結(jié)構(gòu)力學(xué)第七章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、第6章 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 2008年10月13日9時(shí)52分6-2 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移計(jì)算6-1 概述2008年10月13日9時(shí)52分1 1）計(jì)算所采用的理論）計(jì)算所采用的理論虛功原理虛功原理 復(fù)習(xí)一下以下概念：復(fù)習(xí)一下以下概念： 虛功虛功力在由其它原因產(chǎn)生的位移上所做的功。力在由其它原因產(chǎn)生的位移上所做的功。 其中：其中： 112PTF虛功虛功 虛功原理虛功原理剛體虛功原理剛體虛功原理變形體虛功原理變形體虛功原理Fp1Fp2121122AB122008年10月13日9時(shí)52分 剛體虛功原理：剛體虛功原理： 所有外力所做的虛功等于零，即：所有外力所做的虛功等于零，即： 0W外虛功原理虛功原理 虛

2、力原理虛力原理 虛位移原理虛位移原理 虛力原理虛力原理位移是真的，力是虛設(shè)的。用虛設(shè)力的位移是真的，力是虛設(shè)的。用虛設(shè)力的 辦法來求真實(shí)的位移。辦法來求真實(shí)的位移。 虛位移原理虛位移原理力是真的，位移是虛設(shè)的。用虛設(shè)位力是真的，位移是虛設(shè)的。用虛設(shè)位 移的辦法來求真實(shí)的力。移的辦法來求真實(shí)的力。 變形體虛功原理：變形體虛功原理：所有外力做的虛功所有外力做的虛功=所有內(nèi)力做的虛功，即：所有內(nèi)力做的虛功，即： WW外內(nèi)2008年10月13日9時(shí)52分很顯然求位移用的是虛功原理中的虛力原理很顯然求位移用的是虛功原理中的虛力原理 。 顯然支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移、制造誤差產(chǎn)生的位移應(yīng)顯然支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移、

3、制造誤差產(chǎn)生的位移應(yīng)該用剛體的虛力原理計(jì)算。荷載作用產(chǎn)生的位移、溫該用剛體的虛力原理計(jì)算。荷載作用產(chǎn)生的位移、溫度改變產(chǎn)生的位移應(yīng)該用變形菜體的虛力原理計(jì)算。度改變產(chǎn)生的位移應(yīng)該用變形菜體的虛力原理計(jì)算。 支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移剛體位移剛體位移 制造誤差產(chǎn)生的位移制造誤差產(chǎn)生的位移剛體位移剛體位移 荷載作用產(chǎn)生的位移荷載作用產(chǎn)生的位移變形體位變形體位移移溫度改變產(chǎn)生的位移溫度改變產(chǎn)生的位移變形體位移變形體位移2 2）靜定結(jié)構(gòu)位移的類型）靜定結(jié)構(gòu)位移的類型2008年10月13日9時(shí)52分支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移應(yīng)采用剛體的虛力原理來計(jì)算。支座移動(dòng)產(chǎn)生的位移應(yīng)采用剛體的虛力原理來計(jì)算。 例

4、：圖示簡支梁例：圖示簡支梁B支座往下位移了支座往下位移了 ，求由此產(chǎn)生的，求由此產(chǎn)生的A點(diǎn)轉(zhuǎn)角點(diǎn)轉(zhuǎn)角 。 A真實(shí)的位移狀態(tài)真實(shí)的位移狀態(tài) 虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài) 運(yùn)用剛體的虛功原理，運(yùn)用剛體的虛功原理，虛設(shè)的力狀態(tài)上的所有外虛設(shè)的力狀態(tài)上的所有外力在真實(shí)的位移狀態(tài)上所力在真實(shí)的位移狀態(tài)上所做的虛功應(yīng)該等于零，有：做的虛功應(yīng)該等于零，有： 110AL AL得：得：LM=1AB1/L2008年10月13日9時(shí)52分可以得出由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算公式如下：可以得出由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算公式如下： R c 其中：其中： R由虛設(shè)力產(chǎn)生的在有支座位移處的支座反力由虛設(shè)力產(chǎn)生的在有支座位移處的支座反

