《飛行管理問(wèn)題》ppt課件

1、v在約在約10000m高空的某邊長(zhǎng)高空的某邊長(zhǎng)160km的正方形區(qū)域的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有假設(shè)干架飛機(jī)作程度飛行。區(qū)域內(nèi)每?jī)?nèi)，經(jīng)常有假設(shè)干架飛機(jī)作程度飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)展飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)以便進(jìn)展飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立刻計(jì)算并到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立刻計(jì)算并判別能否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。假設(shè)會(huì)碰判別能否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。假設(shè)會(huì)碰撞，那么應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架包括新進(jìn)入的撞，那么應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架包括新進(jìn)入的飛機(jī)飛行的方向角，以

2、防止碰撞。現(xiàn)假設(shè)條件如飛機(jī)飛行的方向角，以防止碰撞。現(xiàn)假設(shè)條件如下：下：(1)不碰撞的規(guī)范為恣意兩架飛機(jī)的間隔大于不碰撞的規(guī)范為恣意兩架飛機(jī)的間隔大于8km；(2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超越飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超越30；(3)一切飛機(jī)飛行速度均為一切飛機(jī)飛行速度均為800km/h；(4)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的間隔應(yīng)在飛機(jī)的間隔應(yīng)在60km以上；以上；(5)最多需思索最多需思索6架飛機(jī)；架飛機(jī)；(6)不用思索飛機(jī)分開此區(qū)域后的情況。不用思索飛機(jī)分開此區(qū)域后的情況。v請(qǐng)他對(duì)這個(gè)防止碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)請(qǐng)他對(duì)這個(gè)

3、防止碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)展計(jì)算模型，列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)展計(jì)算方向角誤差不超越方向角誤差不超越0.01v設(shè)該區(qū)域設(shè)該區(qū)域4個(gè)頂個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。記錄。記錄數(shù)據(jù)如表所示：數(shù)據(jù)如表所示：飛機(jī)編號(hào)飛機(jī)編號(hào) 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)X 縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)Y 方向角方向角()1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入新進(jìn)入0052VIIIIIIIVIV160km160km飛行位置表示圖飛行位置表示圖這外表上是一個(gè)有這外表上是一個(gè)有6個(gè)控制對(duì)象的最優(yōu)

4、控制個(gè)控制對(duì)象的最優(yōu)控制問(wèn)題，控制方案太多，似乎很難尋優(yōu)。問(wèn)題，控制方案太多，似乎很難尋優(yōu)。但仔細(xì)分析這并不是空間優(yōu)化問(wèn)題，只思索但仔細(xì)分析這并不是空間優(yōu)化問(wèn)題，只思索1000010000米高空的面包片；因此是平面問(wèn)題。而米高空的面包片；因此是平面問(wèn)題。而實(shí)踐上對(duì)每架飛機(jī)而言是一維問(wèn)題，由于只實(shí)踐上對(duì)每架飛機(jī)而言是一維問(wèn)題，由于只需旋轉(zhuǎn)角度問(wèn)題，故有能夠簡(jiǎn)化。需旋轉(zhuǎn)角度問(wèn)題，故有能夠簡(jiǎn)化。 這個(gè)有六個(gè)控制對(duì)象的最優(yōu)控制問(wèn)題可以利用平面幾何的知識(shí)證明兩個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論,從而轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問(wèn)題。 早調(diào)整一定優(yōu)于晚調(diào)整。這樣第六架飛機(jī)剛進(jìn)入正方形時(shí)就調(diào)整，由于時(shí)辰確定，問(wèn)題就簡(jiǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題。結(jié)論一：AF

