空間解析幾何復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、2021/6/161（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)向量的表示向量的表示方向余弦方向余弦內(nèi)積內(nèi)積外積外積混合積混合積2021/6/162向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法2021/6/163222|zyxaaaa 向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222

2、coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式)1coscoscos(222 2021/6/1644 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角(點(diǎn)積、內(nèi)積點(diǎn)積、內(nèi)積)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式2021/6/1655 5、向量積、向量積 sin|bac 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符

3、合，指向符合右手系右手系.(叉積、外積叉積、外積)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 2021/6/166zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合積、混合積2021/6/167 重點(diǎn) 1-2，1-4，1-52021/6/168（二）直線和平面方程（二）直線和平面方程平面方程平面方程直線方程直線方程平面與直線位置關(guān)系平面與直線位置關(guān)系距離、夾角距離、夾角異面直線異面直線平面束平面束2021/6/169平面的平面的點(diǎn)位式方程點(diǎn)位式

4、方程0001112220 xxyyzzXYZXYZ0 DCzByAx平面的平面的一般方程一般方程 0000 zzZyyYxxX已知一個(gè)平面過(guò)空間中的一點(diǎn)已知一個(gè)平面過(guò)空間中的一點(diǎn) 且其法向量為且其法向量為 則平面的則平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程為：為： ZYXn, 0000,zyxM2021/6/1610pzznyymxx000 直線的對(duì)稱(chēng)式方程直線的對(duì)稱(chēng)式方程 ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程2021/6/1611平面與直線位置關(guān)系平面與直線位置關(guān)系 直線與平面平行直線與平面平行 平

5、面與平面平行平面與平面平行 兩直線異面的判定兩直線異面的判定2021/6/1612平面束平面束 定理定理2.3.1 設(shè)兩個(gè)平面設(shè)兩個(gè)平面交于一條直線交于一條直線 ，則以，則以 為軸的為軸的共軸平面束方共軸平面束方程程是是 其中其中 是不全為零的任意實(shí)數(shù)是不全為零的任意實(shí)數(shù).1111122222:0,:0A xB yC zDA xB yC zD111122220,Ax By Cz DAx B y Cz D, l適用于求過(guò)已知直線的平面方程適用于求過(guò)已知直線的平面方程2021/6/1613距離、夾角距離、夾角點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離0.M Md vv2021/6/1614 兩異面直線之間的距離

6、121212,.M Md v vvv2021/6/16150111111 ZYXZYXzzyyxx0222222 ZYXZYXzzyyxx公垂線方程公垂線方程異面直線異面直線2021/6/1616例例2.4.5 試求直線試求直線在平面在平面 上的射影直線方程，并求上的射影直線方程，并求 與與 的夾角的夾角.解解 直線直線 的方向向量為的方向向量為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取為 又平面又平面 的法向量的法向量 依公式依公式(2.4.9)，直線，直線 與平面與平面 的夾角的夾角 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 10,:10 xyzlxyz :0 xyzll 1,1, 11, 1,12 0,1,1 l6sin.3n v

7、n v6arcsin.3所以所以1,1,1 .v1,1,1 .n下面求直線下面求直線 在平面在平面 上的射影直線方程上的射影直線方程.l2021/6/1617 以直線以直線 為軸的平面束方程為為軸的平面束方程為 即即在平面束中找一個(gè)平面與平面在平面束中找一個(gè)平面與平面 垂直，那么依兩平面垂垂直，那么依兩平面垂直的條件，有直的條件，有解得解得 ，于是經(jīng)過(guò)直線，于是經(jīng)過(guò)直線 且與平面且與平面 垂直的平垂直的平面方程為面方程為所求的射影直線方程為所求的射影直線方程為l110,xyzxyz0,xyz 1110, :1:1 l10,yz 0,10.xyzyz 2021/6/1618 重點(diǎn)、難點(diǎn) 2-42

