函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性

1、教案函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳紀(jì)修金路1. 教學(xué)內(nèi)容通過討論關(guān)丁函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(兩數(shù)序列)的無限求和運(yùn)算(極限運(yùn)算)是否能 與極限運(yùn)算，求導(dǎo)運(yùn)并或枳分運(yùn)算交換次序的問題，提出函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(函數(shù) 序列)的一致收斂概念與一致收斂的兩個(gè)充分必要條件。2. 指導(dǎo)思想(1) 數(shù)學(xué)分析與初等函數(shù)的根本區(qū)別在于引入了極限運(yùn)算(微分與積分的實(shí)質(zhì) 也是極限運(yùn)算)，極限運(yùn)算應(yīng)用到求和運(yùn)算上就是級數(shù)的概念。由丁有限求 和運(yùn)算可以與極限運(yùn)算，求導(dǎo)運(yùn)算或積分運(yùn)算交換次序，所以討論級數(shù)與 極限運(yùn)算，求導(dǎo)運(yùn)算或積分運(yùn)算的交換次序問題就成為級數(shù)理論的一個(gè)基 本問題。(2) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性是數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中的一

2、個(gè)難點(diǎn)，也是學(xué)生故 難掌握的內(nèi)容之一。以往的教材往往r接引進(jìn)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂概念, 然后再講解一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)可以與極限運(yùn)算，求導(dǎo)運(yùn)算或積分運(yùn)算 交換次序，學(xué)生往往只能死記硬背概念，不能真匸理解它的實(shí)質(zhì)意義，過 后很快容易忘記。我們則在教學(xué)中反其道而行z,先討論一系列具體的函 數(shù)項(xiàng)級數(shù)例子，指出在點(diǎn)態(tài)收斂的悄況下，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)不一定可以與極限 運(yùn)算，求導(dǎo)運(yùn)算或積分運(yùn)算交換次序，從而理解為了保證運(yùn)算的交換，有 必耍引進(jìn)更強(qiáng)的收斂概念，然后再講解旳數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂概念。(3) 在數(shù)學(xué)分析課程中，一致收斂概念不僅出現(xiàn)丁函數(shù)項(xiàng)級數(shù)部分，還出現(xiàn)丁 含參變量積分部分(它保證了積分運(yùn)算與其他運(yùn)算的可

3、交換性)，可以說， 一致收斂性是數(shù)學(xué)分析，乃至幣個(gè)分析學(xué)中最雨要的概念之一，是學(xué)好如 泛函分析，偏微分方程等后繼課程的必備基礎(chǔ)。因此在函數(shù)項(xiàng)級數(shù)部分第 一次出現(xiàn)一致收斂概念時(shí)，必須將問題的背尿，引人一致收斂概念的總義 講清楚，使學(xué)生從本質(zhì)上理解它，做到終身不忘。3教學(xué)安排(1) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與函數(shù)序列收斂性的等價(jià)性：給定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)心以)(收斂域?yàn)榧螪),設(shè)它的部分和函數(shù)序列為S(x)：S“(x)=心)WE,A-l則函數(shù)序列佝的收斂域也是集介D,且極限函數(shù)就是的和函數(shù)S(x)： /f=lS(x) = lunSn(x), xWD o/!-X反過來，給定一個(gè)函數(shù)序列S“(x),只耍令”i(x) =

4、Si(x), “ + i(x) = S“+i(x) -Sn(x) (n = l, 2,.),就可得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)$“(兀)，它的部分和函數(shù)序列就是給定的),而它的收斂性與S“(x)的收斂性是相同的。由J：上述函數(shù)項(xiàng)級數(shù)$,)與函數(shù)序列佝的收斂性在本質(zhì)上是完全相 同的，在研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可以先討論函數(shù)序列的性質(zhì)，而所紂到的結(jié) 論對相應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)也是n然成立的。(2) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(或函數(shù)序列)的基本問題：如果函數(shù)“ (x)(或S“(x)具有某種分析性質(zhì)(例如連續(xù)性,可導(dǎo)性或Riemann 可積性)，那木其和函數(shù)(或極限甫數(shù))是否也保持同樣的分析性質(zhì)?具體地說，對 丁-有限個(gè)連續(xù)，可導(dǎo)或可積

