計(jì)算機(jī)數(shù)值方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、本科實(shí)驗(yàn)報(bào)告課程名稱： 計(jì)算機(jī)數(shù)值方法 實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：方程求根 線性方程組的直接解法 線性方程組的迭代解法代數(shù)插值和最小二乘法擬合多項(xiàng)式 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)： 逸夫302 專業(yè)班級(jí)： 軟件 學(xué)號(hào)： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師：田華 2013年 4 月 24 日請(qǐng)預(yù)覽后下載！學(xué)生姓名實(shí)驗(yàn)成績(jī)實(shí)驗(yàn)名稱 實(shí)驗(yàn)一 方程求根實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵螅ū靥睿┦煜な褂?、迭代法、牛頓法、割線法等方法對(duì)給定的方程進(jìn)行根的求解。選擇上述方法中的兩種方法求方程：二分法f(x)=x3+4x2-10=0在1,2內(nèi)的一個(gè)實(shí)根，且要求滿足精度|x*-xn|0.510-5實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和原理（必填）函數(shù)f(x)在區(qū)間（x，y）上連續(xù)，先在區(qū)間（x，y）確定a與

2、b，若f(a)，f(b)異號(hào)，說明在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)，然后求f(a+b)/2。假設(shè)F(a)0,ab， 如果f(a+b)/2=0，該點(diǎn)即為零點(diǎn)； 如果f(a+b)/20，則區(qū)間(a,(a+b)/2)內(nèi)存在零點(diǎn)，(a+b)/2b；返回重新循環(huán)，不斷接近零點(diǎn)。通過每次把f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近函數(shù)零點(diǎn)，最終求得零點(diǎn)近似值。主要儀器設(shè)備臺(tái)式或筆記本計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)記錄(寫出實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中的程序代碼和運(yùn)行結(jié)果)(可分欄或加頁(yè))代碼 1. 二分法：#include#include#includeint main() double a=1.0, b=2.0; doubl

3、e x,s; while(1) x=(a+b)/2; s=pow(x,3)+4*x*x-10; if (-0.000005 s & s 0.000005) break; else if(s 0)請(qǐng)預(yù)覽后下載！ b=x; printf(%ft%fn,a,b); printf(%fn,x); printf(%fn,s); return 0;2. 割線法：#includestdio.h#includemath.hint main() float c,a=1.0,b=2.0; while(1) c=b-(b*b*b+4*b*b-10)*(b-a)/(b*b*b+4*b*b-(a*a*a+4*a*a);

4、 if(fabs(b-c)0.5*0.00001)break; b=c; printf(%fn,b); printf(%fn,c); 流程圖；運(yùn)行結(jié)果；1二分法請(qǐng)預(yù)覽后下載！2 割線法 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析 兩種方法均能求出方程的解，但割線法比二分法的收斂速度更快，且程序的代碼更簡(jiǎn)潔。心得體會(huì)（遇到的問題和解決方法）通過實(shí)驗(yàn)，加深了對(duì)方程求根方法的理解，加強(qiáng)了實(shí)踐操作能力，實(shí)現(xiàn)了理論和實(shí)踐相結(jié)合。請(qǐng)預(yù)覽后下載！請(qǐng)預(yù)覽后下載！實(shí)驗(yàn)名稱 實(shí)驗(yàn)二 線性方程組的直接求解實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵蠛侠砝肎auss消元法、LU分解法、追趕法求解下列方程組： （n=5,10,100,）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容高斯消元： lik=aik/a

5、kk aij= aij- lik* akj （ k=1,2,n-1 i=k+1,k+2, ,n j=k+1,k+2, ,n+1 ）由回代過程求得原方程組的解： xn= ann+1/ ann xk=( akn+1-akj xj)/ akk追趕法： 當(dāng)矩陣A為三對(duì)角矩陣，在 A 的LU 分解中, L取下三角陣, U 取單位上三角陣,這樣求解方程組Ax=d 的方法稱為追趕法.請(qǐng)預(yù)覽后下載！ LU分解法：將系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)化為A=L*U，L為單位下三角矩陣，U為普通上三角矩陣，然后通過解方程組l*y=b，u*x=y,來求解x。主要儀器設(shè)備臺(tái)式或筆記本計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)記錄(寫出實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中的程序代碼和運(yùn)行結(jié)果)(可