5、力 c 真實(shí)的支座位移真實(shí)的支座位移 例：圖示三鉸剛架例：圖示三鉸剛架A支座往下位移了支座往下位移了b，B支座往右位移支座往右位移 了了a，求，求C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 , 和和C點(diǎn)的相對轉(zhuǎn)角點(diǎn)的相對轉(zhuǎn)角 。 CVC（1）求）求C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 CV真實(shí)的位移狀態(tài)真實(shí)的位移狀態(tài) abL/2L/2LABC2008年10月13日9時(shí)52分12YAF 14XBF 在在C點(diǎn)作用一個(gè)豎向單位力，求出點(diǎn)作用一個(gè)豎向單位力，求出 和和 。 YAFXBF虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)11()2424CVbaba （2）求）求C點(diǎn)的相對轉(zhuǎn)角點(diǎn)的相對轉(zhuǎn)角 C 在在C點(diǎn)作用一對力矩，求出點(diǎn)作用一對力矩，求出

6、 和和 。 YAFXBFFp=1ABC2008年10月13日9時(shí)52分虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)1XBFL1()CaaLL 真實(shí)的位移狀態(tài)真實(shí)的位移狀態(tài) 0YAFABCLaL/2L/2bABCM=12008年10月13日9時(shí)52分力的大小力的大小 一般虛設(shè)單位力一般虛設(shè)單位力 。力的位置力的位置 作用在所求位移的點(diǎn)及方向上。作用在所求位移的點(diǎn)及方向上。 力的方向力的方向 隨意假設(shè)，若求出的位移是正的，說隨意假設(shè)，若求出的位移是正的，說 明位移與假設(shè)的方向一致。若是負(fù)的，明位移與假設(shè)的方向一致。若是負(fù)的， 說明與假設(shè)的方向相反說明與假設(shè)的方向相反 。力的性質(zhì)力的性質(zhì) 求線位移加單位集中力；求轉(zhuǎn)角加

7、單位求線位移加單位集中力；求轉(zhuǎn)角加單位 力矩；求二點(diǎn)的相對水平或豎向位移加力矩；求二點(diǎn)的相對水平或豎向位移加 一對相反的單位集中力；求二點(diǎn)相對轉(zhuǎn)一對相反的單位集中力；求二點(diǎn)相對轉(zhuǎn) 角要加一對單位力矩。角要加一對單位力矩。 2008年10月13日9時(shí)52分Fp=1求求C點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移求求B點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移Fp=1求求C點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移M=1Fp=1求求A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)相對豎向位移相對豎向位移Fp=1Fp=1Fp=1CBCAB求求A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)相對水平位移相對水平位移AB2008年10月13日9時(shí)52分M=1求求C點(diǎn)相對轉(zhuǎn)角位移點(diǎn)相對轉(zhuǎn)角位移求求CD桿相對轉(zhuǎn)角位移桿相對轉(zhuǎn)角位移Fp=1

8、/LFp=1/LC C D2008年10月13日9時(shí)52分制造誤差產(chǎn)生的位移采用剛體的虛力原理計(jì)算。制造誤差產(chǎn)生的位移采用剛體的虛力原理計(jì)算。 例：圖示桁架例：圖示桁架AC桿比要求的短了桿比要求的短了2cm,求由此產(chǎn)生的求由此產(chǎn)生的C 點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 。解：在解：在C C點(diǎn)作用一水平單位力，方向朝左，求出點(diǎn)作用一水平單位力，方向朝左，求出ACAC桿的桿的 內(nèi)力，令虛設(shè)的力到真實(shí)的位移上去做功，由虛功內(nèi)力，令虛設(shè)的力到真實(shí)的位移上去做功，由虛功 方程有方程有 ：真實(shí)的位真實(shí)的位移狀態(tài)移狀態(tài)虛設(shè)的力虛設(shè)的力狀態(tài)狀態(tài)-2cmbaABCFp=1CBA22008年10月13日9時(shí)52分1220CH

