函數(shù)極限連續(xù)改PPT學習教案

1、會計學1函數(shù)極限連續(xù)改函數(shù)極限連續(xù)改一、考試要求一、考試要求二、主要內容二、主要內容三、典型例題分析三、典型例題分析第1頁/共74頁一、考試要求一、考試要求1.1.理解函數(shù)的概念，理解函數(shù)的概念，2.2.了解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性了解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性3.3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，4.4.掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，5.5.理解極限的概念，理解極限的概念，6.6.掌握極限的性質及四則運算法則掌握極限的性質及四則運算法則. .理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及

2、函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系 了解反函數(shù)及隱函數(shù)了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念的概念了解初等函數(shù)的概念了解初等函數(shù)的概念. .掌握函數(shù)的表示法，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題會建立應用問題 的函數(shù)關系的函數(shù)關系. . 第2頁/共74頁8.8.理解無窮小量、無窮大量的概念，理解無窮小量、無窮大量的概念，9.9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），10.10.了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，7.7.掌握極限存在的兩個準則，掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，并會利

3、用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法掌握利用兩個重要極限求極限的方法掌握無窮小量的比較方法，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限會用等價無窮小量求極限會判別函數(shù)間斷點的類型會判別函數(shù)間斷點的類型理解閉區(qū)間上理解閉區(qū)間上并會應用這些性質并會應用這些性質連續(xù)函數(shù)的性質連續(xù)函數(shù)的性質( (有界性、最大值和最小值定理、介值定理有界性、最大值和最小值定理、介值定理) )，第3頁/共74頁會求函數(shù)的定義域及函數(shù)的表達式或函數(shù)值、會判別函數(shù)會求函數(shù)的定義域及函數(shù)的表達式或函數(shù)值、會判別函數(shù)1 1、掌握基本初等函數(shù)的性質及圖形掌握基本初等函數(shù)的性質及圖形2 2、理解極限的定義和它們的性質、

4、理解極限的定義和它們的性質二、主要內容二、主要內容的特性的特性( (主要是單調性、奇偶性、有界性主要是單調性、奇偶性、有界性) )數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例( (收斂數(shù)列的收斂數(shù)列的有界性有界性、收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系有極限的函數(shù)的有極限的函數(shù)的局部有界性局部有界性與與局部保號性局部保號性) )(16(16個基本函數(shù)個基本函數(shù)) )第4頁/共74頁二、主要內容二、主要內容( (一一) ) 關于函數(shù)關于函數(shù)2.2.會求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達式會求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達式(或函數(shù)值或函數(shù)值)3.3.會判別函數(shù)的特性會判別函數(shù)的特性(有界性

5、、單調性、周期性、奇偶性有界性、單調性、周期性、奇偶性)1.1.掌握掌握1616個基本函數(shù)的個基本函數(shù)的名稱名稱、表達式表達式、定義域定義域、值域值域、特征特征、圖形圖形. .第5頁/共74頁( (二二) ) 關于極限關于極限要理解它的概念及性質，要理解它的概念及性質，并會求各種形式的極限并會求各種形式的極限. .1 1、數(shù)列極限：、數(shù)列極限： 1 1）按自變量的變化趨勢分為六種：）按自變量的變化趨勢分為六種：2 2、函數(shù)極限：、函數(shù)極限：0 xx0 xx0 xxx x x 2 2）函數(shù)極限的定義及極限存在的充要條件）函數(shù)極限的定義及極限存在的充要條件. .第6頁/共74頁,0,0( )f x

6、A有Axfxx)(lim0000(,)()xxxx當或時，極限存在的充要條件：極限存在的充要條件：Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00左極限 :00lim( )()xxf xf x或右極限 :00lim( )()xxf xf x或第7頁/共74頁0, lim( )xf xA( ).f xA恒有0,X,xX使當時Axfx)(lim,0,0X當Xx 時, 有 Axf)(lim( )xf xA,0,0X當Xx時, 有 Axf)(極限存在的充要條件：極限存在的充要條件：lim( )xf xA+lim( )lim( )xxf xf xA 第8頁/共74頁3)3)極限的性質極限