5、函數(shù)之和，和函數(shù)仍然連續(xù)，可導(dǎo)或可積，并且和西 數(shù)的極限，導(dǎo)數(shù)或積分，可以通過每個(gè)函數(shù)求極限，導(dǎo)數(shù)或積分后再求和來得到。 但是若將這有限個(gè)函數(shù)之和換成函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，是否仍然可以如上而所述的那樣對 和函數(shù)進(jìn)行求極限，求導(dǎo)數(shù)或求積分的運(yùn)算？(a)設(shè)(x)(或 S“(x)在 D 連續(xù),含皿)5)(或黑S3 = S(6我們希望和函數(shù)(或極限函數(shù))S(x)也在D連續(xù)，即對J：任意xoWD,成立hmS(x) = S(xo)。這V.t0一性質(zhì)對j:兩數(shù)項(xiàng)級數(shù)而言，就是極限運(yùn)算與無限求和運(yùn)算能夠交換次序：凹= 映心(小”f。n-1%對丁部分和函數(shù)序列而言，就是兩種極限運(yùn)算能交換序列:lirn lim Sn(x)

6、 = lun lim Sn(x).XT.% n-w-x下而例題說明上述兩等式在點(diǎn)態(tài)收斂的情況下不一定成立。 例1設(shè)S”(x) = x貝iJS”(x)在區(qū)間(-1, 1收斂，極限函數(shù)為KK0.-1 xXs”(x).例1說明在點(diǎn)態(tài)收斂情況下，和函數(shù)(或極限函數(shù))可能不可導(dǎo)，下而例題將 說明，即使和函數(shù)(或極限函數(shù))可導(dǎo)，上述兩等式也不一定成立。則Sn(X)在(-8, +8)收斂，極限西數(shù)為5(x) = 0o雖然極限函數(shù)S(x)處處可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)F(x) = 0,但導(dǎo)函數(shù)序列Sx)t (x)= 4n cos nx,并不收斂丁(x)(例如當(dāng)x = 0,旳(。)=亦f 0)。(c)設(shè)心(x)(或S(x)

7、在閉區(qū)間a, b u D上Riemann可積，工“= n=lS(x)(或limS“(x) = S(x),我們希望和數(shù)(或極限函數(shù))S(x)也-.a, h l：Riemann 刀一R可積，且積分值P(x)dx可以通過先對妬(0(或S3)求積分，再求和(再求極限) 得到。這一性質(zhì)對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)而言，就是求積分運(yùn)算與無限求和運(yùn)算可以交換次 序：n=lw=l對丁部分和函數(shù)序列而言，就是求積分運(yùn)算與極限運(yùn)算能夠交換次序：f lini Sn(x) dr = lun Sn (x) dx下而例題將說明在點(diǎn)態(tài)收斂情況下，和函數(shù)(或極限函數(shù))可能Riemann不可 積，且即使Riemaim可積，上述兩等式也不一定成

8、立。例3設(shè)=J1,當(dāng)x川為幣數(shù)，=0,當(dāng)x為其他值.當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)，對一切，S“(x) = 0,因此S(x)= limSzl(x) = 0；當(dāng)x是有理數(shù)邑， TAppWN, gWZU寸,對于心p, 5n(x) = 1,因此S(x)= liraSn(x) = 1 o 于是S“(x)的極 限函數(shù)S(x)就是我們所熟知的Dinchlet函數(shù)。顯然，S“(x)在任何有限區(qū)間上都是 Riemaim可積的，但極限函數(shù)S(x)卻Riemaun不可積。例4設(shè)S“(x) = z(l -F)”，則Sn(x)在區(qū)間0, 1上收斂丁極限函數(shù)S(x) = 0o 顯然對任意，S“(x)與S(x)都在0, 11:Riema