9、利用虛功方程利用虛功方程有：有：得：得：2 2CHcm例：圖示懸臂梁例：圖示懸臂梁C點(diǎn)由于制造誤差有一轉(zhuǎn)角點(diǎn)由于制造誤差有一轉(zhuǎn)角 ，求由，求由 此引起的此引起的B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移 。 BV解：虛設(shè)一力狀態(tài)：在解：虛設(shè)一力狀態(tài)：在B B點(diǎn)加一豎向單位力，求出點(diǎn)加一豎向單位力，求出C C點(diǎn)點(diǎn) 的彎矩，并把的彎矩，并把C C點(diǎn)的抗彎連系去掉，用彎矩點(diǎn)的抗彎連系去掉，用彎矩 表示。表示。CMbaBCAMc=aFp=1BCA2008年10月13日9時(shí)52分利用虛功方程有：利用虛功方程有： 10CBVM得：得： CBVM 由制造誤差引起的位移計(jì)算公式如下：由制造誤差引起的位移計(jì)算公式如下： NQFMF

10、 其中：其中： NFQFM虛設(shè)單位力作用下產(chǎn)生的軸力、虛設(shè)單位力作用下產(chǎn)生的軸力、 剪力和彎矩。剪力和彎矩。 正負(fù)號規(guī)定：虛內(nèi)力與變形方向一致為正，方向相反為負(fù)正負(fù)號規(guī)定：虛內(nèi)力與變形方向一致為正，方向相反為負(fù)。 制造產(chǎn)生的軸向變形、彎曲變制造產(chǎn)生的軸向變形、彎曲變 形和剪切變形。形和剪切變形。2008年10月13日9時(shí)52分例：圖示桁架例：圖示桁架DC桿短了桿短了2cm,FE桿短長了桿短長了3cm,求求C點(diǎn)的點(diǎn)的 豎向位移。豎向位移。 解：在解：在C C點(diǎn)作用一豎向單位力，求出點(diǎn)作用一豎向單位力，求出DCDC桿、桿、FEFE桿的桿的 軸力：軸力： 14NDCF516NFEF運(yùn)用位移計(jì)算公式有

11、：運(yùn)用位移計(jì)算公式有： 1572341616C Fp=1+3-24m34=12mABEDFCABEDFC2008年10月13日9時(shí)52分溫度作用產(chǎn)生的位移采用變形體的虛力原理計(jì)算溫度作用產(chǎn)生的位移采用變形體的虛力原理計(jì)算 。 計(jì)算公式推導(dǎo)：計(jì)算公式推導(dǎo)： 圖示簡支梁上下溫度不一樣圖示簡支梁上下溫度不一樣 ， 求由此起的求由此起的A點(diǎn)轉(zhuǎn)角點(diǎn)轉(zhuǎn)角 。 12ttA取出一微段，研究一下取出一微段，研究一下溫度所引起的變形。溫度所引起的變形。 微段發(fā)生的轉(zhuǎn)角為：微段發(fā)生的轉(zhuǎn)角為： 12t dst dstdsdhht2t1ABLds+t2+t1h1hh2+t0t0dst1dsdt2ds2008年10月13

12、日9時(shí)52分微段發(fā)生的軸向變形為：微段發(fā)生的軸向變形為： 0dt ds0t 桿件軸線處的溫度變化值桿件軸線處的溫度變化值 其中：其中：12ttt 桿件上下邊緣的溫度差值桿件上下邊緣的溫度差值溫度變化不會(huì)產(chǎn)生剪切變形。溫度變化不會(huì)產(chǎn)生剪切變形。真實(shí)的位移狀態(tài)真實(shí)的位移狀態(tài) 運(yùn)用變形體的虛功原理，所有外力所做的虛功等運(yùn)用變形體的虛功原理，所有外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功：于內(nèi)力所做的虛功： 虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài) t2t1LABLM=1AB2008年10月13日9時(shí)52分0NNtF dMdFt dsMdsh 有：有：若是結(jié)構(gòu)，則公式為：若是結(jié)構(gòu)，則公式為： 0NNtF dMdFt dsMds

