高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法課件

1、高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法1第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值52P定義定義的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)000yxPyxfz,:,)(如如果果都都適適合合內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)于于內(nèi)內(nèi)有有定定義義yxPPUPU0000yxfyxf,;,0000yxfyx有有極極大大值值則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn):如果都適合如果都適合00yxfyxf,.,0000yxfyx有有極極小小值值則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn).,極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為極極值值極極大大值值.為極值點(diǎn)為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)使函數(shù)取得極值

2、的點(diǎn)稱(chēng)0P)(0PUP高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法2.),(.00043122zyxz點(diǎn)有極小值點(diǎn)有極小值在在例例)( 開(kāi)口向上的橢圓拋物面開(kāi)口向上的橢圓拋物面.),(.000222zyxz點(diǎn)點(diǎn)有有極極大大值值在在例例)( 頂點(diǎn)在上的圓錐面頂點(diǎn)在上的圓錐面,),(.不取極值不取極值在點(diǎn)在點(diǎn)例例003yxz ,),(0IIIIzyx象象限限時(shí)時(shí)落落在在因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng),),(0IVIIzyx象限時(shí)象限時(shí)落在落在當(dāng)當(dāng).),(000z點(diǎn)點(diǎn)而而在在馬鞍面之鞍點(diǎn)馬鞍面之鞍點(diǎn) .高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法3,處處有有極極大大值值在在設(shè)設(shè)000yxPyxfz 內(nèi)內(nèi)恒恒有有則則在在)(0PU,

3、),(),(00yxfyxf,),(),(000yxfyxf特別有特別有,處處取取極極大大值值在在0 xx ;),(000yxfx),(0必為必為如果存在如果存在一元函數(shù)在極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)在極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù).),(000yxfy處處在在極極值值點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)必必要要條條件件定定理理),(,)(.001yxyxfz 則必有則必有偏導(dǎo)數(shù)若存在偏導(dǎo)數(shù)若存在 ,.),(,),(000000yxfyxfyx.),(,的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱(chēng)稱(chēng)如如果果fyxyxf00000),(0yx),(00yx0P.,),(,),(000000000yxfyxfyxfyx),(0yxf一一元元函函數(shù)數(shù)表明表明從而從而同理同理

4、高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法4:),(極值的方法極值的方法求二元函數(shù)求二元函數(shù)yxfz )( 與與一一元元函函數(shù)數(shù)相相類(lèi)類(lèi)似似, ),(, ),(:.2211yxyx找出可能的極值點(diǎn)找出可能的極值點(diǎn)一一,. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)1.),(,.的點(diǎn)的點(diǎn)即即駐點(diǎn)駐點(diǎn)02yxf?, ),(, ),(.極極大大還還是是極極小小是是否否極極值值點(diǎn)點(diǎn)判判定定二二2211yxyx. 按按定定義義1)(.見(jiàn)見(jiàn)下下頁(yè)頁(yè)定定理理 22. )(),(,)(),(.最小值最小值上的最大值上的最大值在在的函數(shù)值就是的函數(shù)值就是那么可以肯定該駐點(diǎn)處那么可以肯定該駐點(diǎn)處一個(gè)駐點(diǎn)一個(gè)駐點(diǎn)內(nèi)只有內(nèi)只有而函數(shù)

5、在而函數(shù)在的內(nèi)部取得的內(nèi)部取得一定在一定在最小值最小值的最大值的最大值由實(shí)際問(wèn)題知道函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題知道函數(shù)按實(shí)際問(wèn)題背景判定按實(shí)際問(wèn)題背景判定DyxfDDyxf3高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法5,),(,),(.oyxfCyxfz0022設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定理理,),(),(000000yxfyxfyx且且即即,),(,),(,),(CyxfByxfAyxfyyxyxx000000記記:則有結(jié)論則有結(jié)論,),()(有有極極值值時(shí)時(shí)yxfCBBA01.),(.),(為極大值為極大值為極小值為極小值000000yxfAyxfA.),()(非極值非極值時(shí)時(shí)0002yxfCBBA.,)(不定不定時(shí)時(shí)

6、03CBBA)?!(非非極極值值異異號(hào)號(hào) CA)( 充分條件充分條件高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法60104224222zyxzyx求求由由方方程程例例 .),(的的極極值值確確定定的的函函數(shù)數(shù)yxfz :. 對(duì)方程微分對(duì)方程微分解解0422222zdydxdzdzydyxdxydzyxdzxzd21212121zyyzzxxz,),(11 P駐駐點(diǎn)點(diǎn)21zxxzxx322212)()()(zxz2)2() 1()2(zxzxz21zxyzzxyyx221)(zxyz3211)()()(zyx2212)()()(zyzyz21zyyzyy322212)()()(zyz),(11 P駐駐點(diǎn)

