第二章邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ)(1)

1、第二章第二章 邏輯代數(shù)與硬件描述語言邏輯代數(shù)與硬件描述語言基礎(chǔ)基礎(chǔ)12.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) 2.2 邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法的卡諾圖化簡(jiǎn)法 目錄目錄22.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)。它是分析和設(shè)計(jì)現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不它是分析和設(shè)計(jì)現(xiàn)代數(shù)字邏輯電路不可缺少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，用可缺少的數(shù)學(xué)工具。邏輯代數(shù)有一系列的定律、定理和規(guī)則，用于對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行處理，以完成對(duì)邏輯電路的化簡(jiǎn)、變換、分于對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行處理，以完成對(duì)邏輯電路的化簡(jiǎn)、變換、分析和設(shè)計(jì)。析和設(shè)計(jì)。 邏輯關(guān)系指的是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。邏輯關(guān)系指的

2、是事件產(chǎn)生的條件和結(jié)果之間的因果關(guān)系。在數(shù)在數(shù)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號(hào)，而結(jié)果用輸出信號(hào)字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號(hào)，而結(jié)果用輸出信號(hào)表示。條件和結(jié)果的兩種對(duì)立狀態(tài)分別用邏輯表示。條件和結(jié)果的兩種對(duì)立狀態(tài)分別用邏輯“1” 和和“0”表示。表示。3 算術(shù)運(yùn)算：兩個(gè)表示數(shù)量大小的二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算：兩個(gè)表示數(shù)量大小的二進(jìn)制數(shù)碼之間進(jìn)行的數(shù)值運(yùn)算。數(shù)碼之間進(jìn)行的數(shù)值運(yùn)算。 邏輯運(yùn)算：兩個(gè)表示不同邏輯狀態(tài)的二邏輯運(yùn)算：兩個(gè)表示不同邏輯狀態(tài)的二進(jìn)制數(shù)碼進(jìn)制數(shù)碼0,1之間按照某種因果關(guān)系進(jìn)行之間按照某種因果關(guān)系進(jìn)行的運(yùn)算。的運(yùn)算。4基本公式、定律、常用規(guī)則基本公式、定律、常用規(guī)則 基本

3、公式基本公式 常量與常量的關(guān)系常量與常量的關(guān)系 邏輯乘邏輯乘 ； 加加 ； 非非 ； 常量與變量的關(guān)系常量與變量的關(guān)系 自等律自等律 ； 0-10-1律律 ； 互補(bǔ)律互補(bǔ)律 ；0 000 101110000 1 1 1 11 01100AA； 1AA11A ； 00A1AA；0A A 基本定律基本定律 交換律；交換律；AB=BA； A+B=B+A 結(jié)合律結(jié)合律 (A+B)+C=A+(B+C)； (AB)C=A(BC) 分配律分配律 A(B+C)=AB+AC； A+BC=(A+B)(A+C) 邏輯代數(shù)特殊定律邏輯代數(shù)特殊定律 重疊律重疊律 AA=A ； A+A=A 反演律（摩根定律）反演律（摩根

4、定律） 還原律還原律 ABABABA BAA例證：例證：A+BC=(A+B)(A+C)證證:右式右式=AA+AC+AB+BC =A+AC+AB+BC =A(1+C+B)+BC=A+BC=左式左式例證：例證： ,證明：用真值表證明：用真值表 A B 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 ABABABA BABABABA B7ABACBCABAC證明：證明：()ABACBCABACAA BC1吸收吸收證明冗余律證明冗余律CAABBCAABCCAAB推廣之：推廣之：CAABBCCAABBCD (G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB吸收

5、吸收8同或和異或同或和異或 真值表真值表 結(jié)論：偶數(shù)個(gè)變量的結(jié)論：偶數(shù)個(gè)變量的異或和同或是互反的，異或和同或是互反的，奇數(shù)個(gè)變量的異或和奇數(shù)個(gè)變量的異或和同或是相等的。同或是相等的。 從真值表可見，兩個(gè)從真值表可見，兩個(gè)變量的異或和同或是變量的異或和同或是互反的互反的 A BA B A BA B9f (A1, A2, , An)f (A1, A2, , An)1任何一個(gè)含有變量任何一個(gè)含有變量A A的邏輯等式，如果將所的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)有出現(xiàn)A A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F F，則等則等式仍然成立。式仍然成立。例如：給定邏輯等式例如：給定邏輯等式A(B+

