四邊形 ABCD 的一組對邊 AB 和 CD 的中點分別為 M、N，MNd，另一組對邊是 AD 和 BC，其長度分別為 a、b，連結(jié) BD，設(shè) P 是 BD 的中點，連結(jié)MP、PN，則 MP，NP，顯然恒有，2a2b2bad當 ADBC，由平行線等分線段定理知 M、N、P 三點共線，此時有，所以與的大小關(guān)系2badd2ba 是。)2(2dbabad或2、如圖 8-5，AA、BB分別是EAB、DBC 的平分線，若 AABBAB，則

49、BAC 的度數(shù)為解：12。設(shè)BAC 的度數(shù)為 x，ABBB BBD2x，CBD4xABAAAABAB ACBD4xAAB)180(21x，于是可解出 x12。18044)180(21xxx3、已知五條線段長度分別是 3、5、7、9、11，將其中不同的三個數(shù)組成三數(shù)組，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）問有多少組中的三個數(shù)恰好構(gòu)成一個三角形的三條邊的長ABBDC圖 8-5EAABDCPMN請預(yù)覽后下載！解：以 3，5，7，9，11 構(gòu)成的三數(shù)組不難列舉出共有 10 組，它們是（3，5，7） 、（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11

50、） 、 （5，7，9） 、（5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）這三組不能構(gòu)成三角形的邊長，因此共有7 個數(shù)組構(gòu)成三角形三邊長。4、如圖 8-6，P 是矩形 ABCD 內(nèi)一點，若 PA3，PB4，PC5，則 PD4、過 P 作 AB 的平行線分別交 DA、BC 于 E、F，過 P 作 BC 的平行線分別交 AB、CD 于 G、H。設(shè) AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，則222222222222DPadcbBPdbCPcaAP，于是，故，2222DPBP

51、CPAP184532222222BPCPAPDPDP325、如圖 8-7，甲樓樓高 16 米，乙樓座落在甲樓的正北面，已知當?shù)囟林形?12 時太陽光線與水平面的夾角為 30，此時求如果兩樓相距 20 米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當是米。解：設(shè)冬天太陽最低時，甲樓最高處 A 點的影子落在乙樓的 C 處，那么圖中 CD 的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高度，設(shè) CEAB 于點 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC20 米。所以 AEEC（米）6 .11332030tan20tanACE。CDEBAB-AE16-11.64.4（米

52、）設(shè)點 A 的影子落到地面上某一點 C，則在ABC 中，ACB30，AB16 米，所以圖 8-6ABDCP16米20米ABCD甲乙圖 8-7圖 8-8BACPABDCPEFGHaabbcd16米20米ABCD甲乙E請預(yù)覽后下載！（米） 。所以要使甲樓的影子不影響乙樓，那7 .27316cotACBABBC么乙樓距離甲樓至少要 27.7 米。6、如圖 8-8，在ABC 中，ABC60，點 P 是ABC 內(nèi)的一點，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，則 PB提示：由題意APBBPCCPA120，設(shè)PBC，ABC60則ABP60，BAPPBC，ABPBPC，BP2APPCPCBPBPAP34

53、48 PCAPBP三、解答題1、如圖 8-9，AD 是ABC 中 BC 邊上的中線，求證：AD（AB+AC）21證明：如圖延長 AD 至 E，使 ADDE，連結(jié) BE。BDDC，ADDE，ADCEDBACDEBDACBE在ABE 中，AEABBE，即 2ADABACAD（ABAC）212、已知一個三角形的周長為 P，問這個三角形的最大邊長度在哪個范圍內(nèi)變化？答案提示：在ABC 中，不妨設(shè) abca+bca+b+c2c即 p2cc，2p另一方面 ca 且 cb2ca+b3c。3pcpcba因此23pcp3、如圖 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分線，DEBC 交 AC 于點

54、 E，DFAC 交 BC 于點 F。求證：四邊形 CEDF 是正方形。CD22AEBF證明：ACB90，DEBC，DFAC，DEABDC圖 8-9ACFBDE圖 8-10ABDCE請預(yù)覽后下載！AC，DEBC，從而ECFDECDFC90。CD 是角平分線DEDF，即知四邊形 CEDF 是正方形。在 RtAED 和 RtDFB 中，DEBCADEBRtAEDRtDFB，即 DEDFAEBFCDDEDF，BFDEDFAE22BFAEDFDEDFDECD222224、從 1、2、3、4、2004 中任選 k 個數(shù)，使所選的 k 個數(shù)中一定可以找到能構(gòu)成三角形邊長的三個數(shù)（這里要求三角形三邊長互不相等