5、DBEC證：飛機(jī)處于A，飛行方向AB，到達(dá)B會(huì)與另一架飛機(jī)相撞，至少調(diào)整到AC才能夠防止相撞。假設(shè)飛行至D再調(diào)整，仍需飛向C才能夠防止相撞，幅度為BDFBAC，實(shí)踐幅度為EDBBDF。因此早調(diào)整一定優(yōu)于晚調(diào)整。 一次調(diào)整到位，優(yōu)于多次調(diào)整。結(jié)論二：結(jié)論二：證：分兩次調(diào)整，幅度證：分兩次調(diào)整，幅度BAD+ODC BAO+DAC= BAC。進(jìn)一步可以用數(shù)學(xué)歸納法證進(jìn)一步可以用數(shù)學(xué)歸納法證明一次調(diào)整到位優(yōu)于多次調(diào)明一次調(diào)整到位優(yōu)于多次調(diào)整。整。AFDOECB這樣原問(wèn)題的調(diào)整時(shí)辰確定，無(wú)須思索時(shí)間要這樣原問(wèn)題的調(diào)整時(shí)辰確定，無(wú)須思索時(shí)間要素，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問(wèn)題。素，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問(wèn)題。 普通優(yōu)

6、化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型都是由兩部分組成，即優(yōu)化的目的函數(shù)和必需滿足的約束條件。 目的函數(shù)可以根據(jù)實(shí)踐問(wèn)題作出多種選擇。幅度最小用數(shù)學(xué)言語(yǔ)準(zhǔn)確表示，至少有四種函數(shù)幅度最小用數(shù)學(xué)言語(yǔ)準(zhǔn)確表示，至少有四種函數(shù)611.miniisign61minii612.minii163.minmaxii 6214.miniii表示第表示第i架飛機(jī)的調(diào)整方向角。架飛機(jī)的調(diào)整方向角。其中，其中， 2264ijijx tx ty ty t,0,min,ijij tT T /6,1,2,.,6ii 0800cosiiix txt 0800siniiiy tytiT表示第表示第i i架飛機(jī)飛出正方形區(qū)域的時(shí)辰。架飛機(jī)飛出正方形區(qū)

7、域的時(shí)辰。其中，其中，6 , 1,)0(iiii 這個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題可以利用物理上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理化為一族線性優(yōu)化問(wèn)題，即把一個(gè)物體看成不動(dòng)，另一物體對(duì)它作相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 由于目的函數(shù)是分段線性 的，約束條件是關(guān)于坐標(biāo)的平方，并不是 的非線性函數(shù)，因此有能夠轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問(wèn)題。iPiijPjiVjVijV相對(duì)運(yùn)動(dòng)及相對(duì)速度表示圖利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理可以將坐標(biāo)的非線性約束等價(jià)轉(zhuǎn)換為飛行方向角的線性約束。 任給兩架飛機(jī) 和 ，讓坐標(biāo)系固定在 上， 在新坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)即 對(duì) 的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，顯然， 與 在相撞不思索正方形區(qū)域限制的充要條件是 的方向見上圖，其中相對(duì)速度方向不落在這個(gè)扇形內(nèi)，就一定是平安的。相對(duì)速度

8、方向 ()22ijijijsign0tiPjPiPiPiPjPjPjP88arcsin,arcsinijijijijijdd1222( (0)(0)(0)(0) ijijijdxxyyijV當(dāng)當(dāng)Pj的飛行方向不變時(shí)，由于的飛行方向不變時(shí)，由于Vi=Vj=800km/h，所以相對(duì)速度所以相對(duì)速度Vij方向由方向由Pi的飛行方向角的飛行方向角i獨(dú)一決獨(dú)一決議，且根據(jù)矢量法那么是議，且根據(jù)矢量法那么是i的線性函數(shù)的線性函數(shù)(0)(0),(0)(0)22(0)(0),(0)(0)(1)22(0)(0)iijjiijjiijjiijjijiijj 無(wú)方向因此原來(lái)關(guān)于坐標(biāo)的非線性約束轉(zhuǎn)化為飛行方向角增量的

9、線性約束：ij(0)(0)(0)(0)8arcsin(0)(0)22iijjiijjjjiiijd(0)(0)1,2,1, ,iijjinnji 或者或者jjiijjiijjiiijijd)0()0()0()0(22)0()0(8arcsin目的函數(shù)可以從前三個(gè)任選一個(gè)。這樣線性規(guī)劃模型其中一個(gè)如下：61min|.|,1,2,66(0)(0)8arcsin2( (0)(0)21,2,5;1,6iiiiijjijijiijjstidsigniji 惋惜的是，這樣的線性規(guī)劃太多了，有215個(gè)雖然很多一定無(wú)解，可以不討論?；騿?wèn)題的解或問(wèn)題的解一定不能落在這個(gè)區(qū)間中一定不能落在這個(gè)區(qū)間中由這5個(gè)不等式

