數(shù)學(xué)建模微分方程模型PPT精選文檔

1、1數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模 微分方程模型微分方程模型關(guān)曉飛關(guān)曉飛同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2一、什么是微分方程？一、什么是微分方程？最最簡單的例子最最簡單的例子3引例引例 一曲線通過點（一曲線通過點（1 1，2 2），且在該曲線任一點），且在該曲線任一點M M( ( x ,y x ,y ) )處的切線的斜率為處的切線的斜率為2 2x x，求該曲線的方程。，求該曲線的方程。解解 因此，所求曲線的方程為因此，所求曲線的方程為 21.yx若設(shè)曲線方程為若設(shè)曲線方程為 ， ( )(1)yf x又因曲線滿足條件又因曲線滿足條件 1|2xy根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知未知函數(shù)滿足關(guān)系式根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可

2、知未知函數(shù)滿足關(guān)系式： 2(2)dyxdx對（對（1 1）式兩端積分得：）式兩端積分得： 22(3)yxdxxC代入（代入（3 3）得）得C1 4回答什么是微分方程： n建立關(guān)于未知變量、建立關(guān)于未知變量、n未知變量的導(dǎo)數(shù)以及未知變量的導(dǎo)數(shù)以及n自變量的方程自變量的方程 2yx)20( kdtddMMdt ,xyy ,32xeyyy 5二、微分方程的解法二、微分方程的解法積分方法，分離變量法積分方法，分離變量法6可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)函數(shù)設(shè)函

3、數(shù))(yg和和)(xf是連續(xù)的是連續(xù)的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法7例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xCey 典型例題典型例題8過定點的積分曲線過定點的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線過

4、定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .9例例2. 解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y10一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的

5、特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題11三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點受外力作用作直線運(yùn)動的質(zhì)點受外力作用作直線運(yùn)動, ,這外力這外力和時間成正比和時間成正比, ,和質(zhì)點運(yùn)動的速度成反比和質(zhì)點運(yùn)動的速度成反比. .在在10 t秒時秒時, ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問從運(yùn)動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運(yùn)動開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從

6、河邊處處點點 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系系數(shù)數(shù)為為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .12練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三三、3 .269 v厘厘米米/ /秒

7、秒. .四四、取取 0 0 為為原原點點, ,河河岸岸朝朝順順?biāo)椒较蛳驗闉檩S軸x, ,軸軸y指指向向?qū)?岸岸, ,則則所所求求航航線線為為)312(32yyhakx . .13三、建立微分方程數(shù)學(xué)模型三、建立微分方程數(shù)學(xué)模型1、簡單的數(shù)學(xué)模型、簡單的數(shù)學(xué)模型2、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型、復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型141、簡單的數(shù)學(xué)模型、簡單的數(shù)學(xué)模型15 利用微分方程求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟是：利用微分方程求實際問題中未知函數(shù)的一般步驟是： (1) (1) 分析問題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方分析問題，設(shè)所求未知函數(shù)，建立微分方程，確定初始條件；程，確定初始條件； (2) (2) 求出微分方程的通解；求

8、出微分方程的通解； (3) (3) 根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求根據(jù)初始條件確定通解中的任意常數(shù)，求出微分方程相應(yīng)的特解出微分方程相應(yīng)的特解 16 實際問題需尋求某個變量實際問題需尋求某個變量y 隨另一變量隨另一變量 t 的的變化規(guī)律變化規(guī)律 ：y=y(t).直接求直接求很困難很困難 建立關(guān)于未知變量、建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程自變量的方程 建立變量能滿足建立變量能滿足的微分方程的微分方程 ？哪一類問題哪一類問題17在工程實際問題中在工程實際問題中 “改變改變”、“變化變化”、“增加增加”、“減少減少”等關(guān)等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化鍵詞提示

