任意角的三角函數(shù)(優(yōu)秀課件)

1、1.2.1 任意角的三角函數(shù)紐紳中學(xué)紐紳中學(xué)1.在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧OabMPcOabMPyx2.在在直角坐標系直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？新課新課 導(dǎo)入導(dǎo)入22:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果如果改變點在終邊上改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？的位置，這三個比值會改變嗎？PMOPMPsinO

2、POMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM誘思誘思 探究探究MOyxP(a,b)？OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPyxxy1.銳角三角函數(shù)（銳角三角函數(shù)（在單位圓中在單位圓中）以原點以原點O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為長度為半徑的圓，稱為單位圓單位圓. yOP),(yxx1M2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)設(shè) 是一個任意角，它的是一個任意角，它的終邊與單位圓交于終邊與單位圓交于點點),(yxP 那么那么:（1） 叫做叫做 的正弦，記作的正弦，記作 ，即，即 ；ysinysin （2） 叫做叫做 的余弦，記作的余弦

3、，記作 ，即，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點上點的的坐標或坐標的比值坐標或坐標的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊的終邊說說 明明（1）正弦就是交點的）正弦就是交點的縱坐標縱坐標，余弦就是交點，余弦就是交點橫坐標的比值橫坐標的比值

4、. .的的橫坐標橫坐標， 正切就是正切就是 交點的交點的縱坐標與縱坐標與. .（2） 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的的終邊在終邊在 橫坐標等于橫坐標等于0， xytan無意義無意義，此時，此時 )(2zkky軸上軸上時，點時，點P 的的（3）由于）由于角的集合與實數(shù)集角的集合與實數(shù)集之間可以建立之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)自變量為實數(shù)的函數(shù)的函數(shù).（單位圓）（單位圓）ysinxcosxytan)0(x任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直角三角形中定義銳角三角函數(shù) abra

5、rbtan,cos,sin直角坐標系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) xyxytan,cos,sin單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcosxytan,例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐標系中，作在直角坐標系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點坐標為的終邊與單位圓的交點坐標為 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 思考：思考：若把角若把角 改為改為 呢呢? 3

6、567,2167sin,2367cos3367tan實例實例 剖析剖析xyoAB35例例2.已知角已知角 的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 .)4, 3(0P220( 3)( 4)5.OP 解解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點分別過點 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4, 30P0MOyxMyxP , 5

7、 設(shè)角設(shè)角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上的任意一點是終邊上的任意一點(不在原點不在原點）， 點點 與原點的距離與原點的距離 .),(yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點有關(guān)，而與點 在角的在角的終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān).P定義推廣：定義推廣：xyo P（x，y）r135122222yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是于是，鞏固鞏固 提高提高練習(xí)練習(xí): 1.已

8、知角已知角 的終邊過點的終邊過點 ， 求求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值.5 ,12P解：解：由已知可得：由已知可得：2P15 ,8aaaa.已知角 的終邊上一點R且0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaaa所以 1017 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 32sin,cos ,tan.yx.已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時，221

9、,2125在角 的終邊上取點，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時，221, 2125r 在角 的終邊上取點，則22 5152sin,cos,tan255155 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-心得心得: :角定象限角定象限, ,象限定符號

10、象限定符號. .例例3. 求證：當(dāng)下列不等式組成立時，角求證：當(dāng)下列不等式組成立時，角 為第三象限角為第三象限角.反之也對反之也對0tan 0sin 證明：證明： 因為式因為式 成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因為式又因為式 成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因為式都成立，所以角因為式都成立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來反過來呢？呢？如果兩個

11、角的終邊相同，那么這兩如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？個角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 . ？ 例題例題cossintantan. 例例4.4.確確定定下下列列三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號號, ,然然后后用用計計算算器器驗驗證證: : (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(

12、4)3 (1)250;(2)(-);(3)(-672 );(4)34 4（3）因為）因為 = 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以)672tan(tan(482 360 )tan48 , tan( 672 )0; 48（1）因為）因為 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos解：解： （2）因為）因為 是第四象限角，所以是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan.(4)3(4)3o5.911 (1)sin1480 10; (2)cos; (3)tan(-).46例 求下列三角函數(shù)值:92(2)coscos(2 )cos;4442113(3)tan()t