6、C)=AB+AC，若用若用A+BC代替代替A，則該等式仍然成立，即：則該等式仍然成立，即： (A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C 由式由式 (A+A=1) ，故，故同樣有等式：同樣有等式：二、基本規(guī)則二、基本規(guī)則代入規(guī)則代入規(guī)則10反演規(guī)則反演規(guī)則例：例： 已知已知 ，根據(jù)反演規(guī)則可根據(jù)反演規(guī)則可得到得到: 如果將邏輯函數(shù)如果將邏輯函數(shù)F中所有的中所有的“ ”變成變成“+”；“+”變成變成“ ”； “0”變成變成“1”； “1”變成變成“0”； 原變量變成反變量；反變量變成原變量；所原變量變成反變量；反變量變成原變量；所得到的新函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù)得到的新函數(shù)是原函數(shù)的反函數(shù)

7、 。 即即: “ ”, “+”, “0” , “1”, “原變量原變量”, “反變量反變量”“+” , “ ” , “1” , “0”, “反變量反變量”, “原變量原變量”FABCD() ()FABCD11例：已知例：已知(),FABCDE則()FA BC DEFA BC DE例：已知例：已知 FABABCBC則() () ()FABABCBC長(zhǎng)非號(hào)不變長(zhǎng)非號(hào)不變與變或時(shí)要與變或時(shí)要加括號(hào)加括號(hào) 使用反演規(guī)則時(shí)使用反演規(guī)則時(shí), , 應(yīng)注意保持原函式中運(yùn)算符應(yīng)注意保持原函式中運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序不變號(hào)的優(yōu)先順序不變: : “先括號(hào)后乘、加先括號(hào)后乘、加” 不屬于單個(gè)變量的反號(hào)應(yīng)保留不變。不屬于單

8、個(gè)變量的反號(hào)應(yīng)保留不變。12 對(duì)偶規(guī)則對(duì)偶規(guī)則如果將邏輯函數(shù)如果將邏輯函數(shù)F中所有的中所有的“ ”變成變成“+”； “+”變成變成“ ”；“0”變成變成“1”； “1”變成變成“0”； 則所得到的新邏輯函數(shù)是則所得到的新邏輯函數(shù)是F的對(duì)偶式的對(duì)偶式F。如果如果F是是F的對(duì)偶式，則的對(duì)偶式，則F也是也是F 的對(duì)偶式，即的對(duì)偶式，即F與與F互為互為對(duì)偶式。對(duì)偶式。即即: “ ”, “+”, “0” , “1”, “變量變量”“+” , “ ” , “1” , “0”, 不變不變例例:0FABC(1)FA BC求某一函數(shù)求某一函數(shù)F F的對(duì)偶式時(shí)，同樣要注意保持原函數(shù)的對(duì)偶式時(shí)，同樣要注意保持原函數(shù)

9、的運(yùn)算順序不變。的運(yùn)算順序不變。13對(duì)偶定理：若兩個(gè)邏輯函數(shù)對(duì)偶定理：若兩個(gè)邏輯函數(shù)F和和G相等，則其相等，則其對(duì)偶式對(duì)偶式F 和和G也相等。也相等。例例: 證明冗余律：證明冗余律：(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B) (A+C)證證: 已知已知 AB A CBC=ABAC等式兩邊求對(duì)偶：等式兩邊求對(duì)偶：(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B) (A+C)()ABCABACBCABAB CABABC例：例：() () ()()ABACBCABC則則14基本公式中的公式基本公式中的公式l l和公式和公式2 2就互為對(duì)偶式就互為對(duì)偶式15邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法 同一個(gè)邏輯