6、分欄或加頁(yè))高斯消元法#include#define n 3main()int i,j,k;float ann,cnn,bn,dn;for(i=0;in;i+)for(j=0;jn;j+)scanf(%f,&aij);cij=aij;scanf(%f,&bi);di=bi;for(k=0;kn;k+)bk=dk/ckk;for(i=0;in;i+)if(i=k) continue;cik=cik/ckk;請(qǐng)預(yù)覽后下載！for(j=k+1;jn;j+)akj=ckj/ckk;aij=cij-cik*ckj;bi=di-cik*dk;for(i=0;in;i+)di=bi;for(j=k+1;jn

7、;j+)cij=aij;for(i=0;in;i+)printf(b%d=%fn,i,bi);LU分解法：#include #include #define L 30double aLL,bL,lLL,uLL,xL,yL;int main() int n,i,j,k,r;printf(請(qǐng)輸入矩陣元次：n); scanf(%d,&n);printf(請(qǐng)輸入矩陣各項(xiàng)：n); for(i=1;i=n;+i) for(j=1;j=n;+j) scanf(%lf,&aij); printf(請(qǐng)輸入方程組的常數(shù)項(xiàng)：n);請(qǐng)預(yù)覽后下載！ for(i=1;i=n;+i) scanf(%lf,&bi); for

8、(i=1;i=n;+i) for(j=1;j=n;+j) lij=0; uij=0.0; for(k=1;k=n;+k) for(j=k;j=n;+j) ukj=akj;for(r=1;rk;+r) ukj-=lkr*urj; for(i=k+1;i=n;+i) lik=aik; for(r=1;rk;+r) lik-=lir*urk; lik/= ukk; lkk=1.0; for(i=1;i=n;+i) yi = bi; for(j=1;j0;-i) xi = yi;請(qǐng)預(yù)覽后下載！ for(j=i+1;j=n;+j) xi-=uij*xj; xi/= uii; for(i=1;i=n;+i

9、) printf(%0.2lfn,xi); return 0;追趕法#include stdio.h#define n 5main() float an,bn,cn-1,dn,t;int i;scanf(%f%f%f,&b0,&c0,&d0);for(i=1;in-1;i+)scanf(%f%f%f%f,&ai,&bi,&ci,&di);scanf(%f%f%f,&an-1,&bn-1,&dn-1);c0=c0/b0;d0=d0/b0;for(i=1;i=0;i-) di=di-ci*di+1;for(i=0;in;i+)printf(d%d=%fn,i,di);請(qǐng)預(yù)覽后下載！實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析1

10、高斯消元法2LU分解3追趕法實(shí)驗(yàn)分析：高斯消元法，是先消元，再回帶的過程。由程序段可以發(fā)現(xiàn)，始終消去對(duì)角線下方的元素。從消元過程可以看出，對(duì)于n階線性方程組，只要各步主元素不為零，經(jīng)過n-1步消元，就可以得到一個(gè)等價(jià)的系數(shù)矩陣為上三角形陣的方程組，然后再利用回代過程可求得原方程組的解。LU分解法，分解矩陣為單位下三角陣L與上三角陣U的乘積，然后解方程組Ly=b，回代，解方程組Ux=y。其中的L為n階單位下三角陣、U為上三角陣.請(qǐng)預(yù)覽后下載！對(duì)于追趕法，追趕法是適用于三角矩陣的線性方程組的求解的方法，并不適用于其他類型矩陣。心得體會(huì)（遇到的問題和解決方法）本次實(shí)驗(yàn)難度比較大，在編譯時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)各種