7、點(diǎn)xxz.,),(621121zzP解解得得代代入入原原方方程程將將則則有有設(shè)設(shè),211100zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極小小值值2111zz則則有有設(shè)設(shè),611200zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極大大值值6111zz16211222)()()(zyx010422222zyxzyx橢球面高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法70104224222zyxzyx求求由由方方程程例例 .),(的的極極值值確確定定的的函函數(shù)數(shù)yxfz :. 對(duì)方程微分對(duì)方程微分解解0422222zdydxdzdzydyxdxydzyxdzxz

8、d21212121zyyzzxxz,),(11 P駐駐點(diǎn)點(diǎn)21zxxzxx322212)()()(zxz2)2() 1()2(zxzxz高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法8,2121zyyzzxxz,)()()(322212zxzzxx),(11 P駐點(diǎn)駐點(diǎn)21zxyzzxyyx221)(zxyz3211)()()(zyx2212)()()(zyzyz21zyyzyy322212)()()(zyz.,),(621121zzP解解得得代代入入原原方方程程將將010422222zyxzyx則則有有設(shè)設(shè),211100zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極小小值值211

9、1zz高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法9則則有有設(shè)設(shè),611200zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極大大值值6112zz,)()()(322212zxzzxx),(11 P駐點(diǎn)駐點(diǎn),)()()(3211zyxzxy.)()()(322212zyzzyy010422222zyxzyx16211222)()()(zyx010422222zyxzyx橢球面高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法10立立方方米米的的有有蓋蓋長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體水水體體積積為為某某廠廠要要用用鐵鐵板板做做成成一一個(gè)個(gè)例例25.,才才能能使使用用料料最最省省高高各各取取怎怎樣樣的的尺尺寸寸時(shí)時(shí)寬

10、寬問(wèn)問(wèn)當(dāng)當(dāng)長(zhǎng)長(zhǎng)箱箱.,.米米則則高高應(yīng)應(yīng)為為米米寬寬為為米米設(shè)設(shè)水水箱箱的的長(zhǎng)長(zhǎng)為為解解yxyx2水箱用料面積為水箱用料面積為yxxyxyyxA222yxyx222),(00yx:的的最最小小值值以以下下求求 A,0222令令xyAx.0222令令yxAy,:3322yx解解得得上上唯唯一一的的可可能能這這是是),(00yx,極值點(diǎn)極值點(diǎn),定定存存在在此此實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題的的最最小小值值一一3334622,A所所以以.就就是是最最小小值值.32于于此時(shí)水箱的長(zhǎng)寬高都等此時(shí)水箱的長(zhǎng)寬高都等.水箱為正方體水箱為正方體高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法11xyo6 yxD:求求最最大大值值最最小小

11、值值舉舉例例.上上的的最最大大值值與與最最小小值值在在求求函函數(shù)數(shù)Dz, )(.yxyxz462設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)例例,軸軸所所圍圍成成軸軸和和由由直直線線閉閉區(qū)區(qū)域域YXyxD6內(nèi)的駐點(diǎn)內(nèi)的駐點(diǎn)先求函數(shù)在先求函數(shù)在解解D.12yxPD的的坐坐標(biāo)標(biāo)內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)得得04042222yxyxxzyxyxyxzyx)()(由由412),()(zPz0zYX,軸上軸上軸與軸與在在高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法126424),(z,上上在在直直線線6 yxxy 6)(yxyxz42)()(262xx)(2362xx )(xxxdzd12322)(46xx0令令4 x26xyxyo6 yx

12、D.),(min6424 zz,的邊界上的邊界上所以在所以在 D,max0z:,),()(得得相相比比較較與與412 zPz.),(為為最最大大值值412z,),(為最小值為最小值6424z)(yxyxz42高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法13二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法:條件極值條件極值)(),(),(Azyxzyxfu0 設(shè)設(shè)條件.的極值的極值求求 u),(),(),(.yxuuzyxzyxfu確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)解解0 0zdydxdzdfydfxdfudzyxzyx ydxdfydfxdfudzyzxzyx ),(yxzz 高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其