7、的性質( (數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例數(shù)列的極限可看成函數(shù)極限的特例) )收斂數(shù)列的收斂數(shù)列的有界性有界性、收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系有極限的函數(shù)的有極限的函數(shù)的局部有界性局部有界性與與局部保號性局部保號性極限的極限的唯一性唯一性第9頁/共74頁0,M,00lim( )xxf x 00 xx當時，()x ( )f xM有(,0 )X()xX當時，)(lim)(0 xfxxx0()l()im)xxxf x 4) 無窮小與無窮大的定義無窮小與無窮大的定義lim( )0 xf x若，( )f xx 則稱為當時的無窮小.第10頁/共74頁無窮小的階無窮小的階lim0 (0),

8、 lim0,xx設若若limx,0,)0(Clim0,0,kxCk若稱稱 是比是比 的的高階高階無窮小，無窮小，稱稱 是比是比 的的低階低階無窮小無窮小稱稱 與與 是是同階同階無窮小無窮小稱稱 與與 的的等價等價無窮小，無窮小，稱稱 是是 的的 k 階階無窮小無窮小.( )o記作記作或定義定義：1C 特別當，第11頁/共74頁常用的等價無窮小常用的等價無窮?。? x 時，sin,xxtan,xxarcsin,xxarctan,xx211 cos,2xxln(1) ,xx1,xex(1)1(0)xx( ).xx則上述等價關系中可全換成0 x 當時，sin(3 ) 3xx；x 當時，11ln(1)

9、 xx如如：( )0 xx若當時，注記：注記：第12頁/共74頁( (1111,2/3,4),2/3,4)0,x 已知當時( )3sinsin(3 )kf xxxcx函數(shù)與是等價無窮小,()則(A)1,4(B)1,4kckc (C)3,4(D)3,4kckc C分析：分析：0,( )3sinsin(3 )kxf xxxcx當時與是等價無窮小，00( )3sinsin(3 )limlimkkxxf xxxcxcx則1(可用可用 洛必達法則洛必達法則 或或 泰勒公式泰勒公式 求求)第13頁/共74頁極限存在的兩個準則極限存在的兩個準則及兩個重要極限及兩個重要極限. .0sinlim1xxx1lim

10、(1,)xxex10lim(1)zzze4)4)掌握極限運算法則、掌握極限運算法則、( (夾逼準則與夾逼準則與與與單調有界準則單調有界準則) )(1)(1)求數(shù)列的極限常用方法有：求數(shù)列的極限常用方法有：夾逼準則、夾逼準則、或或 根據(jù)函數(shù)極限根據(jù)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系轉化為函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系轉化為函數(shù)極限. . 5)5)重點掌握求極限的方法重點掌握求極限的方法單調有界準則、單調有界準則、 重要公式重要公式( (常用來證明數(shù)列收斂常用來證明數(shù)列收斂) )第14頁/共74頁2)2)求函數(shù)極限的常用方法：求函數(shù)極限的常用方法：(1)(1)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限; ;如：

11、多項式與分式函數(shù)如：多項式與分式函數(shù)代入法代入法求極限求極限.(2)0 0型：2)2) 因式分解或根式有理化消去零因子法，因式分解或根式有理化消去零因子法，0sinlim1xxx3)利用第一個重要極限求，4)利用等價無窮小替換化簡求極限利用等價無窮小替換化簡求極限.(3)型：2)2)對多項式之比時分子、分母同除以它們中對多項式之比時分子、分母同除以它們中1)1)用洛必達法則用洛必達法則 ，1)1)用洛必達法則用洛必達法則 ，的最高次冪的最高次冪. .5)5)用泰勒公式用泰勒公式 ，第15頁/共74頁 (4) 型：.通分根式有理化變量代0或或化為 或換型05) 0(型，0 .0將其中一個因子降到

12、分母可化為 或001 0 (6) 等冪指形式未、型定式，、( )lim ( )v xxu xlim ( )ln ( )( )( )ln(lim (=lim()xv xu xv xu xv xxxeeu x一般的方法是：1 對型：1lim 1xxex也可利用第二個重要極限第16頁/共74頁( )lim ( )v xxu x較簡單的方法是：lim ( )( ( ) 1)xv x u xe(7) 利用無窮小性質利用無窮小性質(有界量與無窮小之積為無窮小有界量與無窮小之積為無窮小)求極限求極限;(8) 利用左右極限求分段函數(shù)在分段點的極限利用左右極限求分段函數(shù)在分段點的極限.( )( ( ) 1)1(

