人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)2.2基本不等式同步訓(xùn)練

1、2.2 基本不等式1設(shè)a，且，則（ ）ABCD2若函數(shù)在處取最小值，則等于（ ）A3BCD43已知，則的最小值為（ ）A3B4C5D64若，則的最大值為（ ）A1BCD5若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）AB或CD或6設(shè)，若3是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ）.ABCD7函數(shù)的最小值等于（ ）A6B9C4D88下列式子中最小值為4的是（ ）ABCD9設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，且.則的最小值是（ ）ABCD10在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）ABCD11若,則的最小值為_.12已知，則的最小值_.13若，則函數(shù)的最小值為_14若，則的最小值是_.15設(shè)，則的最小值為_.

2、16迎進(jìn)博，要設(shè)計(jì)如圖的一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為，四周空白的寬度為，欄與欄之間的中縫空白的寬度為，（1）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個(gè)矩形廣告面積最小，并求最小值；（2）如果要求矩形欄目的寬度不小于高度的2倍，那么怎樣確定廣告矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個(gè)矩形廣告面積最小，并求最小值.17已知（1）若，求的取值范圍.（2）求證.18（1）已知，且，求的最小值（2）已知是正數(shù)，且滿足，求的最小值19已知函數(shù).（1）若 ，試求函數(shù)的最小值；（2）對(duì)于任意的，不等式成立，試求a的取值范圍.20若，求的最小值.21若實(shí)數(shù)、滿足，則稱比遠(yuǎn)離（1）若比

3、遠(yuǎn)離1且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，其中，求證：比更遠(yuǎn)離；（3）若，試問：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離，并說(shuō)明理由22已知，求證：（1）；（2）23某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點(diǎn)圖（如下圖）表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?（不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、，其回歸直線的斜率和截距的最

4、小二乘估計(jì)分別為，.24已知函數(shù).對(duì)任意，且，求證：（1）；（2）.25已知，在中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且.（1）求角A的大小；（2）設(shè)的面積為，求的取值范圍.參考答案1D【分析】由，可得，A錯(cuò)；利用作差法判斷B錯(cuò)；由，而，可得C錯(cuò)；利用基本不等式可得D正確【詳解】，故A錯(cuò)；，即，可得，故B錯(cuò)；，而，則，故C錯(cuò)；，等號(hào)取不到，故D正確；故選：D2A【分析】利用配湊法和基本不等式求函數(shù)的最小值，可得出取等條件，求出值【詳解】函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到等號(hào)，則故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查基本不等式求最值時(shí)的取等條件，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3C【分析】由，得，則，利

5、用基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為5，故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題4C【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，利用基本不等式求出最值，并驗(yàn)證取等條件【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)則的最大值為故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題5B【分析】先根據(jù)條件求解出，然后根據(jù)不等式有解得到，由此求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋〉忍?hào)時(shí)，所以，因?yàn)椴坏仁接薪?，所以，所以或，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求解不等式

6、有解問題，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計(jì)算能力要求較高，難度一般.運(yùn)用基本不等式時(shí)注意說(shuō)明取等號(hào)的條件.6D【分析】先找到a,b的關(guān)系，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?是與的等比中項(xiàng)，所以所以a+b=2.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用基本不等式求最值和等比中項(xiàng)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是“配湊”，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7D【分析】由，得，利用基本不等式求出最值即可【詳解】因?yàn)?，所以，因此，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題8D【分析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有最大值；對(duì)于B，等號(hào)取不到，最小值不是；對(duì)于C，

7、當(dāng)時(shí)，有最大值；對(duì)于D，最小值為4【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不符合題意；對(duì)于B，成立的條件為，不符合題意；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不符合題意；對(duì)于D，；故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查利用不等式求最值，屬于中檔題9C【分析】由已知，分別討論，兩種情況，結(jié)合基本不等式分別進(jìn)行求解后比較可得的最小值.【詳解】由題意可知，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，綜上可得，的最小值.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵就是對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10A【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出、三點(diǎn)坐標(biāo)，將的最小值轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算

8、處理，利用基本不等式即可求解【詳解】依題意，如圖，設(shè)、，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了利用基本不等式求最值，主要考查分析解決問題的能力和計(jì)算能力，推理轉(zhuǎn)化能力，屬于難題118【分析】對(duì)原式化簡(jiǎn)，可得，再根據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橛?，所以，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) ，即時(shí)取等號(hào).故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12【分析】將原式變形為，再使用基本不等式即可【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即取等號(hào)13【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得該函數(shù)的最小值【詳解】因

9、為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.144【分析】將原式變?yōu)椋倮没静坏仁角蠼獬鲎钚≈?【詳解】因?yàn)?，取等?hào)時(shí)且，即，所以的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.154【分析】根據(jù)題意，