13、求法14.ydffxdffudzyzyzxzx 即即zxzxffxu zyzyffyu xxf yyf zzf 0zzf :),(),(滿滿足足的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)000zyxyxuu )(),(Bzyxfffzzyyxx0000 )(),(),(Azyxzyxfu0 ),(yxuu 隱隱函函數(shù)數(shù)高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法15乘數(shù)法乘數(shù)法Lagrange),(),(),(zyxzyxfzyxL 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù).),(),(的的極極值值求求設(shè)設(shè)uzyxzyxfu0 為待定常數(shù)為待定常數(shù) :),(),(得得的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)注注意意到到求求0zyxzyxL 0000),(),(),(),

14、(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxfzzyyxx 極值點(diǎn)極值點(diǎn)解此方程組得到可能的解此方程組得到可能的),(, ),(111000zyxzyx)( 條件極值條件極值.然后判定然后判定)(B此即方程組此即方程組ofL 高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法16),(),(),(yxyxfyxL 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù).),(),(,的的極極值值求求設(shè)設(shè)類(lèi)類(lèi)似似地地uyxyxfu0 為待定常數(shù)為待定常數(shù) :),(),(得得的駐點(diǎn)注意到的駐點(diǎn)注意到求求0yxyxL 000),(),(),(),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 極值點(diǎn)極值點(diǎn)解此方程組得到可能的解此方

15、程組得到可能的),(, ),(1100yxyx)( 條件極值條件極值.然后判定然后判定ofL 高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法17.的體積的體積而體積為最大的長(zhǎng)方體而體積為最大的長(zhǎng)方體求表面積為求表面積為例例27a,.zyx設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為解解zyxV 則則體體積積:歸結(jié)為求極值歸結(jié)為求極值02222axzzyyxzyxV , ),(yxzxzyV ),(yxzxzy222222 02222axzzyyxyxyxzxzxzyzy)(唯唯一一解解6azyx定存在定存在由實(shí)際問(wèn)題本身可知一由實(shí)際問(wèn)題本身可知一這是唯一的可能極值點(diǎn)這是唯一的可能極值點(diǎn) ,最大值最大值.就是所求

16、最大值就是所求最大值所以所以66633aazyxV)( 正方體正方體 /VV0高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法18)()(zyxzxyzxxzyy02222axzzyyxyxyxzxzxzyzy附附頁(yè)頁(yè)xyzxzyxz 同理同理高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法19.),(為可能極值點(diǎn)為可能極值點(diǎn)由此解出由此解出tzyx.),(),(),(:的極值的極值求求設(shè)設(shè)推廣推廣utzyxtzyxtzyxfu00 ),(),(tzyxftzyxL設(shè)設(shè)),(),(tzyxtzyx 21:),(程程聯(lián)聯(lián)立立得得的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)的的方方程程及及條條件件方方求求tzyxL00000021212121),(),

17、(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(tzyxtzyxtzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftttzzzyyyxxx otzyxL),(高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法20 , ),(tzyxfffff截成一截成一被平面被平面拋物面拋物面例例1822zyxyxz.,與與最最短短距距離離求求原原點(diǎn)點(diǎn)到到這這橢橢圓圓的的最最長(zhǎng)長(zhǎng)橢橢圓圓的最大最小的最大最小歸結(jié)為下面的歸結(jié)為下面的解解2222zyxdu.:值問(wèn)題值問(wèn)題00),(),(),(tzyxtzyxtzyxfu 00),(),(tzyxt

18、zyx 0 f01022222zyxzyxzyxu高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法2101022222zyxzyxzyxu0100202202222zyxzyxzyyxx , ),(zyxu222, ),(122yx . ),(111 寫(xiě)出前三個(gè)方程寫(xiě)出前三個(gè)方程由由0 u:解解得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)32213111zyx32213222zyx高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法22xz210100202202222zyxzyxzyyxx 附附頁(yè)頁(yè)022022 yx)()(代入后兩個(gè)方程代入后兩個(gè)方程yx 12022zxzx1222xx21xx,高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法23.,離離分分別別對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)最最長(zhǎng)長(zhǎng)與與最最短短距距這這里里只只有有兩兩個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn),長(zhǎng)與最短距離一定存在長(zhǎng)與最短距離一定存在原點(diǎn)到一空間橢圓的最原點(diǎn)到一空間橢圓的最3592222222zyxd3592121211zyxd.離離為原點(diǎn)到橢圓的最長(zhǎng)距為原點(diǎn)到橢圓的最長(zhǎng)距3592d.離離為原點(diǎn)到橢圓的最短距為原點(diǎn)到橢圓的最短距3591 d32213111zyx32213222zyx高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法24小結(jié)：小結(jié)：:),(極值的方法極值的方法求二元函數(shù)求二元函數(shù)yxfz , ),(, ),(:.2211yxyx找出可能的極值點(diǎn)找出可能的極值點(diǎn)一一,. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在