13、h 若溫度沿桿長變化相同，且截面高度不變，則上式若溫度沿桿長變化相同，且截面高度不變，則上式可寫成：可寫成：00NMNttFt dsMdsthh 其中：其中：N 由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的軸力圖面積由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的軸力圖面積2008年10月13日9時(shí)52分M 由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的彎矩圖面積由虛設(shè)單位力產(chǎn)生的彎矩圖面積正負(fù)號的規(guī)定：虛力狀態(tài)中的變形與溫度改變產(chǎn)生的正負(fù)號的規(guī)定：虛力狀態(tài)中的變形與溫度改變產(chǎn)生的變形方向一致時(shí)，取正號，反之取負(fù)號。變形方向一致時(shí)，取正號，反之取負(fù)號。 例：圖示三鉸剛架，室內(nèi)溫度例：圖示三鉸剛架，室內(nèi)溫度 比原來升高了比原來升高了300，室外，室外 溫度沒有變化，求溫度沒有變

14、化，求C點(diǎn)的點(diǎn)的 豎向位移豎向位移 ，桿件的截桿件的截 面為矩形，高度面為矩形，高度h為常數(shù)，為常數(shù)， 材料的膨脹系數(shù)為材料的膨脹系數(shù)為 。CV10m5m5mABC+300002m2008年10月13日9時(shí)52分NF解：（解：（1）在）在C點(diǎn)作用一豎向單位力畫出點(diǎn)作用一豎向單位力畫出 和和 圖。圖。 M（2）運(yùn)用公式求）運(yùn)用公式求 CV0000300152t00030030t 15 0.5 10 20.38 5.38 230109600.20822.08 5.38211.22CVhh 0.2080.50.50.208Fp=12.082.082.082.08Fp=10.50.38FN圖圖ABCA

15、BCM1圖圖2008年10月13日9時(shí)52分荷載作用下的位移計(jì)算采用的是變形體的虛力原理。荷載作用下的位移計(jì)算采用的是變形體的虛力原理。 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式推導(dǎo)：結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式推導(dǎo)： 圖示懸臂梁微段圖示懸臂梁微段 發(fā)生了發(fā)生了 ds軸向變形軸向變形 剪切變形剪切變形 彎曲彎曲dd變形變形 ，求，求B點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。 d把微段的變形濃縮至把微段的變形濃縮至D點(diǎn)：點(diǎn)： 1 1）積分法）積分法 ddABC DdsDCddddDC2008年10月13日9時(shí)52分虛設(shè)一力狀態(tài)虛設(shè)一力狀態(tài) ：B點(diǎn)的豎向位移為：點(diǎn)的豎向位移為： NQBVdF dF dMd若整根梁上都有變形，則若整根

16、梁上都有變形，則B點(diǎn)的豎向變形為：點(diǎn)的豎向變形為： CVCVNQdF dF dMd 0NQFdsFdsM ds由材料力學(xué)可知由材料力學(xué)可知 ：PMEI0QPFkGANPFEA對結(jié)構(gòu)則有：對結(jié)構(gòu)則有： LLLQNQPNPPoookFFFFM MdsdsdsEIGAEA ABFP=12008年10月13日9時(shí)52分NPF其中其中: PMQPF 荷載作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩荷載作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩 剪力、軸力剪力、軸力 NF MQF 單位力作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩單位力作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩 剪力、軸力剪力、軸力 做題步驟做題步驟 ： （1 1）寫出結(jié)構(gòu)在荷載作用下每根桿子的彎矩、剪力、）寫出結(jié)構(gòu)在荷載作用下

