機器學習：一步步教你理解反向傳播方法

1、機器學習：一步步教你理解反向傳播方法在閱讀反向傳播方法的時候，看到了這篇通過示例給出 反向傳播的博文 A Step by Step Backpropagation Example 在這篇博文中，作者通過一個簡單的示例，給出了反向傳播 的過程的過程，非常的清晰，遂結合自己的理解翻譯之，希 望對反向傳播方法有所理解的朋友有些許幫助。背景 反向傳播在神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練過程中雖然用得如此之多，但是 在網(wǎng)上還很少有通過具體的實例來解釋反向傳播怎么工作 的博文。所以在這篇文章中，我會嘗試用一個具體的例子來 解釋反向傳播過程，這樣有需要的朋友就可以通過自己的計 算過程來判斷自己對于反向理解的過程是否到位。 你可

2、以在我的 Gihub 上找個我寫的反向傳播的 Python 實現(xiàn) 代碼。概覽在這篇博文中，我們會使用有 2 個輸入單元的神經(jīng)網(wǎng)絡， 2 個隱層神經(jīng)元以及 2 個輸出神經(jīng)元。此外，隱層和輸出神經(jīng) 元會包含一個偏置，下面是基本的網(wǎng)絡結構： 為了便于后面說明的說明，我們對該網(wǎng)絡設置一些初始的權重、偏置以及輸入和輸出：反向傳播的目標是對權重進行優(yōu)化，使得神經(jīng)網(wǎng)絡能夠學習 到從任意的輸入到輸出的準確映射。在這篇博文中，我們僅使用一個簡單的訓練集，即輸入為0.05 和 0.10 ，我們希望網(wǎng)絡的輸出為 0.01 和 0.99( 即輸入的 樣本是兩個 : (0.05, 0.99), (0.10, 0.99)

3、 。前向傳播 首先來看看對于給定的初始化權重和偏置，網(wǎng)絡對于輸入 0.05 和 0.10 的輸出是啥。我們將輸入輸進網(wǎng)絡中。 我們先計算從全部網(wǎng)絡的輸入到隱層的每一個神經(jīng)元，激活 函數(shù)采用 logistic 函數(shù)，對于從隱層到輸出層，我們重復這 一過程。全部的網(wǎng)絡輸入也被稱為網(wǎng)絡的輸入Derivation ofBackpropagation下面是對于 h1 role=presentation style=position: relative;h1h1 全部網(wǎng)絡輸入的輸入計算過程： neth1=w1i1+w2i2+b11neth1= 0.150.05+0.20.1+0.351=0.37 75 r

4、ole=presentation style=position:.1+0.351=0.3775（譯者注：類比到 CNN 網(wǎng)絡里，這個過程就是卷積過程，得 到特征響應圖 ）然后我們將其輸入到激活函數(shù)中，得到輸出 h1 role=presentation style=position: relative;h1h1: outh1=11+eneth1=11+e0.3775=0.5932 69992 role=presentation style=position: relative;outh1=11+eneth1=11+e0.3775=0.593269992ou th1=11+eneth1=11+e0

5、.3775=0.593269992（譯者注：類比到 CNN 網(wǎng)絡里，這個過程特征響應圖經(jīng)過激 活函數(shù)運算的過程 ）對于 h2 role=presentation style=position:relative;h2h2 通過上面相同的過程，我們可以得到： outh2=0.596884378 role=presentation style=position: relative;outh2=0.596884378outh2=0.596884378 對于輸入層神經(jīng)元， 將隱層的輸出作為輸入 （譯者注：在 CNN 中，還需要經(jīng)過池化后才能作為下一層的輸入，至于為啥需 要池化， 這里譯者不就解釋了 ），