10、函數(shù)可以有多種表達(dá)形式，一種形式的同一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種表達(dá)形式，一種形式的表達(dá)式，對(duì)應(yīng)一種電路，盡管它們的形式不同，但實(shí)表達(dá)式，對(duì)應(yīng)一種電路，盡管它們的形式不同，但實(shí)現(xiàn)的邏輯功能相同，所以在實(shí)現(xiàn)某種函數(shù)的電路時(shí)，現(xiàn)的邏輯功能相同，所以在實(shí)現(xiàn)某種函數(shù)的電路時(shí)，重要的是如何處理函數(shù)，以盡量少的單元電路、以及重要的是如何處理函數(shù)，以盡量少的單元電路、以及電路類型來達(dá)到目的。電路類型來達(dá)到目的?；?jiǎn)的意義：電路簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)的意義：電路簡(jiǎn)單 邏輯關(guān)系明顯邏輯關(guān)系明顯化簡(jiǎn)的方法：化簡(jiǎn)的方法： 代數(shù)化簡(jiǎn)法（公式法）代數(shù)化簡(jiǎn)法（公式法） 卡諾圖化簡(jiǎn)法卡諾圖化簡(jiǎn)法 16該方法運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則該方法

11、運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)、變換而進(jìn)行化簡(jiǎn)，沒有對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)、變換而進(jìn)行化簡(jiǎn)，沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對(duì)公理、定固定的步驟可以遵循，主要取決于對(duì)公理、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運(yùn)用的程度。理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運(yùn)用的程度。有時(shí)有時(shí)很難判定結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。很難判定結(jié)果是否為最簡(jiǎn)。 17基本表達(dá)形式基本表達(dá)形式 按邏輯函數(shù)表達(dá)式中乘積項(xiàng)的特點(diǎn)以及各乘積按邏輯函數(shù)表達(dá)式中乘積項(xiàng)的特點(diǎn)以及各乘積項(xiàng)之間的關(guān)系，可分項(xiàng)之間的關(guān)系，可分5種一般形式。種一般形式。例：例：FABACABACAB AC() () ABACAAA CABB CABA C ()()AB A C

12、AB AC()()ABACABAC與或式與或式與非與非式與非與非式與或非式與或非式或與式或與式或非或非式或非或非式181） 表達(dá)式中表達(dá)式中與項(xiàng)與項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少；的個(gè)數(shù)最少；2） 在滿足在滿足1）的前提下）的前提下, 每個(gè)每個(gè)與項(xiàng)與項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)最少。中的變量個(gè)數(shù)最少。FACABCACDCD化簡(jiǎn)例例：()()FA CBCC ADD()()A CBC ADACABACCD()A CCABCD1A(B)CDACDAABAB解：解：函數(shù)表達(dá)式一般化簡(jiǎn)成函數(shù)表達(dá)式一般化簡(jiǎn)成與或式與或式，其最簡(jiǎn)應(yīng)滿足的兩，其最簡(jiǎn)應(yīng)滿足的兩個(gè)條件：個(gè)條件：19()()LAB DDABDABD CC= ABABDABD()A

13、BAB DDABABABABAB AB LABDA B DABDA B CDA BCD例例 已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為，要求：（要求：（1）最簡(jiǎn)的與）最簡(jiǎn)的與-或邏輯函數(shù)表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；或邏輯函數(shù)表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡(jiǎn)表達(dá)式的邏輯圖。）僅用與非門畫出最簡(jiǎn)表達(dá)式的邏輯圖。解：解：2021最簡(jiǎn)與最簡(jiǎn)與-或表達(dá)式的邏輯圖或表達(dá)式的邏輯圖（包含與門，或門，非門（包含與門，或門，非門三種類型的門）三種類型的門）11AB&1LABBAAB&LBA&AB&使用與非門的等效邏輯圖使用與非門的等效邏輯圖（僅用到兩輸入端和與非門）（僅用到兩輸入端和與非門）通