8、021/6/1619（三）常見(jiàn)的曲面（三）常見(jiàn)的曲面柱面方程柱面方程錐面方程錐面方程 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程曲線族生成的曲面曲線族生成的曲面直紋曲面直紋曲面2021/6/1620柱面由它的柱面由它的準(zhǔn)線和母線方向準(zhǔn)線和母線方向所確定所確定柱面方程柱面方程2021/6/1621,.xxyyzzlmnF x y zG x y z 圖圖3.12021/6/1622.錐面由它的錐面由它的準(zhǔn)線和頂點(diǎn)準(zhǔn)線和頂點(diǎn)所確定所確定錐面方程錐面方程2021/6/1623 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 不是頂點(diǎn)不是頂點(diǎn) ,則點(diǎn)則點(diǎn) 在錐面上當(dāng)且僅當(dāng)由在錐面上當(dāng)且僅當(dāng)由點(diǎn)點(diǎn) 與與 所確定的直線必與準(zhǔn)線所確定的直線必與準(zhǔn)線 相交于某點(diǎn)相交

9、于某點(diǎn) ,因此因此(3.2.3), ,P x y z,P x y z,.xxyyzzxxyyzzF x y zG x y z 0P0PPP.2021/6/1624旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程2021/6/1625 點(diǎn)點(diǎn) 當(dāng)且僅當(dāng)存在點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)存在點(diǎn) ,使得點(diǎn)使得點(diǎn) 位于過(guò)點(diǎn)位于過(guò)點(diǎn) 的的緯圓緯圓上上, 因此有因此有從上述方程組中消去從上述方程組中消去 ,便得到旋轉(zhuǎn)曲面便得到旋轉(zhuǎn)曲面 的一般的一般方程方程.P x,y,zS1111P x ,y ,z(3.3.1)222222000101010111111111,0,0,0.xxyyzzxxyyzzl xxm yyn zzF x ,y ,zG x ,y

10、 ,zP1P111,x y zSP1P0OXYZ2021/6/1626五種常見(jiàn)的二次曲面五種常見(jiàn)的二次曲面1222222Czbyax1222222 czbyax1222222 czbyaxzqypx 2222zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq2021/6/162722=164xyz3241=0 xyz習(xí)題習(xí)題4在雙曲拋物面在雙曲拋物面 上上, 試求平行于平試求平行于平面面 的直母線方程的直母線方程. 解解 族直母線族直母線 的方向向量為的方向向量為依題意依題意,于是于是 是所求的一條直母線是所求的一條直母線.,4242xyxyz1 1,.2 44113240,244 21211xy

11、z42212xyz2(此時(shí)此時(shí) ).同法可求出屬同法可求出屬于于 族的另一條直母線為族的另一條直母線為直紋曲面直紋曲面2021/6/1628 解解 在已知二直線上分別取點(diǎn)在已知二直線上分別取點(diǎn) 和和 其中其中 是參數(shù)，于是動(dòng)直線方程為是參數(shù)，于是動(dòng)直線方程為因直線因直線(3.4.8)與已知雙曲線相交，令與已知雙曲線相交，令 ,有有故得故得 ，代入，代入 中得中得 ( , , )c( , ,)c, (3.4.8).xyzccxy ,xyxyc . c0z ,(3.4.9),yzc ,()xzc c ,xycz 例例3.4.7 求與兩直線求與兩直線 與與 均均相交，且與雙曲線相交，且與雙曲線 也相交的動(dòng)直線所產(chǎn)生也相交的動(dòng)直線所產(chǎn)生的曲面方程的曲面方程.消去參數(shù)即得所求曲面方程為消去參數(shù)即得所求曲面方程為.zxyc曲線族生成曲面曲線族生成曲面2021/6/1629重點(diǎn)柱面方程柱面方程錐面方程錐面方程 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程曲線族生成的曲面曲線族生成的曲面直紋曲面直紋曲面五種常見(jiàn)的二次曲面五種常見(jiàn)的二次曲面2021/6/1630（四）二次曲面的一般理論（四）二次曲面的一般理論坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換利用旋轉(zhuǎn)變換和平移（繞軸旋轉(zhuǎn)）化簡(jiǎn)利用旋轉(zhuǎn)變換和平移（繞軸旋轉(zhuǎn)）化簡(jiǎn)二次曲面的方程二次曲面的方程 2021/6/1631坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換11