6、重復上面相同的過程， 我們 可以得到：neto1=w5outh1+w6outh2+b25136507同樣的，重復上面相同的過程，可以得到 O2 role=presentation style=position: relative;O2O2: outO2=0.772928465 role=presentation style=position: relative;outO2=0.772928465outO2=0.772928465 計算總誤差 現(xiàn)在對于輸出的每一個神經(jīng)元，使用平方誤差函數(shù)求和來計 算總的誤差：Etotal=12(targetoutput)2 role=presentation s

7、tyle=position:刀 12(targetoutprelative;Etotal= 刀 12(targetoutput)2Etotal=ut)2output 就是我們的預測 label ，而 target 就是 groundtruth 。 12 role=presentation style=position: relative;1212使得我們在求騙到的時候可以消去 2，不影響模型參數(shù)的結果 求解。對于第一個神經(jīng)元的輸出 O1 role=presentation style=position: relative;O1O1 真實值是 0.01 ，而網(wǎng)絡的 輸出是 0.75136507

8、， 因而第一個神經(jīng)元的輸出誤差為： EO1=12(targetoutput)2=12(0.010.7513 6507)2=0.274811083 2=0.274811083 重復上面過程，可以得到第二個神經(jīng)元的輸出 O2 role=presentation style=position: relative;O2O2 為： EO2=0.023560026 role=presentation style=position: relative;EO2=0.023560026EO2=0.023560026 所以整個神經(jīng)網(wǎng)絡的誤差求和為： Etotal=EO1+EO2=0.274811083+0.023

9、560026=0.2983711 09 role=presentation style=position: relative;Etotal=EO1+EO2=0.274811083+0.023560026= 0.298371109Etotal=EO1+EO2=0.274811083+0.023560026=0.298371109反向傳播 反向傳播的目標是：通過更新網(wǎng)絡中的每一個權重，使得最 終的輸出接近于 groundtruth ，這樣就得到整個網(wǎng)絡的誤差作 為一個整體進行了最小化。輸出層先來考察 w5 role=presentation style=position: relative;w5w

10、5 ，我們想知道對于 w5 role=presentation style=position: relative;w5w5 的改變可以多大程度上影 響總的誤差，也就是 Etotalw5 role=presentation style=position: relative;Etotalw5Etotalw5 。 通過使用鏈式法則，可以得到： Etotalw5=Etotalouto 1outO1netO1netO1w5 role=presentation style=position: relative;Etotalw5=Etotalouto1outO1netO1netO1w5Etotal w5=E

11、totalouto1outO1netO1netO1w5 為了更直觀的表述上面鏈式法則的過程，對其進行可視化： 我們對上面使用鏈式法則得到的每一項分別進行計算。首先，整體誤差關于各個神經(jīng)元的輸出改變了？Etotal=12(targetoutput)2=12(targetO1−outputO1)2+12(targetO2outputO2)2EtotaloutO1=212(targetO1outputO1)211+0=(targetO1outputO1)=(0.010.75136507)=0.74136507 role=presentation style=position:relat

12、ive;Etotal= 刀 12(targetoutput)2=12(targetO1outputO1)2+12(targetO2outputO2)2EtotaloutO1=212(targetO1out4136507Etotal= 刀 12(targetoutput)2= 12(targetO1outputO1)2+12(targetO2outputO2)2EtotaloutO1=212(targetO1outpu36507logistic 函數(shù)的偏導數(shù)為輸出乘以 1 減去輸出，即：outO1=11+enetO1outO1netO1=outO1(1outO1)=0.75136507(10.7

13、5136507)=0.186815602 role=presentation style=position:relative;outO1=11+enetO1outO1netO1=outO1(1outO1)=0.75136507(10.75136507)=0.186815602outO1=11+enetO1outO1netO1=outO1(1outO1)=0.75136507(10.75136507)=0.186815602最后，整個網(wǎng)絡的輸入 O1 role=presentationstyle=position: relative;O1O1 關于 w5 role=presentation st