14、常在一片集成電路器件內(nèi)部有多個(gè)同類型的門電路，所通常在一片集成電路器件內(nèi)部有多個(gè)同類型的門電路，所以利用摩根定理對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變換，可以減少門以利用摩根定理對(duì)邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變換，可以減少門電路的種類和集成電路的數(shù)量，具有一定的實(shí)際意義。電路的種類和集成電路的數(shù)量，具有一定的實(shí)際意義。常用方法常用方法 并項(xiàng)法并項(xiàng)法：運(yùn)用公式：運(yùn)用公式 ，消去多余項(xiàng)，消去多余項(xiàng) 吸收法吸收法：利用公式：利用公式 消項(xiàng)法消項(xiàng)法：利用公式：利用公式 消因子法消因子法：利用公式：利用公式 ，消去多余因子，消去多余因子 配項(xiàng)法配項(xiàng)法： 1AAAABAABACBCABACAABAB0A AAAA()A BBA22

15、FABACBCBCBDBD化簡(jiǎn)例例： ()FABCBCBCBDBDADE FG解解：()ADE FG()ABCBCBDBDADE FGABCBCBDBD()()ABC DDBCBDBD CCABCDBCDBCBDBCDBCDACDBDBCAABAB23例：例： FABA B BCB C()ABABBCBC（）反演反演ABABCABCABCABCBC被吸收被吸收被吸收被吸收()ABAC BBBCABACBC()()ABAB CCBC AABC配項(xiàng)配項(xiàng)24 解法解法1 1：（利用（利用 ） 解法解法2 2： 例：例：LABBCBCABLABBCBCABABBCBCABACABBCABACBCABA

16、C（增加冗余項(xiàng)（增加冗余項(xiàng) ）（消去（消去1 1個(gè)冗余項(xiàng)個(gè)冗余項(xiàng) ）（再消去（再消去1 1個(gè)冗余項(xiàng)）個(gè)冗余項(xiàng)）ABACBCABACLABBCBCABABBCBCABACABBCABACABBCAC（增加冗余項(xiàng)（增加冗余項(xiàng) ）（消去（消去1 1個(gè)冗余項(xiàng)個(gè)冗余項(xiàng) ）（再消去（再消去1 1個(gè)冗余項(xiàng)）個(gè)冗余項(xiàng)）25 由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果不是唯一的。由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果不是唯一的。代數(shù)化簡(jiǎn)法代數(shù)化簡(jiǎn)法: : 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): :不受變量數(shù)目的限制。不受變量數(shù)目的限制。 缺點(diǎn)：沒有固定的步驟可循；與普通代數(shù)的公式缺點(diǎn)：沒有固定的步驟可循；與普通代數(shù)的公式易混淆，需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在

17、化簡(jiǎn)易混淆，需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在化簡(jiǎn)一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)還需要一定的技巧和一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)還需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；有時(shí)很難判定化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)。經(jīng)驗(yàn)；有時(shí)很難判定化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)。 用卡諾圖法化簡(jiǎn)用卡諾圖法化簡(jiǎn), ,直觀易掌握直觀易掌握262.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法最小項(xiàng)最小項(xiàng)定義：在定義：在n變量變量邏輯函數(shù)中，若邏輯函數(shù)中，若m為為包含包含n個(gè)個(gè)因子的乘積項(xiàng)因子的乘積項(xiàng)，而且這，而且這n個(gè)變量均個(gè)變量均以原變量以原變量或反變量的形式在或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次中出現(xiàn)一次，則稱，則稱m為為該組變量的該組變量的最小項(xiàng)，最小項(xiàng)，也叫標(biāo)準(zhǔn)積也叫標(biāo)準(zhǔn)

18、積。27若兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰若兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性性。例：。例： 和和 ，這兩個(gè)最小項(xiàng)相加時(shí)能合并，并可，這兩個(gè)最小項(xiàng)相加時(shí)能合并，并可消去消去1 1個(gè)因子。個(gè)因子。 ABC0000m 00011m 10102m 20113m 31004m 41015m 51106m 61117m 7編號(hào)對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù) 最小項(xiàng)使最小項(xiàng)為1 的變量取值CBACBACBABCACBACBACABABCABCABC()ABCABCBC AABC例：三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表例：三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表28 最小項(xiàng)的性質(zhì)最小項(xiàng)的性質(zhì)（1） 對(duì)于輸入變量的任何一組