17、每根桿子的彎矩、剪力、 軸力的方程；軸力的方程； （2 2）寫出結(jié)構(gòu)在虛設(shè)單位力作用下每根桿子的彎矩、）寫出結(jié)構(gòu)在虛設(shè)單位力作用下每根桿子的彎矩、 剪力、軸力的方程；剪力、軸力的方程； （3 3）代入公式）代入公式計(jì)算。計(jì)算。 2008年10月13日9時(shí)52分例：求圖示簡支梁中點(diǎn)例：求圖示簡支梁中點(diǎn)C的豎向位移的豎向位移 。CV解：（解：（1 1）取虛力狀態(tài)如圖：）取虛力狀態(tài)如圖： （2 2）寫出彎矩、剪力）寫出彎矩、剪力 的方程：的方程：02Lx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)12Mx12QF222PqqMLxx12QPFqLqL（3 3）計(jì)算）計(jì)算 CV22200111.22222222LLCVqqqLxLxxq

18、LdxdxEIGAFp=1C/CABL/2L/2 2 /L/2Lq kN m2008年10月13日9時(shí)52分4253848qLqLEIGA22200111.22222222LLCVqqqLxLxxqLdxdxEIGA（4）比較彎曲變形與剪切變形的影響）比較彎曲變形與剪切變形的影響 彎曲變形：彎曲變形： 45384MqLEI剪切變形：剪切變形： 28QqLGA兩者的比值：兩者的比值： 2211.522.56QMEIhGALL若高跨比為：若高跨比為： 110hL2.56%QM則：則：2008年10月13日9時(shí)52分 結(jié)論結(jié)論： 在計(jì)算受彎構(gòu)件時(shí)，若截面的高度遠(yuǎn)小于桿件的長在計(jì)算受彎構(gòu)件時(shí)，若截面的

19、高度遠(yuǎn)小于桿件的長度的話，一般可以不考慮剪切變形及軸向變形的影響。度的話，一般可以不考慮剪切變形及軸向變形的影響。 例：計(jì)算圖示剛架例：計(jì)算圖示剛架C點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移 CH和和C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角點(diǎn)的轉(zhuǎn)角 C，各桿的，各桿的EI為常數(shù)。為常數(shù)。 解：（解：（1 1）求）求 CH寫出桿件的寫出桿件的 方程方程 MPMBCBC桿：桿： 0M 212PMqx BABA桿：桿： Mx212PMqL LACBLEIEIqACBFP=12008年10月13日9時(shí)52分240124LCHqL xqLdxEIEI （2 2）求）求 C寫出桿件的寫出桿件的 方程方程 MPMBCBC桿：桿： 1M 212PMqx

20、BABA桿：桿： 1M 212PMqL 2230011112223LLCqxqLqLdxEIEIEIACBM=12008年10月13日9時(shí)52分各種靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式如下各種靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算公式如下: （1）梁、剛架）梁、剛架 只考慮彎曲變形只考慮彎曲變形 LPoM MdsEI （2）桁架）桁架 只有軸向變形只有軸向變形 NNPFFLEA （3）組合結(jié)構(gòu)）組合結(jié)構(gòu)受彎構(gòu)件只考慮彎曲變形受彎構(gòu)件只考慮彎曲變形 LNNPPoFFM MdsLEIEA 2008年10月13日9時(shí)52分（4）三鉸拱）三鉸拱 曲桿要考慮彎曲變形和軸向變形曲桿要考慮彎曲變形和軸向變形, 拉桿只有軸向變形拉桿只有軸向變

