341相似三角形的判定

1、相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.43.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 如圖，在如圖，在ABC中，中，D 為為AB上任意上任意一點(diǎn)一點(diǎn). 過點(diǎn)過點(diǎn)D作作BC的平行線的平行線DE，交，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. .（1）ADE與與ABC的三個(gè)的三個(gè)角分別相等嗎角分別相等嗎？（2）分別度量）分別度量ADE 與與ABC 的邊長，它們的邊長是否對應(yīng)成比例的邊長，它們的邊長是否對應(yīng)成比例？（3）ADE 與與ABC之間有什么關(guān)系？平行之間有什么關(guān)系？平行移動(dòng)移動(dòng)DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？的位置，你的結(jié)論還成立嗎？動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋F我發(fā)現(xiàn)只要我發(fā)現(xiàn)只要DEBC，那么，那么AD

2、E 與與ABC是相似的是相似的結(jié)論結(jié)論平行于三角形一邊的直線與其他兩邊平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似相交，截得的三角形與原三角形相似. .由此得到如下結(jié)論：由此得到如下結(jié)論：舉舉例例例例1 如圖，在如圖，在ABC 中，已知點(diǎn)中，已知點(diǎn)D，E分別是分別是AB，AC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn). .求證：求證：ADE ABC. . ADE ABC.證明證明 點(diǎn)點(diǎn)D，E分別是分別是AB，AC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn)， DEBC.例例2 2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)D為為ABC的邊的邊AB的中點(diǎn)，過的中點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)D作作DEBC，交邊，交邊AC于點(diǎn)于點(diǎn)E. .延長延長DE至點(diǎn)至點(diǎn)F ，使，使DE=

3、 EF求證：求證：CFEABC練習(xí)練習(xí)如圖，在如圖，在RtABC中，中，C = 90正正方形方形EFCD的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、D分別分別在邊在邊AB，BC，AC 上上. . 已知已知AC= 7.5，BC= 5，求正方形的邊長，求正方形的邊長1.設(shè)正方形設(shè)正方形EFCD的邊長為的邊長為x,則有則有7 57 55.xx.答：正方形答：正方形EFCD的邊長為的邊長為3. 3x.解得解得 如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)O在四邊形在四邊形ABCD 的對的對角線角線AC上，上，OEBC，OFCD. . 試試判斷四邊形判斷四邊形AEOF與四邊形與四邊形ABCD是是否相似，并說明理由否相似，并說明理由. .2

4、.動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形是相似的我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形是相似的. .任意畫任意畫ABC 和和ABC ，使，使A= AB= B .（1） C = C 嗎嗎？（2） 分別度量這兩個(gè)三角形的邊長，它們分別度量這兩個(gè)三角形的邊長，它們是否對應(yīng)成比例是否對應(yīng)成比例？（3） 把你的結(jié)果與同學(xué)交流，你們的結(jié)論把你的結(jié)果與同學(xué)交流，你們的結(jié)論相同嗎相同嗎？由此你有什么發(fā)現(xiàn)由此你有什么發(fā)現(xiàn)？下面我們來證明：下面我們來證明：DE結(jié)論結(jié)論由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似. .舉舉例例例例3 3 如圖，在如圖，在ABC 中中,

5、,C=90從從點(diǎn)點(diǎn)D分別作邊分別作邊AB，BC的垂線，垂足分別的垂線，垂足分別為點(diǎn)為點(diǎn)E，F(xiàn)，DF與與AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)H求證：求證：DEHBCA舉舉例例證明證明 C=90， DFBC， BHF =A， DHE =A.又又 DEH= 90=C，DFAC. DEH BCA（兩角分別相等的兩個(gè)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似三角形相似.) )舉舉例例 例例4 4 如圖，在如圖，在RtABC 與與RtDEF中，中，C=90， F = 90若若A =D，AB = 5，BC = 4， DE = 3，求，求EF的長的長 EF = 2.4. ABC DEF.ABBCDEEF又又 AB = 5，BC = 4，DE