13、 ) 1=lim (1( ) 1)v x u xu xxu x( (1111,2,4),2,4)1012lim_2xxx2特別對于1 型，第17頁/共74頁( (三）關于函數(shù)的連續(xù)性三）關于函數(shù)的連續(xù)性 0)()(limlim0000 xfxxfyxx1) 函數(shù)在一點連續(xù)的定義及在區(qū)間內函數(shù)在一點連續(xù)的定義及在區(qū)間內(上上)連續(xù)定義：連續(xù)定義：0( )yf xx在連續(xù)00lim( )()xxf xf x0000( )lim( )lim( )()xxxxf xxf xf xf x函數(shù)在處連續(xù)2) 函數(shù)的間斷點的定義及分類函數(shù)的間斷點的定義及分類. 函數(shù)間斷點函數(shù)間斷點第一類間斷點第一類間斷點第二

14、類間斷點第二類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點，等振蕩間斷點，等等等第18頁/共74頁21ln(1)_(1)(3)xyxxx的間斷點的個數(shù)為1初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都連續(xù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都連續(xù). .( (可見求初等函數(shù)的間斷點或連續(xù)區(qū)間，只要求定義域即可可見求初等函數(shù)的間斷點或連續(xù)區(qū)間，只要求定義域即可.).)如：如：基本初等函數(shù)在其定義域內都連續(xù)，基本初等函數(shù)在其定義域內都連續(xù)，4) 4) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質的條件條件與與結論結論。結論：結論：3) 連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算 (四則、復合運算等四則、復合運算等)

15、有界定理、有界定理、 最值定理最值定理 、零點定理零點定理 、 介值定理介值定理 .第19頁/共74頁三、典型例題分析三、典型例題分析(一一)關于函數(shù)（歸結為三個方面）關于函數(shù)（歸結為三個方面）1. 求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域2. 討論函數(shù)的特性討論函數(shù)的特性3. 求函數(shù)的表達式求函數(shù)的表達式(或函數(shù)值或函數(shù)值)第20頁/共74頁例例1. 1. (88,1/2,5)(88,1/2,5)設設,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且)(x)(2xe求求及其定義域及其定義域 . 解解:,e)(fx2xf)(xe)(x2由由x1得得,)1ln()(xx0,(x( )0,x及l(fā)n(1)0 x10 x

16、由由第21頁/共74頁例例2 2： (90,3/4,03)(90,3/4,03) 設函數(shù)設函數(shù)sin( )tan,xf xxxe則則f x( )是是 B(A)(A)偶函數(shù)偶函數(shù) (B) (B) 無界函數(shù)無界函數(shù) (C)(C)周期函數(shù)周期函數(shù) (D)(D)單調函數(shù)單調函數(shù)分析分析:由sin2lim (tan)xxxx e ( ).f x知無界()(2)4nf xfn或22(2) 14ne ()n ( )f x知無界.或用排除法或用排除法.第22頁/共74頁例例3 3： (04,3/4,04)(04,3/4,04)函數(shù)函數(shù)2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx在下列哪個區(qū)間內有界在下列

17、哪個區(qū)間內有界 A(A)(-1,0) (B) (0,1) (C)(1,2) (D)(2,3)(A)(-1,0) (B) (0,1) (C)(1,2) (D)(2,3)分析分析:由2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx1sin(2)(1)(2)(2)xxxx1(1)(2)xx( 1,0)在內，1(1)(2)xx1(2)(1)xx1,2( )( 1,0)f x所以在內有界.第23頁/共74頁2sin(2)( )(1)(2)xxf xx xx或或1lim( )xf x21sin(2)lim(1)(2)xxxx xx 1lim( )xf x2lim( )xf x2sin(2)(2)lim

18、(1)(2)xxxxx xx ( )(0,1), (1,2), (2,3).f x故在內均無界第24頁/共74頁例例4：( )f x滿足滿足, ,| |,( )a b cabf x為常數(shù),且試證為奇函數(shù)1( )(),caf xbfxx證明：證明：1( )( ),afbf xcxx 又因為又因為()fx1( )fx由上兩式消去得是奇函數(shù)是奇函數(shù). 1 ( )(),caf xbfxx由得得221( )()acf xbcxxab221()acbcxxab( ),f x ( )f x設設第25頁/共74頁( (二二) )求極限的方法與技巧求極限的方法與技巧關鍵：關鍵：1. 1. 求定式的極限的方法有：