11、錯(cuò)誤，程序代碼也比較繁瑣，深深感覺到自己的上機(jī)操作能力有限，應(yīng)加強(qiáng)自己的編程能力，以后要繼續(xù)努力。請(qǐng)預(yù)覽后下載！實(shí)驗(yàn)名稱 實(shí)驗(yàn)三 線性方程組的迭代求解實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵笫褂醚趴杀鹊ɑ蚋咚?賽德爾迭代法對(duì)下列方程組進(jìn)行求解。 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)線性方程組 Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆，且主對(duì)角元素a11,a22,ann均不為零，令D=diag(a11,a22,ann)并將A分解成 A=(A-D)+D從而線性方程組可寫成 Dx=(D-A)x+b則有迭代公式x(k+1)=B1x(k)+f1其中，B1=I-D-1A,f1=D-1b。主要儀器設(shè)備臺(tái)式或筆記本計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)記錄(寫出實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中的程序代碼和運(yùn)行結(jié)果)(可分

12、欄或加頁(yè))雅可比迭代法#include#include#define n 3void f(float *b,float x)請(qǐng)預(yù)覽后下載！float yn+1=0,0,0,1;int i,j,k;dok=0;for(i=0;in+1;i+)xi=yi;for(i=0;in;i+)yi=0;for(j=0;jn+1;j+)yi+=*(b+(n+1)*i+j)*xj;for(i=0;in;i+)if(fabs(yi-xi)=0.5e-3) k+;if(k=3) break;while(1);for(i=0;in;i+)printf(y%d=%fn,i,yi);main()float bnn+1=0

13、,0.1,0.2,0.72,0.1,0,0.2,0.83,0.2,0.2,0,0.84;float xn+1=0,0,0,1;f(b0,x);高斯賽德爾迭代法請(qǐng)預(yù)覽后下載！#include iostream#include iomanipusing namespace std;int main()int i,j,k=0,m,n;double t1,t2,e1,e2=0.0; coute1;coutm;coutn;coutendl;double (*a)=new double *m;/生成二維動(dòng)態(tài)數(shù)組for(i=0;i=m;i+)ai=new doublen;double (*b)=new do

14、uble m;請(qǐng)預(yù)覽后下載！double (*x)=new double n;cout請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣：endl;cout-endl;for(int num1=0;num1m;num1+)for(int num2=0;num2anum1num2;coutendl;cout輸入的系數(shù)矩陣為：endl;for (int num3=0;num3m;num3+)for(int num4=0;num4n;num4+)coutanum3num4 ;coutendl;請(qǐng)預(yù)覽后下載！cout-endl;cout請(qǐng)輸入矩陣b：endl;cout-endl;for(int num5=0;num5bnum5;cout

15、輸入的矩陣b為：endl;for(int num6=0;num6m;num6+)coutbnum6 ; coutendl; cout-endl;for(int num7=0;num7n;num7+)xnum7=0.0000;請(qǐng)預(yù)覽后下載！do cout第k次迭代值：;e2=0.0;for(i=0;im;i+) double sum=0.0;for(j=0;j=0?(xi)-t1:t1-(xi);e2=(e2=t2?e2:t2);coutsetprecision(8)xi ;cout=e1&k30);cout共迭代了k次;deletea;deleteb;deletex;return 0 ;實(shí)驗(yàn)結(jié)

16、果和分析1雅克比迭代2高斯賽德爾迭代請(qǐng)預(yù)覽后下載！ 實(shí)驗(yàn)分析：使用這兩種方法都可以求出方程的解，高斯賽德爾迭代法所需的迭代次數(shù)比雅克比迭代少，能夠更早的達(dá)到精度要求。但是雅克比的時(shí)效性要比高斯賽德爾的好。心得體會(huì)（遇到的問題和解決方法）本次試驗(yàn)，讓我對(duì)這兩種方法更加理解，在編程操作上也更加熟練，今后繼續(xù)努力，不斷豐富自己的知識(shí)，增強(qiáng)操作能力。請(qǐng)預(yù)覽后下載！實(shí)驗(yàn)名稱 實(shí)驗(yàn)四 代數(shù)插值和最小二乘法擬合實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵?使用拉格朗日插值法或牛頓插值法求解：已知f(x)在6個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值如下表所示，運(yùn)用插值方法，求f(0.596)的近似值。x0.400.550.650.800.901.05f(x)0.41