10、將原不等式化簡(jiǎn)為，再利用基本不等式可得，再次使用基本不等式即可求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所?，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題16（1）高為，寬為時(shí)，可使廣告的面積最小為；（2）高為，寬為時(shí)，可使廣告的面積最小為.【分析】（1）設(shè)矩形欄目的高為，寬為，則，所以，表示出廣告的面積，利用基本不等式求出最小值即可；（2）由題，解得，由（1）可得，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得出廣告面積的最小值【詳解】（1）設(shè)矩形欄目的高為，寬為，則，所以廣告的高為，寬為(其中)廣告的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí).故當(dāng)廣告矩形欄目的高為

11、，寬為時(shí)，可使廣告的面積最小為（2）由題，解得由（1）可得當(dāng)時(shí)，廣告的面積最小為故當(dāng)廣告矩形欄目的高為，寬為時(shí)，可使廣告的面積最小為【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式解決實(shí)際問題，考查基本不等式和對(duì)勾函數(shù)求最值，考查學(xué)生審題能力，屬于中檔題17（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）將代入已知，利用換元法解出關(guān)于的一元二次不等式，可得的取值范圍；（2）將進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，可證得不等式成立【詳解】（1）令，或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)則的取值范圍是（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求最值或范圍，考查基本不等式證明不等式，考查學(xué)生邏輯思維能力，屬于中檔題18（1）；（2）

12、.【分析】（1）利用基本不等式結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算求出的最小值；（2）將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值【詳解】（1），由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為；（2）由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求最值，解這類問題的關(guān)鍵就是對(duì)代數(shù)式朝著定值方向進(jìn)行配湊，同時(shí)注意定值條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題19（1）最小值為；（2）.【分析】（1）由利用基本不等式即可求得函數(shù)的最小值； （2）由題意可得不等式成立”只要“在恒成立”不妨設(shè)，則只要在0，2恒成立結(jié)合二次函數(shù)的圖象列出不等式解得即可【詳解】

13、解：（1）依題意得.因?yàn)閤0，所以 .當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以.故當(dāng)時(shí)，的最小值為 .（2）因?yàn)椋砸沟谩叭我獾?，不等式成立”，只要“在上恒成立?不妨設(shè)，則只要在上恒成立.所以 即解得.所以a的取值范圍是.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及恒成立問題等，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題203【分析】，運(yùn)用基本不等式可求函數(shù)的最小值.【詳解】，原式=.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，當(dāng)時(shí)的最小值為3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題，對(duì)式子進(jìn)行靈活變形，合理創(chuàng)建使用基本不等式的條件是解題關(guān)鍵21（1）；（2）證明見解析；（3）比更遠(yuǎn)離理由見解析.【分析

14、】（1）由題意利用已知條件消去y，得到，兩邊平方即得；（2）利用分析法證明即可；（3）結(jié)合基本不等式的變形，可將為題轉(zhuǎn)化為研究的正負(fù)問題，然后根據(jù)絕對(duì)值的意義分類討論，并結(jié)合消元思想，配方法可以得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，即，兩邊平方，得；（2）即證，即證，即證，即證（*），（*）成立，即比更遠(yuǎn)離；（3），從而，時(shí)，即；時(shí)，即；綜上，即比更遠(yuǎn)離【點(diǎn)評(píng)】本題考查含有絕對(duì)值的不等式的求解與證明，作差法比較大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的靈活應(yīng)用，分析法證明不等式，分類討論思想，屬中高檔題，難度較大.22見解析【分析】（1）利用均值不等式，結(jié)合即得證；（2）利用，轉(zhuǎn)化，利用均值不等式即得

15、證【詳解】（1） 且 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（2） 且 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了均值不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于中檔題23（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀可選擇合適的回歸模型；（2）將數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求得，求得和的值，進(jìn)而可得出關(guān)于的回歸方程；（3）設(shè)，可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件【詳解】（1）更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型；（2）由公式可得：，所以所求回歸方程為；（3）設(shè)，則煤氣用量，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，煤氣用量最小【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查非線性回歸方程的求解與應(yīng)用問題，將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸并利用最小二乘法求解模型是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.24（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）即證明函數(shù)在上是減函數(shù)，只需證明，根據(jù)，所以，繼續(xù)朝著目標(biāo)式子整理即可.（2）當(dāng)，且時(shí)，由均值不等式知，結(jié)合（1），所以，再證明，即證明，把上式和結(jié)合整理即可.【詳解】證明：(1)由題意，.因?yàn)椋?，所以，即所?即，x1，+).從而f(x)在1，+)上單調(diào)遞減，因此.(2)當(dāng)，