19、求定式的極限的方法有：(1)(1)代值法代值法(2)(2)運算法則運算法則(3)(3)無窮小的性質無窮小的性質判別類型，判別類型，然后選擇相應方法然后選擇相應方法, 消除不定因素消除不定因素. 22lim(35)xxx例例1:223 25 2222lim3limlim5xxxxx323231lim34xxxx例例2:232( 3)1( 3)3( 3)410542(每年幾乎都考極限題每年幾乎都考極限題)第26頁/共74頁101lim1xxe求例例3:解：解：101lim1xxe 故故101lim1xxe不存在不存在.0,101lim1xxe1,01limsinxxx又如又如:00lim0 xx

20、，1sinx有界11 0第27頁/共74頁2.2.未定式的極限未定式的極限0,0, 0,1 ,000 , 例例4：求下列極限：求下列極限220931) limxxx1320(1)12) limcos1xxx3200222299lim(93)xxxx16221lim93xx20213lim12xxx第28頁/共74頁201sincos4) limxxxxx201sincoslim( 1sincos)xxxxxxxx220011cos1sinlimlim22xxxxxxx113.4242011sincoslim2xxxxx2200111sin2limlim22xxxxxx第29頁/共74頁arct

21、an25) lim1xxx limx221limxxx111lim21xx211x21x思考思考: 如何求如何求 nnn12arctanlim( n 為正整數(shù)為正整數(shù)) ?第30頁/共74頁6 6） tan30 limxxxeextan30limxxxeextan30(1)limxx xxe ex30tanlimxxxx220sec1lim3xxx220tanlim3xxx220lim3xxx13解解：型00第31頁/共74頁利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限7).3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3co

22、s2442xoxxex44407()12limxxo xx解解:原式712第32頁/共74頁已知已知200( )ln1( )sin(2 )lim5,lim31xxxf xf xxx則解：解：0( )ln1sin(2 )lim31xxf xx20( )lim10ln 3xf xx0( )sin(2 )limln3xf xxx20( )lim2ln3xf xx5 例例5.第33頁/共74頁例例6.( )0 xx已知在點的某個今鄰域內連續(xù)，0 x 在點處可導，(0)0,(0)16且，0040( ) lim.sinxtxtu du dtx 求解：解：0040( )limsinxtxtu du dtx

23、0040( )limxtxtu du dtx 030( )lim4xxxu dux020( )lim4xxu dux0( )lim8xxx01( )(0)lim80 xxx1(0)82 第34頁/共74頁20sin2()limsinxxxtxdttxx304(sin) (sin)limxxxxxxx例例7：20sin22()lim1 cosxxxx201 cos4(1 1)lim3xxx222022(sin)lim2xxxxx43第35頁/共74頁設對同一變化過程設對同一變化過程 , , 為無窮小為無窮小 ,無窮小的性質無窮小的性質, (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價由等價可得極限運

24、算的下述規(guī)則可得極限運算的下述規(guī)則. 若若 = o( ) , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價與且若,則例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則,limlim且.時此結論未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2-看低階看低階第36頁/共74頁(3)(3)乘除代替規(guī)則乘除代替規(guī)則: :,( )x若且極限存在或有界，則則)(limx)(limx例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求01lim(arcsinsin)xxx解解

25、: 原式原式 和差不能濫用和差不能濫用01lim(sin)xxx0第37頁/共74頁.125934lim22xxxxx2211439lim1152xxxxx54例例8：第38頁/共74頁為非負常數(shù)為非負常數(shù) )nmba,0(00mn 當mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當mn 當推廣推廣2：分母同除以絕對值最大的項分母同除以絕對值最大的項.”型，型， 則分子，則分子，若在某一過程中為若在某一過程中為“第39頁/共74頁例例9 9：2351) lim21xxxx235lim21xxxxxx351lim12xxxx2352) lim21xxxx1 02012