19、取值，有且只有一個(gè)最小項(xiàng)對(duì)于輸入變量的任何一組取值，有且只有一個(gè)最小項(xiàng)的值為的值為1。（2） 對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。（3） 全體最小項(xiàng)之和為全體最小項(xiàng)之和為1。（4）具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并為一項(xiàng)并消去）具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并為一項(xiàng)并消去一個(gè)因子一個(gè)因子 （5）n變量的最小項(xiàng)變量的最小項(xiàng)有有n個(gè)相鄰項(xiàng)個(gè)相鄰項(xiàng)。 注意注意：不說明變量數(shù)目的最小項(xiàng)是沒有意義的：不說明變量數(shù)目的最小項(xiàng)是沒有意義的 。5174: (3) ;A ;B ;CmA B CmA B CmA B CmA B C例 三變量最小項(xiàng)其鄰項(xiàng)有

20、項(xiàng) ：取反取反取反29邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 假如一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)的假如一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)的和和組成組成, , 那么該函數(shù)表達(dá)那么該函數(shù)表達(dá)式稱為式稱為最小項(xiàng)表達(dá)式最小項(xiàng)表達(dá)式。 任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)之和的形任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)之和的形式。式。先將邏輯函數(shù)寫成與或表達(dá)式，先將邏輯函數(shù)寫成與或表達(dá)式，然后在不是最小項(xiàng)的乘積項(xiàng)中乘以然后在不是最小項(xiàng)的乘積項(xiàng)中乘以 補(bǔ)齊所補(bǔ)齊所缺變量因子即可缺變量因子即可1AA30=m2+ m3+ m6+ m7注意注意：變量的順序：變量的順序. .(,)F A B CABCABCABCABC最 小

21、項(xiàng) 表 達(dá) 式= m(2, 3, 6, 7)( , ,)F A B CABCABCABCABC：例例如如31最小項(xiàng)表達(dá)式的求法最小項(xiàng)表達(dá)式的求法一般表達(dá)式：一般表達(dá)式： 除非號(hào)除非號(hào)去括號(hào)去括號(hào)補(bǔ)因子補(bǔ)因子真值表真值表:()FABCABAB例 ()()ABCABABAB C ABABABCABAB ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm除非號(hào)除非號(hào)去括號(hào)去括號(hào)補(bǔ)因子補(bǔ)因子方法方法與或式32 用真值表求用真值表求最小項(xiàng)表達(dá)式最小項(xiàng)表達(dá)式例：函數(shù)例：函數(shù) F=AB + AC A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0

22、 01 0 11 1 01 1 11111其其余余補(bǔ)補(bǔ)000001345 (1,3,4,5)Fmmmmm 任何一個(gè)邏輯函數(shù)經(jīng)過變換，都能表示成唯一的最小項(xiàng)表達(dá)式！33 由一般表達(dá)式直接寫出最小項(xiàng)表達(dá)式由一般表達(dá)式直接寫出最小項(xiàng)表達(dá)式例：函數(shù)例：函數(shù) F=AB + AC 所以所以: F=m(1,3,4,5)45130:C01,:1 0 ,1 m m 0 ACB01,:0 1,1 m m AB分析項(xiàng)中 可取 或 即最小項(xiàng)編號(hào)為故含最小項(xiàng)和。項(xiàng)中 可取 或 即最小項(xiàng)編號(hào)為故含最小項(xiàng)和。342.2.3 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 由于任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為若干最小項(xiàng)之由于任何一個(gè)邏

23、輯函數(shù)都可以表示為若干最小項(xiàng)之和的形式，因此，也就可以用卡諾圖來表示任意一和的形式，因此，也就可以用卡諾圖來表示任意一個(gè)邏輯函數(shù)。個(gè)邏輯函數(shù)。 將將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。變量的卡諾圖。 卡諾圖化簡(jiǎn)基本原理：利用代數(shù)法中的并項(xiàng)法原則，卡諾圖化簡(jiǎn)基本原理：利用代數(shù)法中的并項(xiàng)法原則，即即 ，消去一個(gè)變量。這種方法能直接得到最消去一個(gè)變量。這種方法能直接得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式和最簡(jiǎn)或與表達(dá)式，并且其化簡(jiǎn)技