14、yle=position: relative;w5w5 改變了 多少呢？ netO1=w5outh1+w6outh2+b2 1Etotalw5=Etotalout o1outO1netO1netO1w5Etotalw5=0.741 365070.1868156020.593269992=0.08 2167041 你也會看到用 delta 規(guī)則表示的形式： Etotalw5=(targetO1 outO1)outO1(1outo1)outh1 role=presentation style=position: relative;Etotalw5=(targetO1outO1)outO1(1out

15、o1)outh1E totalw5=(targetO1outO1)outO1(1outo1)outh1 我們可以將 EtotaloutO1role=presentation style=position: relative;EtotaloutO1EtotaloutO1 和 outO1netO1 role=presentation style=position: relative;outO1netO1outO1netO1 寫為 EtotalnetO1 role=presentation style=position: relative;EtotalnetO1EtotalnetO1，并用O1 ro

16、le=presentation style=position:relative; 8 O18表示它，從而可以將上面的式子表示為： O1=Etotalouto1outO1netO1O1=(target O1outO1)outO1(1outo1) role=presentation style=position:relative; 8 O1=Etotalouto1outO1netO1 8 O1=(targetO1out O1)outO1(1outo1) 8 O1=Etotalouto1outO1netO1 8 O1=(targ etO1outO1)outO1(1outo1)因此有：Etotalw5

17、=O1outh1role=presentation style=position: relative;Etotalw5= 8 O1outh1Etotalw5= 8 O1outh1 有一些論文中通過將負號從 role=presentation style=position: relative; 中提8出8來將其也可以寫為下面 這種形式：Etotalw5=O1outh1role=presentation style=position:relative;Etotalw5= 8 O1outh1Etotalw5= 8 Olouthl為了減小誤差，我們將 w5 role=presentation styl

18、e=position: relative;w5w5 原來的值減去目前的權重（通常會乘上一個學習率 role=presentationstyle=position: relative;nn,這里我們將其設置為w5+=w5Etotalw5 role=presentation style=position: relative;w+5=w5 n Etotalw5w5+=w5 n Etotalw5學習率在不同的文章中可以記法不一樣，有用 role=presentation style=p osition: relative; 的，有用 role=presentation style=position:r

19、elative; 的n 有用 role=presentation style=position: relative; 的。和 w8重復上面的過程，我們可以得到更新后的 w6 role=presentation style=position: relative;w6w6 、w7 role=presentation style=position: relative;w7w7 role=presentation style=position: relative;w8w8w6+=0.408666186w7+=0.511301270w8+=0.561370121role=presentation sty

20、le=position: relative;w+6=0.408666186w+7=0.511301270w+8=0.56 1370121w6+=0.408666186w7+=0.511301270w8+=0.561 370121 注意，在我們繼續(xù)向前推進反向傳播的時候，在要使用到 w5 role=presentation style=position: relative;w5w5、w6 role=presentation style=position: relative;w6w6、w7 role=presentation style=position: relative;w7w7和w8 rol

21、e=presentation style=position: relative;w8w8的地方，我們?nèi)匀皇褂玫氖窃瓉淼臋嘀兀?而不是更新后的權重。 隱層我們繼續(xù)推進反向傳播來計算 style=position: relative;w1w1 style=position: relative;w2w2 style=position: relative;w3w3 style=position: relative;w4w4w1 role=presentation、 w2 role=presentation、 w3 role=presentation和 w4 role=presentation 更新的權

22、重：同樣使用鏈式法則，我們可以得到：Etotalw1=Etotalouth 1outh1neth1neth1w1 role=presentation style=position:relative;Etotalw1=Etotalouth1outh1neth1neth1w1Etotal w1=Etotalouth1outh1neth1neth1w1可視化上面的鏈式法則：對于這一層 （隱層 ） 的更新我們采用上面輸出層相似的處理方 式，不過會稍有不同，這種不同主要是因為每一個隱層神經(jīng) 元的輸出對于最終的輸出都是有貢獻的。我們知道 outh1 role=presentation style=posi