26、235lim21xxxxxx2xx 351lim12xxxx1 020 12 2xx第40頁/共74頁( (0000,1,5),1,5)1402sinlim1xxxexxe求解：解：因為1402sinlim1xxxexxe1402sinlim1xxxexxe1402sinlim1xxxexxe434002sinlimlim1xxxxxeexxe0010 111402sinlim1xxxexxe14002sinlimlim1xxxxexxe2011 011所以 原式第41頁/共74頁2112(1) lim()11xxx2(2) lim(100)xxxx例例9 9：求下列極限：求下列極限11lim

27、(1)xx122100lim10011xx5011 2lim(1)(1)xxxx 2100lim100 xxxx第42頁/共74頁1 1）解：解：.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 01limln(cot)lnxxxe原式01limln(cot )lnxxx201csccotlim1xxxx0limcossinxxxx, 1 .1 e原原式式例例1010：求下列極限：求下列極限第43頁/共74頁2）1lnlim(arctan ).2xxx求1limln(arctan )ln2xxxe解解：原式1limln(arctan )ln2xxx2111arctan2lim1xxxx 21li

28、marctan2xxxx22221 (1)2(1)lim11xxxxxx 221lim1xxx1 1e原式型00第44頁/共74頁3 3）10arctan lim.xxxx求10arctanlimxxxx01arctanlimlnxxxxe01arctanlim1xxxxe20arctanlimxx xxe20111lim2xxxe20111lim2xxxe20lim2(1)xxxe0e1解解：原式=10arctanlim xxxx2arctanarctan0arctanlim11x xxxx xxxx20arctanlimxx xxe)1( 或第45頁/共74頁3324) lim(1)xxx

29、32232lim (1)xxx2e25) lim()3xxxx(3)311lim(1)(1) 33xxxx1ee 2lim()3xxxx2(1)lim3(1)xxxx22332(1)lim3(1)xxxxx23eee第46頁/共74頁1lim(1).xxxe( )11.lim 1( )xxx推廣推廣: 1( )2. lim(1( )xxxezzz1)1 (lim01( )3.lim 1( )xxkx( )( )4.lim(1)sxakxbx公式公式II：-基本型基本型, e, e,ke,k se111第47頁/共74頁( (1111,3,10),3,10)012sin1limln(1)xxxx

30、x求極限( (1111,1,10),1,10)110ln(1)limxexxx求極限( (1111,2,10),2,10)20ln(1)d ( ).xttF xx已知函數(shù)0lim( )lim( )0,xxF xF x設試求的取值范圍.12e1312 第48頁/共74頁222 lim12nkkknnnn求2nknn22212kkknnnn2,1nkn2 limnnknn又lim11nkn, k2lim1nnkn2lim11nkn, k222 lim12nkkkknnnn解解:第49頁/共74頁2. 求1lim(12345 ) .nnnnnn解解:1(12345 )nnnnn515 5n由夾逼準則

31、可知1lim(5 5 )nnlim55,n而1lim(12345 )5.nnnnnn5,因第50頁/共74頁( (0606,1/2,12),1/2,12)例例. 110,sin1,2,. .nnnxxxxn設數(shù)列滿足lim.nnx存在，并求該極限()()證明證明211limnxnnnxx()()計算計算 nx數(shù)列(I) (I) 用歸納法證明用歸納法證明單調下降且有界單調下降且有界. .10 x210sinxx由由得得0nx，10sinnnxx設設則則1xnx第51頁/共74頁 nx所以所以單調下降且有下界單調下降且有下界, , limnnxlimnnax，1sinnnxxsinaa0a ，li

32、m0nnx故故存在存在. .記記由由得得所以所以即即210sinlim()xxxx30cossinlim2xxxxxe因為因為 ()() 解法解法1:1:201sinlimln()xxxxe20lnsinlnlimxxxxe01cos1lim()2sinxxxxxe20sinlim6xxxxe16e第52頁/共74頁lim0nnx，22111sinlim()lim()nnxxnnnnnnxxxx又由又由(I)(I)知知 所以所以210sinlim()xxxx0sinlim6xxxe解法解法2:2:故故 22111sinlim()lim()nnxxnnnnnnxxxx210sinlim()xxx

33、x16e因為因為 3sinsin0sinlim1x xxxx xxxxx30sinlimxx xxe20cos1lim3xxxe16e210sinlim()xxxx16e第53頁/共74頁(三三) 求極限的其它方法舉例求極限的其它方法舉例1、利用導數(shù)定義、利用導數(shù)定義例例13：（：（1）設）設( )fa存在，則存在，則0()()limxf axf axIx（2）設）設( )f x可微，可微，22400( )(0)0,(0)1,( )(),lim.xxF xffF xtf xtdtx求()( )fa220430011()() 222limlim4xxxf uduf xxIxx220(0)(0)1