9、我們注意什么量在變化. 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞“速率速率”, “增長增長” ,“衰變衰變” ,“邊際邊際的的” ,常涉及到導(dǎo)數(shù)常涉及到導(dǎo)數(shù). 建立方法建立方法常用微分方程常用微分方程運(yùn)用已知物理定律運(yùn)用已知物理定律 利用平衡與增長式利用平衡與增長式 運(yùn)用微元法運(yùn)用微元法應(yīng)用分析法應(yīng)用分析法機(jī)理分機(jī)理分析法析法18建立微分方程模型時建立微分方程模型時應(yīng)用已知物理定律，應(yīng)用已知物理定律，可事半功倍可事半功倍一、運(yùn)用已知物理定律一、運(yùn)用已知物理定律19例例1 1 鈾的衰變規(guī)律問題：放射性元素由于不斷地鈾的衰變規(guī)律問題：放射性元素由于不斷地有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量有原子放射出微粒子變成其他元素，

10、鈾的含量不斷的減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，由原子物理不斷的減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量含量M M成正比，已知成正比，已知t t0 0時刻鈾的含量為時刻鈾的含量為 ，求在衰變過程中鈾的含量求在衰變過程中鈾的含量M M（t t）隨時間隨時間t t的變化的變化規(guī)律。規(guī)律。0M20鈾的衰變速度就是鈾的衰變速度就是 對時間對時間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) ， 解解 因此，因此，( )tM tCe由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿足由于衰變速度與其含量成正比，可知未知函數(shù)滿足關(guān)系式關(guān)系式： (1)dMMdt 對上式兩端積分得

11、：對上式兩端積分得： dMdt( )M t(0) 是衰變系數(shù)是衰變系數(shù)00tMM且初始條件且初始條件分離變量得分離變量得dMdtM lnlnMtc 代入初始條件得代入初始條件得0CM所以有，所以有，0( )tM tM e這就是鈾的衰變規(guī)律這就是鈾的衰變規(guī)律。21 例例2 一個較熱的物體置于室溫為一個較熱的物體置于室溫為180c的的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后分鐘以后降到降到500c .想知道它的溫度降到想知道它的溫度降到300c 需要多少時需要多少時間？間？10分鐘以后它的溫度是多少？分鐘以后它的溫度是多少？一、運(yùn)用已知物理定律一、運(yùn)用已知物理定律2

12、2 牛頓冷卻（加熱）定律：牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為將溫度為T的物體的物體放入處于常溫放入處于常溫 m 的介質(zhì)中時，的介質(zhì)中時，T的變化速率的變化速率正比于正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差與周圍介質(zhì)的溫度差. . 分析分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡分布均衡, ,保持為保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個，采用牛頓冷卻定律是一個相當(dāng)好的近似相當(dāng)好的近似. .建立模型建立模型：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t0， 23“T的變化速率正比于的變化

13、速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差與周圍介質(zhì)的溫度差” 翻譯為翻譯為成正比成正比與與mTdtdT 數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言 .60)0(),(TmTkdtdT建立微分方程建立微分方程其中參數(shù)其中參數(shù)k 0，m=18. 求得一般解為求得一般解為24 ln(Tm)=k t+c,代入條件代入條件: 求得求得c=42 ， , 最后得最后得2116ln31 k T(t)=18+42 , t 0. te2116ln31, 0, tcemTkt或或結(jié)果結(jié)果 ：T(10)=18+42 =25.870，102116ln31 e該物體溫度降至該物體溫度降至300c 需要需要8.17分鐘分鐘. (0)60T(3)50T25另一

14、個例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該另一個例子：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)有一瓶熱水，物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)有一瓶熱水，水溫原來是水溫原來是100100，空氣的溫度是，空氣的溫度是2020，經(jīng)過，經(jīng)過2020小時以后，瓶內(nèi)水溫降到小時以后，瓶內(nèi)水溫降到6060，求瓶內(nèi)水溫的變，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律化規(guī)律 26例例3 3：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)：已知物體在空氣中冷卻的速率與該物體及空氣兩者溫度的差成正比設(shè)有一瓶熱水，水溫原來是有一瓶熱水，水溫原來是100100，空氣的溫度是，空氣的溫度是2020，經(jīng)過，經(jīng)過2020