9、nn可積，但是2(打 + 1)/ 5(a) dx(/L8)。fs”(%)dx =爲(wèi)x(l x)dx = - *(l x)d(l x)上述例子說明了“點(diǎn)態(tài)收斂”不可能對所提出的兩數(shù)項(xiàng)級數(shù)的某本問題給以 肯定的冋答，為此我們需要引進(jìn)一種比“點(diǎn)態(tài)收斂”要求更強(qiáng)的收斂概念。(3) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(或函數(shù)序列)的一致收斂性所謂“函數(shù)序列久在集介0上(點(diǎn)態(tài))收斂丁S(x)”是扌矗對丁任SxoeD , 數(shù)列)收斂丁丸心)，用“ e 一N”語言來表示的話，就是：對任意給定的e 0,可以找到H然數(shù)N = Ng ),當(dāng)“N時(shí)，成立：I Sn(XQ)- S(Xo) I V ,其中Ng )不僅與有關(guān)，而且與XoD有關(guān)。一

10、般來說，Ng e )隨著Xo的變化 而變化，這反映了S“(x)在集合D的不同點(diǎn)上收斂丁S(x)的速度不同?，F(xiàn)在的問題 是：能否找到與心無關(guān)，而僅與D有關(guān)的N = Ne),使得當(dāng)QN時(shí)，I S“(x) - S(x) | 0,存在僅與D 有關(guān)的自然數(shù)N(),當(dāng)nN( e )時(shí)，I S“(x) - S(x) | S(x)o符號表述：S”厶S(x) O V e 0, 3N, PnN, VxD :I Sn(x) - S(x) I V 定義 若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)”(x), XWD,的部分和函數(shù)序列Sn(x), S“(x)=你(x),在D致收斂于S(x),則稱工“”(x)在D上一致收斂于S(x)。*1符號表述：在

11、D 上一致收斂于 5(x)0 Ve 0, mN, PnN, VxGD : /rlI 丈叫(x) - S(x) | = | S“(x) - S(x) | V 。一致收斂性的幾何描述：對任意給定的e 0,存任N=N(),當(dāng)nN( e ) 時(shí)，函y = Sn(x), xGD,的圖彖都落在帶狀區(qū)域(x, y) | xWD, S(x) - y 0,只耍取N=丄,當(dāng)nN時(shí)，2sI S“(x) - S(x)丨 W 丄 V In對一切+8)成立，因此S“(X)在(-8, +8)上一致收斂S(X)= 0o從兒何上看，對任意給定的 0,只耍取N=丄,當(dāng)川時(shí)，函數(shù)y = 2sS“(x), xW(-8, +8),的圖

12、彖都落在帶狀區(qū)域(x, y) | | y | e 中，這正是一 致收斂的兒何描述。例6設(shè)S“(x) = 0(見例10.1.2),我們考察S“(x)在區(qū)間0, 1)上的一致收斂性。對任意給定的0 V V 1,耍使I S”(x) - S(x) | = ( V ,必需lii a因此N = N(X,)至少須取些。由于當(dāng)X1-時(shí)，-+8,因此不可能 111 X111X找到對一切x0, 1都適用的N = Ng,換言乙必在0, 1上不是一致 收斂的(圖像演示)。從兒何上看，對每個(gè)”，函數(shù)y =的取值范鬧(即值域)都是0, 1),因此 它們的圖象不可能落在帶狀區(qū)域(“, y) |xe0, 1, 0yN時(shí)，11

13、1 PI SQ) - S(x) | V P 對一切炸0, P成立。換言之，S3在0, p (P ) | 0M& P , OWyW 中。(5)關(guān)于一致收斂的兩個(gè)充分必耍條件定理1設(shè)函數(shù)序列Sn(x)在集合D上點(diǎn)態(tài)收斂于S(x),定義d(S”，S)= sup | Sn(x) - S(x) | ,則)在D上一致收斂于S(x)的充分必要條件是：lim d(S” S) = 0on-x證設(shè)S(x)在D上一致收斂于S(x),則對任意給定的 0,存在N=N()， 當(dāng)nN時(shí),I S“(x) - S(x) | 反過來，若lund(S” 5) = 0,則對任意給定的e o,存在N=N(e),當(dāng)N時(shí)，d (S“，S)