34、lim(0)44xfxffx第54頁/共74頁1limsin(0)n annIxdxax求由定積分中值定理， ,n na 知，1sinn anxdxx使1sina1limsinn annIxdxx1lim( sin)na1lim( sin)aa解：解：1sin()nan2、利用定積分定義或中值定理求、利用定積分定義或中值定理求.第55頁/共74頁( (9898,1,6),1,6)23sinsinsinsin lim.111123nnnnnnnnn求1sinlim1nniinni分析：分析： 這是這是n項和式的極限項和式的極限, , 由于分母不同由于分母不同, ,一般用夾逼準則一般用夾逼準則.

35、.第56頁/共74頁1sin1niinni1sinlim1nniinn解：解：1sin1niinn1sin0niinn1sinlim0nniinn11limsinnniinn10sin()dxx21sinlim1nniinnnn11limsin1nnininnn101sin()dxx 101cos()x 2又又由夾逼準則知由夾逼準則知2原式第57頁/共74頁3 3、利用級數(shù)的收斂性求、利用級數(shù)的收斂性求. .lim_!nnbn分析：分析：0!nnbn考慮級數(shù)，1(1)!lim!nnnbnbn因為lim1nbn01 ，0!nnbn所以收斂，0!nnbn從而收斂，lim0!nnbn故0!nnxn由

36、(,)xex ，,0!nnbn知收斂或者或者0第58頁/共74頁3 3、極限的局部逆問題、極限的局部逆問題220ln(1)()lim2,_ ,_xxaxbxabx設則分析：分析：00該極限必為型，220ln(1)()2limxxaxbxx01(2)1lim2xabxxx1a2012(1)lim2xbx1 22b 52b 01lim(2)01xabxx152例例.第59頁/共74頁例：例：, a b試確定正的常數(shù)，使等式22001limsinxxtdtxbxat220lim1cosxxaxbbx1,220lim0 xxax而，0lim(1cos)1xbbxb 01b ，解：解：22001lim1

37、.sinxxtdtxbxat成立第60頁/共74頁2201lim1 cosxxaxx于是2202lim12xxaxx202limxax2a4a220lim1cosxxaxbbx1,第61頁/共74頁（四）關于無窮小的階（四）關于無窮小的階( (0707,1/2,04),1/2,04)0 xx當時，與等價的無窮小量是1( ) 1( ) ln( )11() 1 cos1xxAeBCxDxx0 x當時，1xe,x11x1,2x21()2x1 cosx分析：分析：第62頁/共74頁 0 x20cos,xt dt20tan,xtdtdttx03sin,把把時的無窮小量時的無窮小量排列起來，排列起來，（B

38、 B） (A) (A) , ,使排在后面的是前一個的高階無窮小，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是則正確的排列次序是 ( (0404,1/2,04),1/2,04)(C) (C) (D) (D) 分析：分析：0 x時，2cos()x 1,2 tanxx 22,x321sin()2xx 32122xxxB只要比較它們的導數(shù)階的高低即可只要比較它們的導數(shù)階的高低即可.第63頁/共74頁( (0909,1/2,04),1/2,04)20,( )sin()( )ln(1), ( )xf xxaxg xxbxa b當時與是等價無窮小，則的值第64頁/共74頁( (0202,1,1,0606) )( )0,f xx 設函數(shù)在某鄰域內有一階連續(xù)導數(shù)(0)0,(0)0,ff 且( )(2 )(0)0af hbfhfhh若在時是比高階的無窮小, a b試確定的值.( (0202,2,2,0808) )( )0,f xx 設函數(shù)在某鄰域內有二階連續(xù)導數(shù)(0)0,(0)0,(0)0.fff且123, 證明:存在惟一的一組實數(shù),0h 使得當時,2123( )(2 )(3 )(0)f hfhfhfh是比高階的無窮小.分析：分析：都是考查高階無窮小的定義，都是考查高階無窮小的定義，用洛必法則或泰勒公式求極限用洛必法則或泰勒公式求極限. .2,1ab 第65頁