24、巧簡(jiǎn)與或表達(dá)式和最簡(jiǎn)或與表達(dá)式，并且其化簡(jiǎn)技巧相對(duì)公式化簡(jiǎn)法更容易掌握。相對(duì)公式化簡(jiǎn)法更容易掌握。1AA35361、一變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、一變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖一變量一變量L = F（D），），LDDL01m0全部最小項(xiàng)：全部最小項(xiàng)： D，D卡諾圖：m1D37L00011110C DC DC DC D00011110Lm0m1m3m22、二變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、二變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖L = F（C, D）L0132CDCD折疊展開法則：折疊展開法則：（1）新增加的方格按展開方向應(yīng)標(biāo)以新變量；）新增加的方格按展開方向應(yīng)標(biāo)以新變量；（2）新的方格內(nèi)最小項(xiàng)編號(hào)應(yīng)為展開前對(duì)應(yīng)方格編號(hào)加）新的

25、方格內(nèi)最小項(xiàng)編號(hào)應(yīng)為展開前對(duì)應(yīng)方格編號(hào)加2n-1。38L0100011110m0m1m4m5m3m2m7m63、三變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、三變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖 L = F（B、C、D）L01453276DCBBCDL0100011110m0m1m4m5m3m2m7m6BCDCCBDBDD39L04、四變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖、四變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖L= F（A、B、C、D）4128CDABLCDABDCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCADCABDCBADCABDCBAABCDCDBADABCDCBA13257613151491110 ABCD ABCD ABCD

26、AB C D ABCD ABCD ABC D AB CD ABCD ABCDABCDABCD ABCD ABCDABCDABCD相鄰方格的最小項(xiàng)，具有邏輯相鄰性相鄰方格的最小項(xiàng)，具有邏輯相鄰性卡諾圖是上下，左右閉合的圖形?？ㄖZ圖是上下，左右閉合的圖形。說明：說明： 每個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)；每個(gè)小方格對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)； 相鄰方格的最小項(xiàng)，具有邏輯相鄰性，即有一個(gè)變量相鄰方格的最小項(xiàng)，具有邏輯相鄰性，即有一個(gè)變量互為反變量；互為反變量； 具有邏輯相鄰性的方格有：具有邏輯相鄰性的方格有：相接相接幾何相鄰的方格；幾何相鄰的方格；相對(duì)相對(duì)上下兩邊、左右兩邊的方格；上下兩邊、左右兩邊的方格；相重相重多變量

27、卡諾圖，以對(duì)稱軸相折疊，重在一齊多變量卡諾圖，以對(duì)稱軸相折疊，重在一齊的方格。的方格。邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以消去互補(bǔ)變量邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以消去互補(bǔ)變量40四變量卡諾圖邏輯相鄰舉例四變量卡諾圖邏輯相鄰舉例相接相對(duì)相對(duì)CDABDCBA AB C DDCBA AB C D A B C D AB C D AB C DDCBA DCBA AB C DABCDCDBA A B C DDCBA DABCABCD41CDAB用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 用卡諾圖法對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，首先要確定函用卡諾圖法對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，首先要確定函數(shù)與卡諾圖的關(guān)系，將函數(shù)用卡諾圖的形式表現(xiàn)出來。數(shù)與卡諾圖

28、的關(guān)系，將函數(shù)用卡諾圖的形式表現(xiàn)出來。方法方法真值表真值表 填卡諾圖填卡諾圖表達(dá)式表達(dá)式 一般與或式一般與或式 填卡諾圖填卡諾圖化成最小項(xiàng)表達(dá)式化成最小項(xiàng)表達(dá)式 填卡諾圖填卡諾圖真值表、表達(dá)式、卡諾圖都可以表達(dá)一個(gè)邏輯函數(shù)。真值表、表達(dá)式、卡諾圖都可以表達(dá)一個(gè)邏輯函數(shù)。4243已知真值表，填卡諾圖已知真值表，填卡諾圖A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1L00010111編號(hào)m0m1m2m3m4m5m6m7( , ,)(3,5,6,7)L A B CmL00011011BCA例：例： 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8