23、tion: relative;outh1outh1 既影響 outO1 role=presentation style=position: relative;outO1outO1 也影響 outO2 role=presentation style=position: relative;outO2outO2 ，因此 Etotalouth1 role=presentation style=position: relative;Etotalouth1Etotalouth1 需要同時 考慮到這兩個輸出神經(jīng)元影響： Etotalouth1=EO1out h1+EO2outh1 role=presenta

24、tion style=position: relative;Etotalouth1=EO1outh1+EO2outh1Etotalouth1= EO1outh1+EO2outh1 又由于： EO1outh1=EO1net O1netO1outh1 role=presentation style=position:relative;EO1outh1=EO1netO1netO1outh1EO1outh1=EO1netO1netO1outh1我們可以用前面計算的值來計算EO1netO1 role=presentationstyle=position: relative;EO1netO1EO1netO

25、1:EO1netO1=EO1outO1outO1netO1=0.741365070.186815602=0.138498562 role=presentation style=position:relative;EO1netO1=EO1outO1outO1netO1=0.74136507又因為 netO1outh1 role=presentation style=position: relative;netO1outh1netO1outh1 等于 w5 role=presentation style=position: relative;w5w5: netO1=w5outh1+w6outh2+

26、b21netO1outh1=w5=0.40role=presentation style=position: relative;netO1=w5outh1+w6outh2+b21netO1outh1=w5= 0.40netO1=w5outh1+w6outh2+b21netO1outh1=w5=0.40 將上面每步分開算的結果合起來得：EO1outh1=EO1netO1netO1outh1=0.138498562 0.40=0.055399425 role=presentationstyle=position:relative;EO1outh1=EO1netO1netO1outh1=0.1384

27、985620.40=0.055399425EO1outh1=EO1netO1netO1outh1=0.1384985620.40=0.055399425 與上面的步驟一樣，我們可以得到： EO2outh1=w5=0.019049119 role=presentation style=position:relative;EO2outh1=w5=0.019049119EO2outh1=w5=0.019049119因此：Etotalouth1=EO1outh1+EO2outh1=0.055399425+(0.019049119)=0.036350306 role=presentation style

28、=position:relative;Etotalouth1=EO1outh1+EO2outh1=0.055399425+(0.019049119)=0.036350306Etotalouth1=EO1outh1+EO2outh1=0.055399425+(0.019049119)=0.036350306現(xiàn)在我們已經(jīng)有了 Etotalouth1 role=presentation style=position: relative;Etotalouth1Etotalouth1 ，我們還需要為每一個需 要更新的權重計算 outh1neth1 role=presentation style=posi

29、tion: relative;outh1neth1outh1neth1 和 neth1w role=presentation style=position: relative;neth1wneth1w ： outh1=11+e(neth1)outh1neth1=outh1(1 outh1)=0.59326999(10.59326999)=0.2 41300709 role=presentation style=position: relative;outh1=11+e(neth1)outh1neth1=outh1(1outh1)=0 .59326999(10.59326999)=0.24130

30、0709outh1=11+e(neth1 )outh1neth1=outh1(1outh1)=0.59326999(10.59326999)=0. 241300709 如我們前面對于輸出神經(jīng)元所做的一樣，我們計算 h1 role=presentation style=position: relative;h1h1 的全部 輸入關于 w1 role=presentation style=position: relative;w1w1 求偏導： neth1=w1i1+w2i2+b11neth1w1=i1=0.05 role=presentation style=position: relative

31、;neth1=w1i1+w2i2+b11neth1w1=i1=0.05neth1= w1i1+w2i2+b11neth1w1=i1=0.05將上面計算的各個部分合起來：Etotalw1=Etotalouth1outh1neth1neth1w1Etotalw1=0.0363502413007090.05=0.000438568你可以可能會看到下面的這種寫法： Etotalw1=(OEtotal& #x2202;outOoutOnetOnetOouth1)outh1 neth1neth1w1Etotalw1=(OO whO)outh1(1outh1)i Etotalw1=h1i1 role=presentation style=position