17、0750.578150.696750.888111.026521.25386 2給定數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi ,yi），用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式，并求平方誤差。xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上n+1互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn上的函數(shù)值分別為y0,y1,yn,求n次插值多項(xiàng)式Pn(x),滿足條件Pn(xj)=yj, j=0,1,n令Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= yili(x)其中l(wèi)0(x),l1(x), ln(x) 為以x0,x1,xn為節(jié)點(diǎn)的n次插值基函數(shù)，則Ln(x)是一次數(shù)不

18、超過n的多項(xiàng)式，且滿足Ln(xj)=yj, L=0,1,n再由插值多項(xiàng)式的唯一性，得Pn(x)Ln(x)2 建立正規(guī)方程組：請(qǐng)預(yù)覽后下載?。▁ij+k）ak=xijyi ,j=0,1,n 平方誤差：I=（akxik-yi）2 對(duì)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(Xi，Yi)(i=0,1，m），在取定的函數(shù)類 中，求p(x），使誤差的平方和E2最小，E2=p(Xi)-Yi2。從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn) (Xi，Yi)(i=0,1，m）的距離平方和為最小的曲線y=p(x）。函數(shù)p(x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)p(x）的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。得到的兩個(gè)關(guān)于a0、 a1為未知數(shù)的兩個(gè)方程組，解這兩

19、個(gè)方程組得出：a0 = （Yi) / m - a1（Xi) / m a1 = mXi Yi - （Xi Yi) / mXi2 - （Xi)2 ) 即最終的擬合多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)主要儀器設(shè)備臺(tái)式或筆記本計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)記錄(寫出實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中的程序代碼和運(yùn)行結(jié)果)(可分欄或加頁(yè))1#include #include #include #include void difference(float *x,float *y,int n) float *f; int k,i; f=(float *)malloc(n*sizeof(float); for(k=1;k=n;k+) f0=yk; for(i=0;ik;i+

20、) fi+1=(fi-yi)/(xk-xi); yk=fk; return; int main() 請(qǐng)預(yù)覽后下載！int i,n; float x20,y20,xx,yy; printf(請(qǐng)輸入數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n：); scanf(%d,&n);printf(n); for(i=0;i=0;i-)yy=yy*(xx-xi)+yi; printf(n近似值為：(%f)=%fn,xx,yy); 2#include#include#define N 15double power(double &a,int n)double b=1;for(int i=0;in;i+)b*=a;return b;void G

21、auss();double XN,YN,sumXN,sumYN,aNN,bN,lNN,xN;int main()ofstream outdata;ifstream indata;double s;int i,j,k,n,index;coutn;coutendl;請(qǐng)預(yù)覽后下載！cout請(qǐng)輸入X和Y:endl; /輸入給定數(shù)據(jù)for(i=0;in;i+)coutXiXi;sumX1+=Xi;coutYiYi;sumY1+=Yi;coutendl;coutsumX1=sumX1tsumY1=sumY1endl;coutindex;coutendl;i=n;sumX0=i;for(i=2;i=2*index;i+)sumXi=0;for(j=0;jn;j+)sumXi+=power(Xj,i);coutsumXi=sumXiendl;for(i=2;i=index+1;i+)sumYi=0;for(j=0;jn;j+)sumYi+=power(Xj,i-1)*Yj;coutsumYi=sumYiendl;for(i=1;i=index+1;i+) /建立正規(guī)方程組for(j=1;j=index+1;j+)aij=sumXi+j-2;bi=sumYi; k=1; /用高斯消元法解方程組d