29、 9 11 10CDABFABCABDAC ABCDABC DABCDABCDABCDABCDABCDABCD54151310111415(4,5,10,11,13,14,15)mmmmmmmmm 1 1 1 1 1 1 1 CDAB化成最小項(xiàng)表達(dá)式填卡諾圖化成最小項(xiàng)表達(dá)式填卡諾圖1、把已知邏、把已知邏輯函數(shù)式化為輯函數(shù)式化為最小項(xiàng)之和形最小項(xiàng)之和形式；式；2、將函數(shù)式中包含的最、將函數(shù)式中包含的最小項(xiàng)在卡諾圖對(duì)應(yīng)的方小項(xiàng)在卡諾圖對(duì)應(yīng)的方格中填格中填 1，其余方格中，其余方格中填填 0。44CDABCDAB45L = AC + AC + BC + BC 卡諾圖：卡諾圖：L11111100A(B

30、+B)C +(A+A)BC L=A(B+B)C +(A+A)BC + =(m1 , m2 ,m3 , m4 , m5 , m6 )例：例：CBA函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)3275: () m m CCC()C m mABABA BBAABABABBA依據(jù)相鄰最小項(xiàng)提出公因子消去互補(bǔ)變量例： 二變量三變量方法：方法： 1）填寫函數(shù)卡諾圖；）填寫函數(shù)卡諾圖； 2）合并最小項(xiàng)，對(duì)鄰項(xiàng)方格畫卡諾圈（含）合并最小項(xiàng)，對(duì)鄰項(xiàng)方格畫卡諾圈（含2n方格）；方格）； 3）消去互補(bǔ)變量，直接寫出最簡(jiǎn)與或式。）消去互補(bǔ)變量，直接寫出最簡(jiǎn)與或式。46畫圈原則：畫圈原則：圈盡量大圈盡量大 消去的變量多消去的變量多

31、圈盡量少圈盡量少 結(jié)果乘積項(xiàng)少結(jié)果乘積項(xiàng)少要有新成份要有新成份沒有冗余項(xiàng)沒有冗余項(xiàng)使用方法：使用方法：圈圈1 得到得到 F 原函數(shù)原函數(shù)圈圈0 得到得到 F 反函數(shù)反函數(shù) 畫的圈不同，結(jié)果的畫的圈不同，結(jié)果的表達(dá)式形式可能不同，表達(dá)式形式可能不同，但肯定是最簡(jiǎn)的結(jié)果。但肯定是最簡(jiǎn)的結(jié)果。 圈圈1個(gè)格個(gè)格消消0個(gè)變量個(gè)變量 圈圈2 1 圈圈4 2 圈圈8 3 47481. 二變量卡諾圖的典型合并情況二變量卡諾圖的典型合并情況111AB11BAABAB49BCA1 11 12. 三變量卡諾圖的典型合并情況三變量卡諾圖的典型合并情況BCA1 11 1BC 1 1A11BACBACBAC501CDAB

32、1111111CDAB1 11 11111 CDAB11111111113. 四變量卡諾圖的典型合并情況CDABCDABCDAB此例說明，為了使此例說明，為了使化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)，可化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)，可以重復(fù)利用最小項(xiàng)。以重復(fù)利用最小項(xiàng)。ABCD不是矩形不是矩形無效圈示例無效圈示例1 151ABCD無效圈示例無效圈示例2 2ABCD1111 1111 11111 11沒有新變量.無效圈.52DCAB53四、化簡(jiǎn)過程四、化簡(jiǎn)過程化簡(jiǎn)依據(jù)：邏輯相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去因子?；?jiǎn)規(guī)則：能夠合并在一起的最小項(xiàng)是2 n個(gè)如何最簡(jiǎn)： 圈的數(shù)目越少越簡(jiǎn)；圈內(nèi)的最小項(xiàng)越多越簡(jiǎn)。特別注意：卡諾圖中所有的 1 都必須