55、） ，試問滿足條件的 k 的最小值是多少？解：這一問題等價于在 1，2，3，2004 中選 k1 個數(shù)，使其中任意三個數(shù)都不能成為三邊互不相等的一個三角形三邊的長，試問滿足這一條件的 k 的最大值是多少？符合上述條件的數(shù)組，當 k4 時，最小的三個數(shù)就是 1，2，3，由此可不斷擴大該數(shù)組，只要加入的數(shù)大于或等于已得數(shù)組中最大的兩個數(shù)之和，所以，為使 k達到最大，可選加入之數(shù)等于已得數(shù)組中最大的兩數(shù)之和，這樣得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597共 16 個數(shù)，對符合上述條件的任數(shù)組，a1，a2an顯然總有 ai大于等于中的第 i

56、個數(shù)，所以 n16k1，從而知 k 的最小值為 17。初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（初中數(shù)學(xué)競賽專項訓(xùn)練（5 5）（面積及等積變換）一、選擇題：1、如圖 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 與 BD 交于 O，點 P 在 AB 的延長線上，且BPCD，則圖形中面積相等的三角形有（）A. 3 對B. 4 對C. 5 對D. 6 對解：C。ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABCSSSSSSSSSS，2、如圖 9-2，點 E、F 分別是矩形 ABCD 的邊 AB、BC 的中點，連 AF、CE，設(shè) AF、CE 交于點 G，則等于（）ABCDAGCDSS矩形四邊形PADCBO圖

57、9-1ABCDEFG圖 9-2請預(yù)覽后下載！A. B. C. D. 65544332解：D。連結(jié) AC，有，則3:1:ABCAGCSS。ABCDABCDABCDACDAGCAGCD32212131S矩形矩形矩形四邊形SSSSS3、設(shè)ABC 的面積為 1，D 是邊 AB 上一點，且，若在邊 AC 上取一點 E，使四ABAD31邊形 DECB 的面積為，則的值為（）43EACEA. B. C. D. 21314151解：B。如圖聯(lián)結(jié) BE，ADES41431設(shè)，則xACCExABE1S414131SxxADE，31EACE4、如圖 9-3，在ABC 中，ACB90，分別以 AC、AB 為邊，在AB

58、C 外作正方形ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB，分別交 AB 和 GH 于 D 和 K，則正方形 ACEF 的面積S1與矩形 AGKD 的面積 S2的大小關(guān)系是（）A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 不能確定，與的大小有關(guān)ABAC解：選 A。，因為AGADSACS221，ACBRtADCRt所以，即，又因為 ABAG，ABACACADABADAC2所以，所以應(yīng)選 A。221SAGADACS5、如圖 9-4，四邊形 ABCD 中，A60，BD90，AD8，AB7，則 BC+CD 等于（）A. B. 5C. 4D. 336333ABCDHGKFE圖 9-3ABCD圖 9-4A

59、EDBC請預(yù)覽后下載！解：B。如圖延長 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中，可求得AE14，于是 DEAE，AD=6，又 BE，在 RtCDE3中，可求得 CD2，CE4，于是 BCBECE33，BC+CD5。336、如圖 9-5，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設(shè) a1，則正方形的面積為（）A. B. 253C. D. 2537 215 2)21 ( 解：A。由右圖與左圖的面積相等，得，已知，所以有，即2)()(bababb1a2) 1() 12(bbb，解得，從而正方形的面積為012bb251b。2537)253() 1(22b7、如圖 9-6，矩形 ABCD 中，AB

60、a，BCb，M 是 BC 的中點，DEAM，E 為垂足，則DE（）A. B. 2242baab224baabC. D. 2242baab224baab7、A。解：由ADEABM，得 DE222242)21(baabbaabAMABAD8、O 為ABC 內(nèi)一點，AO、BO、CO 及其延長線把ABC 分成六個小三角形，它們的面積如圖 9-7 所示，則 SABC（）A. 292B. 315C. 322D. 357abaabb圖 9-5abABCDEM圖 9-6ABCDEFO84xyy40y30y35y圖 9-7ABCDE60請預(yù)覽后下載！解：B。，即CDOACOBDOABOSSDOAOSS30354