15、小時以后，瓶內(nèi)小時以后，瓶內(nèi)水溫降到水溫降到6060，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律，求瓶內(nèi)水溫的變化規(guī)律 解解 可以認(rèn)為在水的冷卻過程中，空氣可以認(rèn)為在水的冷卻過程中，空氣的溫度是不變的的溫度是不變的 由題意，得由題意，得 其中其中 k k 是比例系數(shù)是比例系數(shù)( ( k k 0 )0 ) 由于是單調(diào)減少的，即由于是單調(diào)減少的，即 0ddt 設(shè)瓶內(nèi)水的溫度設(shè)瓶內(nèi)水的溫度 與時間之間的函數(shù)關(guān)系為與時間之間的函數(shù)關(guān)系為 ， )(t 則水的冷卻速率為則水的冷卻速率為 , dtd (1) )20( kdtd所以所以(1)(1)式右邊前面應(yīng)加式右邊前面應(yīng)加“負(fù)號負(fù)號”初始條件為初始條件為1000 t 27對對(

16、1)(1)式分離變量，得式分離變量，得 于是方程于是方程(1)(1)的特解為的特解為 8020k tekdtd 20 兩邊積分兩邊積分 dtkd20 得得 Cktln)20ln( t kt kCCt kCeeee lnln20 即即20 t kCe 把初始條件把初始條件 代入上式，求得代入上式，求得 C = 80 ， 1000 t 其中比例系數(shù)其中比例系數(shù) k 可用問題所給的另一條件可用問題所給的另一條件 來確定，來確定， 6020 t 即即 20806020 te解得解得 0347. 05 . 0ln201 k因此瓶內(nèi)水溫因此瓶內(nèi)水溫 與時間與時間 的函數(shù)關(guān)系為的函數(shù)關(guān)系為t20800347

17、. 0 te 28二二. 利用平衡與增長式利用平衡與增長式 許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變不變的特性的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等. 利用變量間的平衡與增長特性利用變量間的平衡與增長特性, ,可分析和建可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系立有關(guān)變量間的相互關(guān)系. . 29解解例例1 1 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺風(fēng)量為每秒用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含通入含 的的

18、 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動問鼓風(fēng)機(jī)開動6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 302CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtd

19、x,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO31二二. 利用平衡與增長式利用平衡與增長式 對某地區(qū)時刻對某地區(qū)時刻 t 的人口總數(shù)的人口總數(shù)N(t)，除考慮個，除考慮個體的體的出生、死亡出生、死亡，再進(jìn)一步考慮遷入與遷出，再進(jìn)一步考慮遷入與遷出的影響的影響. .32 在很短的時間段在很短的時間段t 內(nèi)，關(guān)于內(nèi)，關(guān)于N(t)變化的一個變化的一個最簡單的模型是：最簡單的模型是： t時間內(nèi)的人口增長量時間內(nèi)的人口增

20、長量=t內(nèi)出生人口數(shù)內(nèi)出生人口數(shù)t內(nèi)死亡人口數(shù)內(nèi)死亡人口數(shù)+ t內(nèi)遷入人口數(shù)內(nèi)遷入人口數(shù)t內(nèi)遷出人口數(shù)內(nèi)遷出人口數(shù) t時間內(nèi)的凈改變量時間內(nèi)的凈改變量=t時間內(nèi)輸入量時間內(nèi)輸入量t時間內(nèi)輸出量時間內(nèi)輸出量 般化般化更一更一基本模型基本模型33三三. 微元法微元法 基本思想基本思想： 通過分析研究對象的有關(guān)變量在通過分析研究對象的有關(guān)變量在 一個很短時間內(nèi)的變化情況一個很短時間內(nèi)的變化情況.34例例 一個高為一個高為2米的球體容器里盛了一半米的球體容器里盛了一半的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面的水，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為積為1 1平方厘米平方厘米. . 試求放空容器所需要