33、圈到， 不能合并的 1 必須單獨(dú)畫 圈。LABC11111001 1 1 上兩式的內(nèi)容不相同，但函數(shù)值一定相同。LABC11111001 1 1 L =B+ABC+ACL =C+A+ BCAB將L=AC+AC+BC+BC 化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式。此例說明，一邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果可能不唯一。例1：（畫矩形圈）。ACCABBABCABBCF=AB+BC例例1 1：卡諾圖化簡(jiǎn)：卡諾圖化簡(jiǎn)54BACF(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCDACDBCBDBCD FACDBCB DBCD例例3 3：化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)55DABC56L = 例：將例：將L= (m

34、0 m2 m4 m6 m8 m15 )化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式?；?jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式。L = ADL= AD此例說明，為了使化簡(jiǎn)結(jié)果最此例說明，為了使化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)，可以重復(fù)利用最小項(xiàng)。簡(jiǎn)，可以重復(fù)利用最小項(xiàng)。=A+DLABCD000111100001111011111100001111111111LABCD111100001111用圈用圈 0 法化簡(jiǎn)法化簡(jiǎn)L解：若卡諾圖中解：若卡諾圖中1的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于大于0的數(shù)目，可用圈的數(shù)目，可用圈 0 的方法。的方法。AD+CDABCDAB實(shí)際應(yīng)用中，在真值表內(nèi)對(duì)應(yīng)于變量的某些取值實(shí)際應(yīng)用中，在真值表內(nèi)對(duì)應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，或者這些變

35、量取值根本下，函數(shù)的值可以是任意的，或者這些變量取值根本不會(huì)出現(xiàn)，這些變量取值對(duì)于的最小項(xiàng)稱為無關(guān)項(xiàng)或不會(huì)出現(xiàn)，這些變量取值對(duì)于的最小項(xiàng)稱為無關(guān)項(xiàng)或隨意項(xiàng)（約束項(xiàng)）。無關(guān)項(xiàng)用隨意項(xiàng)（約束項(xiàng)）。無關(guān)項(xiàng)用“d d”或者或者“”表示。表示。 無關(guān)最小項(xiàng)可以隨意加到函數(shù)表達(dá)式中，或不加到無關(guān)最小項(xiàng)可以隨意加到函數(shù)表達(dá)式中，或不加到函數(shù)表達(dá)式中，并不影響函數(shù)的實(shí)際邏輯功能。函數(shù)表達(dá)式中，并不影響函數(shù)的實(shí)際邏輯功能。其值可以取其值可以取1 1，也可以取，也可以取0 0。57無關(guān)項(xiàng)舉例無關(guān)項(xiàng)舉例例例1 :十字路口紅綠燈十字路口紅綠燈,設(shè)控制信號(hào)設(shè)控制信號(hào)G=1 綠燈亮綠燈亮; 控制信號(hào)控制信號(hào)R=1 紅燈亮

36、紅燈亮; 則則 GR可以為可以為GR=00、01、10，但，但GR 11。例例2 :電動(dòng)機(jī)正反轉(zhuǎn)控制電動(dòng)機(jī)正反轉(zhuǎn)控制,設(shè)控制信號(hào)設(shè)控制信號(hào)F=1 正傳正傳; 控制信號(hào)控制信號(hào)R=1 反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn); 則則 FR可以為可以為FR=00、01、10，但，但FR 11。例例3 :8421BCD碼中，從碼中，從1010 1111的六種編碼不允的六種編碼不允 許出現(xiàn)，可視為無關(guān)最小項(xiàng)。許出現(xiàn)，可視為無關(guān)最小項(xiàng)。58A B C DF0 0 0 0d0 0 0 1d0 0 1 0d0 0 1 110 1 0 010 1 0 110 1 1 000 1 1 101 0 0 001 0 0 101 0 1 011 0 1 111 1 0 011 1 0 1d1 1 1 0d1 1 1 1d1CDAB11111( , , , )F A B C DABCBCDBCDABC解：解： 1)1)不考慮無關(guān)最小項(xiàng)不考慮無關(guān)最小項(xiàng)：給定某電路的邏輯函數(shù)真值表如下，求給定某電路的邏輯函數(shù)真值表如下，求F的最簡(jiǎn)的最簡(jiǎn)與與或或式。式。59ABCD( , ,)F A B C DBCBCA B