21、形 。1LLNNNPNPPooFFFFM MdsdsLEIEAEA 曲桿的積分計(jì)算可用數(shù)值計(jì)算代替曲桿的積分計(jì)算可用數(shù)值計(jì)算代替: 1NNNPNPPFFFFM MSSLEIEAEA 、PMMNPFNFEIEAS其中其中: :都取都取段上中點(diǎn)的值。段上中點(diǎn)的值。 2008年10月13日9時(shí)52分例：求圖示半徑為例：求圖示半徑為R的圓弧形曲梁的圓弧形曲梁B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 ， BV已知已知EI為常數(shù)。為常數(shù)。 解：取虛力狀態(tài)如下所示：解：取虛力狀態(tài)如下所示： 為求為求 PMM取取kBkB隔離體如下：隔離體如下： PPMFRSin1MRSin 20PBVFRSinRSinRdEI34PF R

22、EIpBOkFQkNkMkd dsORABFpkORABF =1p2008年10月13日9時(shí)52分受彎構(gòu)件的位移計(jì)算公式受彎構(gòu)件的位移計(jì)算公式: LPoM MdsEI 若若EI是常數(shù)就可提到積分號的外面是常數(shù)就可提到積分號的外面,上式就變?yōu)樯鲜骄妥優(yōu)? 1LPoM MdsEI PMM若若和和中有一個(gè)是直線圖中有一個(gè)是直線圖, ,如圖所示如圖所示:Mtgx代入上式有代入上式有: 1LPoMtgxdxEI tg是常數(shù)是常數(shù),可提到積分號的外面可提到積分號的外面x0yoC形心形心xy0 0ddxABM 圖圖AMP圖圖BxM2008年10月13日9時(shí)52分x0yoC形心形心ddxxy0 0ABM 圖圖

23、AMP圖圖BxMPM0 x是是圖對圖對Y Y軸的面積矩軸的面積矩, ,可寫成可寫成: : 0LPMxdx PM其中其中: : -是是圖的面積圖的面積 0 xPM-是是圖的形心到圖的形心到Y(jié) Y軸的距離軸的距離 有有: 01tgxEI 令令: : 00tgxy01yEI 得：得：0yPM-是是圖形心位置所對應(yīng)圖形心位置所對應(yīng)M圖中的豎標(biāo)圖中的豎標(biāo) 的的2008年10月13日9時(shí)52分圖乘法應(yīng)用的前提：圖乘法應(yīng)用的前提： 桿件的桿件的EIEI是常數(shù)；是常數(shù)； 桿件是直桿；桿件是直桿；PMM的圖形至少有一個(gè)是直線圖形。的圖形至少有一個(gè)是直線圖形。 兩個(gè)直線圖形的圖乘公式：兩個(gè)直線圖形的圖乘公式： (

24、22)6LacbdadbcEI 上述公式的適用所有直線上述公式的適用所有直線圖形的情況。圖形的情況。 w2w1bacdy2y1A BL2008年10月13日9時(shí)52分上述圖乘公式適用所有直線圖形的情況上述圖乘公式適用所有直線圖形的情況，例：例： 2008年10月13日9時(shí)52分23hll/2l/2h2hlabh(l+b)/3(l+a)/3頂點(diǎn)頂點(diǎn)hl/43l/43l/85l/823hl 123hl h頂點(diǎn)頂點(diǎn)2l/53l/5l/54l/524hl 134hl 2hl h2l/3l/3l幾種圖形的面積及形心幾種圖形的面積及形心2008年10月13日9時(shí)52分復(fù)雜圖形的處理：復(fù)雜圖形的處理：+=+

25、=2008年10月13日9時(shí)52分例：求例：求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)的點(diǎn)的 豎向位移。豎向位移。 解解：（：（1）求）求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角點(diǎn)的轉(zhuǎn)角30061130023A （2）求）求C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移300 6262232645 366603CV CAB20kN10kN/m6m6m6Fp=1MC圖圖1M=1MA圖圖30045MP圖圖2008年10月13日9時(shí)52分例：求圖示三鉸剛架例：求圖示三鉸剛架C點(diǎn)的點(diǎn)的 相對轉(zhuǎn)角。相對轉(zhuǎn)角。解：荷載作用下的彎矩圖和虛解：荷載作用下的彎矩圖和虛 設(shè)力作用下的彎矩圖如圖設(shè)力作用下的彎矩圖如圖 所示。所示。B20kN/mACED8m6m2mAEDBAED

