用二重積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積

1、 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 1蜀南竹海 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 2 作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)體的作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)體的體積一般是用定積分來(lái)計(jì)算。體積一般是用定積分來(lái)計(jì)算。 本課件用元素法來(lái)推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體體積本課件用元素法來(lái)推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分的計(jì)算公式。的二重積分的計(jì)算公式。 將二重積分化為二次積分可以得到將二重積分化為二次積分可以得到計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的定積分公式、計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的定積分公式、 最后，舉例加以說(shuō)明。最后，舉例加以說(shuō)明。 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛

2、6.2 定積分的幾何應(yīng)用 3先看特殊的情形先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 4 設(shè)設(shè)D是上半平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域。是上半平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域。 將將D繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)體的體積Vx。 我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。積分公式。D June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 5d( , )x yD在區(qū)域在區(qū)域D的的(x,y)處取一個(gè)面積元素處取一個(gè)面積元素d它到它到x軸的距離

3、是軸的距離是 y （如圖）。（如圖）。該面積元素繞該面積元素繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：2xVydd（體積元素）（體積元素）于是整個(gè)區(qū)域繞于是整個(gè)區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2xDDdVdyVy June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 6d( , )x yD命題命題1：上半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域：上半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2xDydVy June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 7d( , )x

4、 yD命題命題2：右半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域：右半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域D繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2yDxdV同理同理x June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 8下面針對(duì)不同的區(qū)域下面針對(duì)不同的區(qū)域?qū)⒍胤e分化為定積分將二重積分化為定積分得到熟悉的旋轉(zhuǎn)體體積公式得到熟悉的旋轉(zhuǎn)體體積公式 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 9x型區(qū)域繞型區(qū)域繞 x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 10( , )|, 0( )Dx yaxbyf x

5、xy=f(x)bDa如果如果( )2022( )bf xbxaaDVdxydyfddxyx圓片法圓片法則則D繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：2( )bxaVfx dx June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 11( , )|,0( )( )Dx yaxbg xyf xy=f(x)bDay=g(x)如果如果則則D繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為( )( )2222( )( )bf xxag xDbaVdxydyfxgx dxdy墊圈法墊圈法22( )( )bxaVfxgx dxx June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

6、徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 12y型區(qū)域繞型區(qū)域繞 y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 13( , )|,0( )Dx ycydxf yx=f(y)dDc如果如果則則D繞繞 y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )0222( )dfyycDdcVdyxdxfddyxy圓片法圓片法2( )dycVfy dyy June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 14yx=f(y)dDcx=g(y)( , )|,0( )( )Dx ycydg yxf y如果如果則則D繞繞 y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：軸旋轉(zhuǎn)

7、的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )( )2222( )( )dfyycg yDdcVdyxdxfygy dydx墊圈法墊圈法22( )( )dycVfygy dy June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 15x型區(qū)域繞型區(qū)域繞 y軸旋轉(zhuǎn)！軸旋轉(zhuǎn)！注意：一般教材沒(méi)有介紹這個(gè)公式。注意：一般教材沒(méi)有介紹這個(gè)公式。 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 16( , )|0,( )( )Dx yaxb g xyf xxy=f(x)bDay=g(x)如果如果則則D繞繞 y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )( )222 ( )(

8、 )yDbf xag xbaVdxdyf xg x dxxdxx柱殼法柱殼法y2 ( )( )byaVf xg xxxd June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 17下面看一個(gè)極坐標(biāo)的情形下面看一個(gè)極坐標(biāo)的情形 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 18( , )|0, 0( )DrrrD如果如果D是曲邊扇形：是曲邊扇形：( )0322sin2( )sin3rxDVdrrdrrydd則則D繞極軸繞極軸(x軸軸)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )rr32( )sin3xVrd June 28, 2012四川大學(xué)

9、數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 19我們用命題我們用命題1來(lái)推導(dǎo)一個(gè)有關(guān)區(qū)域來(lái)推導(dǎo)一個(gè)有關(guān)區(qū)域D的形心的形心(質(zhì)心質(zhì)心)和旋轉(zhuǎn)體體積之間的關(guān)系的定理：和旋轉(zhuǎn)體體積之間的關(guān)系的定理：古爾丁定理古爾丁定理Paul Guldin（古爾?。ü艩柖。?577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity. June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 20( , )x yD上半平面內(nèi)一個(gè)上半平面內(nèi)一個(gè)有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積成的旋轉(zhuǎn)體的體

10、積等于等于該區(qū)域的形心所經(jīng)過(guò)該區(qū)域的形心所經(jīng)過(guò)的路程與的路程與D的面積的面積A的乘積的乘積。12xDydV證 由命題y古爾丁定理古爾丁定理2Ddy12DAAdy2Ay形心形心A June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 21( , )x yDy形心形心A如果你很容易求得如果你很容易求得D的面積和形心，用古爾丁的面積和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)體的體積。定理就很容求得旋轉(zhuǎn)體的體積。 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 22下面來(lái)看一般的情形下面來(lái)看一般的情形一般的區(qū)域一般的區(qū)域&一般的旋轉(zhuǎn)軸一般的旋轉(zhuǎn)軸 June 2

11、8, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 23 設(shè)設(shè)D是是xOy坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)有界閉區(qū)域。直線域。直線L與與D的內(nèi)點(diǎn)不相交（如圖）的內(nèi)點(diǎn)不相交（如圖） 。 將將D繞直線繞直線L旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積V。 我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重我們用元素法來(lái)建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。積分公式。DL June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 24d( , )x yD在區(qū)域在區(qū)域D的的(x,y)處取一個(gè)面積元素處取一個(gè)面積元素d它到直線它到直線L的距離是的距離是 ：該面

12、積元素繞該面積元素繞L旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：2 dVdd于是整個(gè)區(qū)域于是整個(gè)區(qū)域D繞直線繞直線L旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2DDVddVdd設(shè)直線設(shè)直線L的方程為的方程為 ax+by+c=0。22axbycdabL June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 25d( , )x yD222DVaxbyc dabd命題命題 3 區(qū)域區(qū)域D繞直線繞直線 ax+by+c=0（D在直線在直線的一側(cè)）旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：的一側(cè)）旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：L June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛

13、6.2 定積分的幾何應(yīng)用 26下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明命題命題 3 中的公式的應(yīng)用中的公式的應(yīng)用所有計(jì)算都用數(shù)學(xué)軟件所有計(jì)算都用數(shù)學(xué)軟件Maple驗(yàn)證了驗(yàn)證了 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 27例例1 求由求由y=2x和和y=x2所圍區(qū)域所圍區(qū)域D繞直線繞直線 y=2x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。222022(2)52516 575DxxVdxydxxdyy解f:=(x,y)-2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x:int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y

14、1(x).y2(x),x=x1.x2);(2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);255d02dx22 x2 xy y x16 575D22yx2yxwith(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained); June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分

15、的幾何應(yīng)用 28例例2 求由求由x=y2和和y=x2所圍區(qū)域所圍區(qū)域D繞直線繞直線 y=x-1旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。21022(1)2123DxxVdxdyxyxyd解f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);D12

16、yx2xywith(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);2 d01dx2x yx1 y x2 3 June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 29例例3 求由求由y=0,y=lnx和和x=e所圍區(qū)域所圍區(qū)域D繞直線繞直線 y=-x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。ln10222()32 ()4242DexVdxxy dydexye解f:=(x,y)-y-x+

17、1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);D1lnyxwith(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);2 d1ed0( )ln xyxy x2 3412e14e2eyx June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院