周長(zhǎng)最小值專題

1、A.線段和最小值兩種基本模型如圖，要在街道旁修建一個(gè)奶站 P,向居民區(qū)A B提供牛奶，奶站P 應(yīng)建在什么地方，才能使從 A, B到它的距離之和最短？為什么？求線段和最小值的一般步驟： 選點(diǎn)P所在直線I為對(duì)稱軸；畫出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A 連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)A與B之間的線段，交直線I于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)，線段A B的長(zhǎng)就是AP+BP勺最小值?；窘夥ǎ豪脤?duì)稱性，將“折”轉(zhuǎn)“直”基礎(chǔ)訓(xùn)練如圖11,梯形ABCDK ADC.2.如圖4,菱形ABCDK AB=2 / BAD=60 , E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB勺最小值是。圖42.如圖，已知點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn) B是弧AN的中

2、點(diǎn)， 點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若的半徑長(zhǎng)為1,則AP+BP勺最小值為B.三角形周長(zhǎng)最小值1. (福建彰州)如圖 4,/ AOB=45 , P是/ AOB內(nèi)一點(diǎn)，P0=1Q Q R分別是 OA OB上的動(dòng)點(diǎn)，求 PQF周長(zhǎng)的最小值.2.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1 , Q) , B(-3 , Q)兩點(diǎn)，(1) 求該拋物線的解析式。(2) 設(shè)(1)中的拋物線交y軸于點(diǎn)C,在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) Q, 使得QAC的周長(zhǎng)最?。咳绻嬖?，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。(3)在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,是厶PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)及厶PBC面積的

3、最大值;若不存在，請(qǐng)說明理由3. 如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c過A (3，)、B ( 4，2)、C (0，2)三點(diǎn)，點(diǎn) P是x軸 上的動(dòng)點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 如圖甲所示，連接 AC CP PB BA是否存在點(diǎn)P，使四邊形ABPC為等腰梯形？若存 在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3) 點(diǎn)H是題中拋物線對(duì)稱軸I上的動(dòng)點(diǎn)，如圖乙所示，求四邊形AHPB周長(zhǎng)的最小值.（1 ）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn) A, B, C的坐標(biāo)代入解析式即可求得;（2） 根據(jù)等腰梯形的判定方法分別從PC/ AB與BP/ AC去分析，注意不要漏解;（3）首先確定點(diǎn)P與點(diǎn)H的位置，再求解各線段的長(zhǎng)即

4、可.B.四邊形周長(zhǎng)最小值基本模型（一）定長(zhǎng)不動(dòng)：做雙對(duì)稱思路與方法1）總有兩個(gè)已知點(diǎn)，即一條邊是定值。2）分別做兩個(gè)已知點(diǎn)關(guān)于xy軸的對(duì)稱點(diǎn)，則與兩坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)就是所求兩點(diǎn)3）此時(shí)，兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與坐標(biāo)軸上的兩個(gè)點(diǎn)在一條直線上，即四點(diǎn)共線，所以最 小。1.在直角坐標(biāo)系中,設(shè)A （4, -5） B （8，-3） C （m 0） D （0，n）,當(dāng)四邊形的 周長(zhǎng)最短時(shí),m/n的值為.2.在直角坐 標(biāo)系中有 四個(gè)點(diǎn)A（ -6，3），B（ -2，5），C（ 0，m，D （n，0），當(dāng)四 邊形ABCD周長(zhǎng)最短 時(shí)，貝U m+n=:做單對(duì)稱基本模型（二）定長(zhǎng)移動(dòng)思路與方法1）做一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)2）過另一定點(diǎn)做

5、移動(dòng)邊的平行線3）做出平行四邊形，找到定長(zhǎng)的兩個(gè)端點(diǎn)1. 如圖，A B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長(zhǎng)線段PQ在a上平行移動(dòng)，問 PQ移動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+PQ+Q的長(zhǎng)最短？作法：（假設(shè)PQ就是在直線a上移動(dòng)的定長(zhǎng)線段）1）過點(diǎn)B作直線a的平行線,并在這條平行線上截取線段 BB,使它等于定長(zhǎng)PQ；2）作出點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交直線a于P；3）在直線a上截取線段PQ=PQ.則此時(shí) AP+PQ+B最小.略證：由作法可知 PQ=PQ=BB，四邊形PQBB與PQBB均為平行四邊形.下面只要說明AP+BQAP+BQ即可.點(diǎn)A與A關(guān)于直線 a對(duì)稱，則 AP=AP,AP=AP.故:AP+BQ=A

6、P+BP=AB：AP+BQ=AP+BP. 顯然，ABAP+BP；（三角形三邊關(guān)系）即 AP+BQAP+BQ.2. 如圖,在直線l上有動(dòng)線段CD,在直線l的同側(cè)有兩定點(diǎn) A,B在CD運(yùn)動(dòng)過程中請(qǐng)畫出 使四邊形ABCD周長(zhǎng)最短的CD的位置專題訓(xùn)練1.在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（ 3，2），B（ 1 ,5）（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），當(dāng)m=時(shí)， PAB的周長(zhǎng)是(2)若點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(0, a)、( 0 , a+4),則當(dāng)a=時(shí)，ABDC的周長(zhǎng)最短.2. (浙江省湖州市)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (2,- 3)、B(4, - 1)。( 1 )若P

7、 ( p, 0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) p=時(shí)， PAB的周長(zhǎng)最短；(2)若C (a，0)，D( a+3，0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) a=時(shí)，四邊形ABDC勺周長(zhǎng)最短；(3)設(shè)M N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)(m。)、( 0,n),使四邊形ABMN勺周長(zhǎng)最短？若存在， 請(qǐng)求出m=n=(不必寫解答過程)；若不存在，請(qǐng)說明理由。3在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB勺頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A B分別在x軸、 y 軸的正半軸上，OA=3， OB=4， D為邊 OB的中點(diǎn).(1) 若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo)。(2) 若E、F為線段邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2當(dāng)四邊形CDEF勺周長(zhǎng)最小 時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).4. 已 知頂 點(diǎn) 為 A(1,5) 的 拋 物線 經(jīng) 過點(diǎn) B(5,1).(1)求拋物線的解析式；如圖(1),設(shè)C,D分別是軸、軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值； 在 中，當(dāng)四邊形 ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，作直線 CD設(shè)點(diǎn)P()()是直線