26、B12012040403/43/41MC圖圖Mp圖圖M=12008年10月13日9時(shí)52分112062620622 120120 12238681220 167202388CEIEIEI 3/43/41AEDB1201204040Mp圖圖AEDBMC圖圖M=12008年10月13日9時(shí)52分 本節(jié)介紹線性變形體系的四個(gè)互等定理，其中最基本節(jié)介紹線性變形體系的四個(gè)互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三個(gè)定理均可由此推導(dǎo)出來。本的是功的互等定理，其它三個(gè)定理均可由此推導(dǎo)出來。 1) 1) 功的互等定理功的互等定理 設(shè)有兩組外力設(shè)有兩組外力F FP P1 1和和F FP P2 2分別作用于同一

27、線彈性結(jié)構(gòu)上，分別作用于同一線彈性結(jié)構(gòu)上，如圖所示，如圖所示，(a)(a)、(b)(b)分別稱為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)和第二狀分別稱為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。態(tài)。(a) 第一狀態(tài)第一狀態(tài) FP1121121(b) 第二狀態(tài)第二狀態(tài) FP21 212222008年10月13日9時(shí)52分11111122221122PPPWFFF 這兩組力按不同次序先后作用于同一結(jié)構(gòu)上時(shí)所作這兩組力按不同次序先后作用于同一結(jié)構(gòu)上時(shí)所作的總功分別為：的總功分別為：(1)(1)先加先加F FP P1 1后加后加F FP P2 2，外力的總功，外力的總功(2)(2)先加先加F FP2P2后加后加F FP1P1，外力的總功，外力

28、的總功22222211111122PPPWFFF(a) 第一狀態(tài)第一狀態(tài)FP1121121(b) 第二狀態(tài)第二狀態(tài)FP21 212222008年10月13日9時(shí)52分功的互等定理功的互等定理: : 即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。作的虛功。112221 (a)PPFF 外力所作總功與加載次序無關(guān)，外力所作總功與加載次序無關(guān)， 即：即：W1 = W2 由由1、2可得：可得：2008年10月13日9時(shí)52分在功的互等定理中，令：在功的互等定理中，令：FP

29、1 =FP2 =1由功的互等定理式（由功的互等定理式（a a）則有：）則有：122111 1221 (b)即：即：(a) 第一狀態(tài)第一狀態(tài) FP111221(b) 第二狀態(tài)第二狀態(tài) FP211 2122008年10月13日9時(shí)52分位移互等定理位移互等定理: : 即第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿即第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)其方向上的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移。單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移。在位移互等定理中：在位移互等定理中： 單位力單位力廣義力（單位力偶、單位集中力）；廣義力（單位力偶、

30、單位集中力）； 位位 移移廣義位移（線位移、角位移）。廣義位移（線位移、角位移）。2008年10月13日9時(shí)52分 左圖分別表示二種狀態(tài)，左圖分別表示二種狀態(tài)，即支座即支座1發(fā)生單位位移發(fā)生單位位移11時(shí)，時(shí)，使支座使支座2產(chǎn)生的反力產(chǎn)生的反力k21；另一；另一種即為支座種即為支座2發(fā)生單位位移發(fā)生單位位移21時(shí)，使支座時(shí)，使支座1產(chǎn)生的反力產(chǎn)生的反力k12。反力互等定理也是功的互等定理的一個(gè)特例。反力互等定理也是功的互等定理的一個(gè)特例。 (a) 第一狀態(tài)第一狀態(tài) k k21211112(b) 第二狀態(tài)第二狀態(tài)21k k12122008年10月13日9時(shí)52分 左圖分別表示二種狀態(tài)，左圖分別表示二種狀