14、 ,此式表明1 Stl(x) - S(x) | S)=In對丁例 6 中的S”Cr) = *, xW0, 1),由丁d(S”，S) = sup V1 = 1/0 (一8),0xl所以S3在o, 1上不是一致收斂的。例7設(shè)S“(x)= 處、，則)在(0, +8)上收斂丁S(x) = O,由于1 +I Sn(x) - S(x) |nxl + n2x2等號成立當(dāng)且權(quán)當(dāng)丄，可知n因此S“(x)在(0, +8)上不是-致收斂的(圖像演示)。從兒何上看(圖4),對每個(gè)小函數(shù)y= 在丄取到最大值，因此l + “*n它們的圖象不可能落在帶狀區(qū)域(X, y) I OVxV +8, I y | V 1中。事實(shí) 上

15、，S3在任意包含兀=0或以x = O為端點(diǎn)的區(qū)間上都不是一致收斂的。注 若考慮上例llS(x)在區(qū)間p , A (0 P A 丄時(shí),Pd(S“，S)= - 0 (打一8),l + /7p這說明S”(x)在P，A上是一致收斂TS(x) = 0,也就是說，Sn(x)在包含 J*(0, +8)內(nèi)的任意閉區(qū)間上是一致收斂的,我們稱S”(x)在(0, +8)內(nèi)閉一致 收斂?；貞浝?,對S“(x) = C S“(x)在0, 1)上不一致收斂，但在任意的0, p u 0, 1上一致收斂,因此稱S“(x)(S”(x) = f)在0, 1)內(nèi)閉一致收斂。 顯然，在區(qū)間D上一致收斂的函數(shù)序列一定在D內(nèi)閉一致收斂，

16、但反過來卻不一 定成立。例 8 設(shè)S(x) = (1 - x)a?,則S“(x)在0, 1上收斂TS(x) = 0o 由I S“(x) - S(x) | =(1 - x) V*,及(1 - x)xri= xnl/? - (“ + l)x,容易知道I S”(x) - S(x) | fc=取到最大值，從而/I + 1d(S“，5) = (1 -(化)”n + 17/ + 1=(丄7)/(1 + 丄)”0(L8),+1n這就說明S“(X)在0, 1 致收斂于5(%) = 0.定理2 設(shè)函數(shù)序列S“(x)在集合D上點(diǎn)、態(tài)收斂于S(x),則S“(x)在D上 一致收斂于S(x)的充分必要條件是：對任意數(shù)列

17、x“,成立Inn (Sn(x) - S(x) = 0.n-x證 設(shè)S“(x)在D上一致收斂丁S(x),貝IJd(S” S)= sup | 5n(x) 一 S(x) | fO(“f 8).vD于是對任意數(shù)列x”, xn en,成立I S“(x“)- Sg | W d(S“，S) -* 0(“-* 8).關(guān)于充分性，我們采用反證法，也就是證明：若S”(x)在D上不一致收斂 丁S(x),貝I一定能找到數(shù)列x“, &WD,使得S“(x”)- S(xn) /-* 0(“一8)。我們已經(jīng)知道，命題“$在D上一致收斂丁S(x)”可以表述為V e 0, 3 N, FAN, VxGD :| Sn(x) - S(

18、x) | V .于是它的否定命題“S”(x)在D上不一致收斂于S(x)”可以表述為：3e00. V NOt m nN, 3xD : | S“(x) - S(x) | M%于是下述步驟可以依次進(jìn)行：取 M = l, MAI, 3x eD :丨 S” (“)- S(“)|取 M=”i，引2心，3xn, eD : | Sn (xn ) - S(xn )丨 N%, 取 Nk=Mi，3/Vk/Vk_i，3xrt4 GD : | S”a(J - S(*) |對丁mWNl，“2，皿，可以任取XmD,這樣就得到數(shù)列”, Xn ED,由丁它的子列乙使得I Sq(乙)-S(f) |顯然不可能成立lmi (Sn(xn) - S(x“)= O on-證畢 定理2常用丁判斷萌數(shù)序列的不一致收斂性。例如對例6中的sn(x) = xflr XWO, 1),我們可以取心=1 - 丄 G0, 1), WiJSn(x)-S(x) = (l -丄) nn3-8),這說明S“(X)在0, 1)上不一致