21、的時間試求放空容器所需要的時間. .2米對孔口的流速做兩條假設(shè)對孔口的流速做兩條假設(shè) ： 1t 時刻的流速時刻的流速v 依賴于依賴于此刻容器內(nèi)水的高度此刻容器內(nèi)水的高度h(t). 2 整個放水過程無能整個放水過程無能量損失。量損失。 35分析分析：放空容器放空容器？容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的體積為零容器內(nèi)水的高度為零容器內(nèi)水的高度為零 模型建立：模型建立：由水力學(xué)知：水從孔口流出的由水力學(xué)知：水從孔口流出的流量流量Q為通過為通過“孔口橫截面的水的體積孔口橫截面的水的體積V對時對時間間t 的變化率的變化率”，即即ghSdtdVQ262. 0 36S孔口橫截面積（單位：平方厘米）孔口橫截面積（單

22、位：平方厘米） h(t) 水面高度（單位：厘米）水面高度（單位：厘米） t時間（單位：秒）時間（單位：秒）當(dāng)當(dāng)S=1平方厘米，有平方厘米，有)1(262. 0dtghdV h(t)h+hr1r2水位降低水位降低體積變化體積變化37 在在t，t+t 內(nèi)，水面高度內(nèi)，水面高度 h(t) 降至降至h+h(h10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降先升后降至至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S073ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈

23、率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計的估計0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫74模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計被傳染人數(shù)的估計0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xx 03) 經(jīng)濟(jì)增長的條件經(jīng)濟(jì)增長的條件)1 (10120yfLyf82)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時

24、當(dāng)BKK,1/000勞動力增長率小于初始投資增長率勞動力增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增增長長dZ/dt03) 經(jīng)濟(jì)增長的條件經(jīng)濟(jì)增長的條件dtdyyfdtdZ10833 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會

25、領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例領(lǐng)域的實際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型型840),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙方的增援率為甲乙雙方的增援率為u(t), v(t)f, g 取決于戰(zhàn)爭類型取決于戰(zhàn)爭類型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假設(shè)假設(shè)模型模型85)()(tvybxytuxayx

26、正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)xxprbbxg, 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每個士兵的殺傷乙方每個士兵的殺傷率率a=ry py, ry 射擊率，射擊率， py 命中命中率率86)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論而在相平面上討論 x 與與 y 的的關(guān)系關(guān)系00)0(,)0(yy

27、xxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時平方律平方律 模型模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝乙方勝87游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每個士兵的殺傷率乙方每個士兵的殺傷率c = ry pyry射擊率射擊率py 命中率命中率py=sry /sx

28、sx 甲方活動面積甲方活動面積sry 乙方射擊有效面乙方射擊有效面積積88)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線性律線性律 模型模型甲方勝 0m平局 0mcddxdy89)(ty)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合戰(zhàn)爭模型混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002

29、xsrsprxyryyxxx乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵倍于甲方的兵力力設(shè)設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)904 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除 藥物進(jìn)入機(jī)體形成藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度血藥濃度( (單位體積血液的藥物量單位體積血液的藥物量) ) 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計給藥方案設(shè)計 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 藥物動力學(xué)藥物動力學(xué) 建立建立房室模型房室模型藥物動力學(xué)的基本步驟藥物動力學(xué)的基本步驟 房室房室機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均

30、勻機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布分布( (血藥濃度為常數(shù)血藥濃度為常數(shù)) )，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論本節(jié)討論二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、腎等心、肺、腎等) )和和周邊室周邊室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) )91 中心室中心室周邊室周邊室給藥給藥排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假設(shè)模型假設(shè) 中心室中心室(1)和周邊室和周邊室(2), ,容積不變?nèi)莘e不變 藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與

31、該室血藥濃度成正比，與該室血藥濃度成正比 藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移相互轉(zhuǎn)移, ,從中心室排出體外從中心室排出體外模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率0f2211122)(xkxktx92tttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2 , 1),()(itcVtxiii線性常系數(shù)線性常系數(shù)非齊次方程非齊次方程對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解模型建立模型建立93)()()()()()

32、()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf幾種常見的給藥方式幾種常見的給藥方式1. .快速靜脈注射快速靜脈注射t=0 瞬時瞬時注射劑量注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室的藥物進(jìn)入中心室, ,血血藥濃度立即為藥濃度立即為D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk給藥速率給藥速率 f0(t) 和初始條件和初始條件9412211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVk

33、kkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速靜脈滴注恒速靜脈滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于按指數(shù)規(guī)律趨于零零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt 950010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物相當(dāng)于藥物( 劑量劑量D0)先

34、進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(2196ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計參數(shù)估計各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)測得測得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大設(shè)t ,由較大的由較大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A,

35、 , )(,1iitct由較小的由較小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(1210197211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk參數(shù)估計參數(shù)估計進(jìn)入中心室的藥物全部排除進(jìn)入中心室的藥物全部排除98 過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系 人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型模型分

36、析分析 分析吸煙時毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸分析吸煙時毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。煙過程的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)想一個設(shè)想一個“機(jī)器人機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。問題問題5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用99模型模型假設(shè)假設(shè)定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1煙草長，煙草長， l2過濾嘴長，過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙）點燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a

37、, a +a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的毒物的(單位時間單位時間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v uQ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量100vxlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，點燃香煙，點燃香煙0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq

38、(x,t) 毒物流毒物流量量w(x,t) 毒物密毒物密度度1) 求求q(x,0)=q(x)101lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(t時刻，香煙燃至?xí)r刻，香煙燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)102tvtxqbtxwttxw),(),(),(0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(03

39、) 求求w(ut,t)103vabutvbutvlvblaeeeeaauwtlq210),(vblavluleebavawdttlqQ121/001),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaaeawtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 計算計算 Q10411vblar結(jié)果結(jié)果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112煙草煙草為什么有作用為什么有作用?1）Q與與a,M成正比，成正比， aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 處的吸入量處的吸入量2) 過濾嘴因素，過濾嘴因素，

40、, l2 負(fù)指數(shù)負(fù)指數(shù)作用作用vle2vlaMe2是毒物集中在是毒物集中在x=l1 處的吸入量處的吸入量3） (r) 煙草的吸收作煙草的吸收作用用b, l1 線性線性作作用用105vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)(21vblavleebavawQ12011帶過濾嘴帶過濾嘴不帶過濾嘴不帶過濾嘴21QQb結(jié)果結(jié)果分析分析4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 與加長與加長l2，效果相，效果相同同1066 人口預(yù)測和控制人口預(yù)測和控制)(),(,0),0(tNtr

41、FtFmrFtrp),( 年齡分布對于人口預(yù)測的重要性年齡分布對于人口預(yù)測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計遷移只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程的人口）年齡人口分布函數(shù)rtrF(),(人口密度函數(shù)),(trp人口總數(shù))(tN最高年齡)(mr107),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr)

42、,(),(drdttdrrp),(11080),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(10921),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生

43、育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 總和生育率總和生育率h生育模生育模式式)(),(rhtrh01r2rr110rtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t

44、 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大111mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽命t時刻出生的人，死亡率按時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不過大不過大控制控制 (t)不過高不過高1127 煙霧的擴(kuò)散與消失煙霧的擴(kuò)散與消失現(xiàn)象現(xiàn)象和和問題問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。炮彈在空中爆炸，煙

45、霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時間與各因素的建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時間與各因素的關(guān)系。關(guān)系。問題問題分析分析無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙無窮空間由瞬時點源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關(guān)。程度有關(guān)。113gradCkq模型模型假

46、設(shè)假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線穿過煙霧時光強(qiáng)的減少與煙霧濃）光線穿過煙霧時光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型模型建立建立1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法熱傳導(dǎo)定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比向面積的流量與濃度梯度成正比 114

47、21QQ 222222)(zCyCxCkgradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通過,ttt內(nèi)煙霧改變量sVdVqdivdnq曲面積分的奧氏公式曲面積分的奧氏公式gradCkq1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC115ktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始條件初始條件Q炮彈釋放的煙霧總量炮彈釋放的煙霧總量 單位強(qiáng)度的點源函數(shù)單位強(qiáng)度的點源函數(shù) 對任意對任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 僅當(dāng)僅當(dāng) t, 對任意點對任意點(x,y,z), C01）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC11600)(IlI)()(lIlCdldI2）穿過煙霧光強(qiáng)