13、an(2 )tan.6663 解：解： 117119cossintan363練習(xí)：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan 6363cossintan3631131322 1. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的符號.誘導(dǎo)公式一誘導(dǎo)公式一.運用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題運用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題.劃歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想劃歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.歸納歸納 總結(jié)總結(jié)2 .方法總結(jié)：方法總結(jié)：3 .體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：MAP(x,y)下面我們

14、再從下面我們再從圖形圖形的的角度角度認識一下三角函數(shù)認識一下三角函數(shù)思考思考: 為了去掉等式中得絕對值符號，能否為了去掉等式中得絕對值符號，能否 給線段給線段OM、MP規(guī)定規(guī)定一個適當(dāng)?shù)姆较蛞粋€適當(dāng)?shù)姆较? 使它們的使它們的取值與點取值與點P的坐標一致的坐標一致？單位圓單位圓|MP|= |y|= |OM|= |x|= 我們把帶有方向的線段叫我們把帶有方向的線段叫有向線段有向線段. .( (規(guī)定規(guī)定: :與坐標軸相同的方向為與坐標軸相同的方向為正方向正方向).).MAP如右圖如右圖:有向線段OM（方向是起始字母指向終止字母）與x軸的正方向相反， 取負值；有向線段OA的方向與x軸的正方向相同，取正

15、值；有向線段MP的方向與y的正方向相反，取負值。TMAP（x，y）ysinxcosTMAP（x，y）TM AP（x，y）= MPTM A（1,0）P（x，y）= OM單位圓單位圓 說明：說明：1、這是一種這是一種設(shè)設(shè)計理念計理念，使有向線段，使有向線段剛剛好等于好等于相應(yīng)的三角函數(shù)；相應(yīng)的三角函數(shù)；2、有向線段的有向線段的起點起點都都在在x軸上（或原點）軸上（或原點）；3、A點是點是單位圓與單位圓與x軸的軸的正半軸的交點正半軸的交點。這幾條與單位圓有關(guān)的這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段有向線段分別叫做角的分別叫做角的正弦線正弦線、余弦線余弦線、正切線正切線統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為三角函數(shù)線三角函數(shù)線.當(dāng)角的終

16、邊在當(dāng)角的終邊在x軸軸上時，上時，正弦線、正切線分別正弦線、正切線分別變成一個點；變成一個點；ATOMMP、當(dāng)角的終邊在當(dāng)角的終邊在y軸軸上時，上時，余弦線變成一個點余弦線變成一個點，正切線不存在正切線不存在TM APTMAPTMAPTM AP41.,3例 作出角的正弦線 余弦線 正切線. MPMP是正弦線是正弦線OMOM是余弦線是余弦線 AT AT是正切線是正切線y yxo o MMP PA AT T例例 題題 示示 范范例例2.2.作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線332（1） ；（；（2） 例例3.在在0 內(nèi)，求使內(nèi)，求使 成立的成立的的取值范圍的取

17、值范圍.23si n2a OxyP PM MP P1 1P P2 232y= 21sin xyoP1P2xyo T A210 30 例例4利用單位圓尋找適合下列條件的利用單位圓尋找適合下列條件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 3tan3 例例3.3.若若, ,試試比比較較的的大大小小. .0sin ,tan , 2. 解：如圖，在單位圓中，設(shè) AOP=（0，）,則AP=2PPMOAMAATOAOPT過點 作于，過點 作交的延長線于 ，.MPAT則角 的正弦線為，正切線為POAPOAAOT的面積扇形的面積的面積，1112

18、22OA MPOAOA AT，即MPAT.sintan .POxyMAT鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)例例1、54sin32sin 與與例例2.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。豪萌呛瘮?shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?4tan32tan 與與54sin32sin 54tan32tan 解：解： 如圖可知：如圖可知： AB oP2P1M2M1T例例3 3. .求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .( )2cos1f aa=-OxyP2MP112x=P 1.(0,2 )cossintanxxxx在內(nèi)使成立的 的取值范圍是( )3(,)44A53(,)42B3(,2 )2C37(,)24DCxyoMPAT32.(, )4若，則下列各式錯誤的是( )( )sincos0A( )sincos0B( )|sin| |cos|C( )sincos0DDsin0,cos0,|sin| |cos|分析：xyoy=-xPM 練習(xí)練習(xí)xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2 MP30sincos1,(,)24 PM3