6、= 3， C = 90，F(xiàn)= 90， A=D ，解解練習(xí)練習(xí) 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)E為平行四邊形為平行四邊形ABCD的邊的邊BC延延長線上一點(diǎn)，連接長線上一點(diǎn)，連接AE，交，交CD于點(diǎn)于點(diǎn)F. .請指請指出圖中有幾對相似三角形，并說明理由出圖中有幾對相似三角形，并說明理由. .1.答：有三對相似三角形答：有三對相似三角形. .即即CEFBEA.ADFEBA,ADFECF,理由是每組三角形中有兩個(gè)角分別相等理由是每組三角形中有兩個(gè)角分別相等. .RtABC Rt ACD.ABCD.BCED2 241CD BCAB.ED解解ACB+A =90，ACB+ECD =90，2. 如圖，如圖，ABBD，EDB

7、D，點(diǎn)，點(diǎn)C是線段是線段BD的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且ACCE. . 已知已知ED= 1，BD= 4，求，求AB的長的長A = ECD.動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 任意畫任意畫ABC 和和 ABC ABC，使，使A=A，（1）分別度量）分別度量B和和B B ，C和和CC的大的大小，它們分別相等嗎小，它們分別相等嗎？（2）分別量出）分別量出BC和和 BC BC的長，它們的比等的長，它們的比等于于k嗎嗎？（3）改變）改變A或或k的大小，的大小，你的結(jié)論相同嗎你的結(jié)論相同嗎？由此你有由此你有什么發(fā)現(xiàn)什么發(fā)現(xiàn)? ?A AB BA AC CA A B B A A C C k下面我們來證明：下面我們來證明：DE結(jié)論結(jié)論兩邊成

8、比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似. .結(jié)論結(jié)論由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理2：兩邊成比例，不是夾角相等兩個(gè)三形會(huì)相似嗎？兩邊成比例，不是夾角相等兩個(gè)三形會(huì)相似嗎？ 例例5 5如圖，在如圖，在ABC與與DEF中，已中，已知知C=F=70，AC=3.5cm ，BC=2.5cm，DF =2.1cm， EF=1.5cm.求證：求證：ABC DEF.例例6 6 如圖，在如圖，在ABC中，中，CD是邊是邊AB 上的上的高，且高，且ADCDCDBD.求證：求證：ACB = 90.練習(xí)練習(xí)如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，B =ACD，A

9、B = 6， BC = 4，AC = 5，CD= 7.5，求求AD的長的長1.如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)B，C分別在分別在ADE 的邊的邊AD，AE上，上， 且且AC = 6，AB = 5，EC = 4，DB=7.求證：求證：ABCAED2.動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 任意畫兩個(gè)三角形任意畫兩個(gè)三角形ABC 和和 ABC 使使ABC的邊長是的邊長是 ABC 的邊長的邊長的的k倍倍. 分別度量分別度量A和和 A ，B 和和 B ，C和和 C 的大小，它們分的大小，它們分別相等嗎別相等嗎？由此你得出什么結(jié)論？由此你得出什么結(jié)論？結(jié)論結(jié)論三邊成比例的兩個(gè)三角形相似三邊成比例的兩個(gè)三角形相似. .由此得到相似三角形的判定定理

10、由此得到相似三角形的判定定理3：判斷下圖中的兩個(gè)三角形是否相似，判斷下圖中的兩個(gè)三角形是否相似，并說明理由并說明理由.舉例舉例例例8 8練習(xí)練習(xí)如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是分別是ABC 三邊的中點(diǎn)，三邊的中點(diǎn)，求證：求證：EDFACB. .1.判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，并說明理由并說明理由. .2.中考中考 試題試題例例1 如圖所示，已知如圖所示，已知ACPABC，AC=4，AP=2，則則AB的長為的長為 . . 8解解因?yàn)橐驗(yàn)锳CPABC，所以所以 ，所以所以 =APACACAB224=8.2ACABAPBACP中考中考 試題試題例例2 已知已知ABC的三邊長分別為的三邊長分別為6cm，7.5cm，9cm，DEF的一邊長為的一邊長為4cm，當(dāng)，當(dāng)DEF的另兩邊長是下的另兩邊長是下列哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似（列哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似（ ）. . A.