10、可以定出五個(gè)禁飛方向角區(qū)間，可在數(shù)軸上表示如下：禁飛方向角度區(qū)間表示圖55.6295IIIIIIIVVIV18.581126.363127.519242.631943.551547.507352.790953.071665.0308,66,6,6682()(0) 2arcsin82()(0) 2arcsiniiiiijiiiijsigndsignd 1,5i 第一種目的函數(shù)下一定要進(jìn)展調(diào)整，由于不調(diào)整，第6架飛機(jī)與第3、5架飛機(jī)相撞,因此至少調(diào)整一架且只需調(diào)整第6架,否那么第6架仍與其中一架飛機(jī)相撞,假設(shè)調(diào)整第6架僅有兩個(gè)方向：逆時(shí)針需求調(diào)整13.04度,順時(shí)針需求調(diào)整8.45度,因此第一種目

11、的函數(shù)下最優(yōu)解為:調(diào)整架次和調(diào)整幅度都到達(dá)最少。第二種目的函數(shù)為： 61min|ii約束條件可改寫為：6563645252.7909VIV5252.6295VIIII5253.0716VIIV與與與其中恣意兩架飛機(jī)不相撞時(shí)的最小調(diào)整幅度是六架飛機(jī)調(diào)整到不撞的調(diào)整幅度的下界。僅討論第6、3架飛機(jī)不相撞，以下不等式必需滿足：所以3.63是6架飛機(jī)不相撞的調(diào)整幅度的下界。63633.6295| 3.63 ，因此有，調(diào)整幅度3.63時(shí)也可以實(shí)現(xiàn)6架飛機(jī)不相撞，詳細(xì)調(diào)整方案如下：VI5253IVVIII55.629552.9995VIIII,第 架與第 架飛機(jī)不相撞，則第 架與第 架飛機(jī)也不相撞因此，六

12、架飛機(jī)都不相撞，最小調(diào)整幅度為356| | | =3.631.下界 同第二種目的函數(shù) 僅討論第三架和第六架飛機(jī) 由于所以，二者當(dāng)中最大的一個(gè)取一半時(shí)，到達(dá)最小，即16minmax |ii 63| | 3.63 ，631.8152.最大幅度為1.815也可以使飛機(jī)都平安，由于此時(shí)第六架飛機(jī)的飛行方向角為53.815，不在第五架飛機(jī)的禁飛方向區(qū)間中，所以與第五架也不相撞，同時(shí)第四架飛機(jī)從53.0716調(diào)整到53.825，與第六架也不相撞，因此都是平安的。第三種目的函數(shù)：第三種目的函數(shù)：6365643.630.801.072621minii第四種目的函數(shù)：利用禁飛方向角度表示圖可得以下不等式：這是一

13、個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為等式條件下的求極值問(wèn)題。由于第三個(gè)目的函數(shù)的最優(yōu)解也是這個(gè)問(wèn)題的可行解，因此平方和的最小值不超越21.8152+0.74342=2.6752 由于最優(yōu)解中，每架飛機(jī)的調(diào)整幅度不超越2.675，因此，第三架和第六架飛機(jī)的調(diào)整方向一定相反，所以二個(gè)調(diào)整幅度的和一定等于3.63，否那么目的函數(shù)將變大,故第一個(gè)不等式一定成為等式。由于第六架飛機(jī)的調(diào)整幅度一定大于0.955，所以第五架飛機(jī)不調(diào)整時(shí)，第二個(gè)不等式一定成立，這樣目的函數(shù)是最小的。這時(shí)，原問(wèn)題化為在第三個(gè)不等式約束下的二次函數(shù)的極值問(wèn)題，由于駐點(diǎn)不滿足約束條件，所以最小值一定在邊境到達(dá)，即第三個(gè)不等式也成為等式。目

14、的函數(shù)變?yōu)椋?26662663.6339.404143.332525 2（） （-1.072）顯然獲得最小值61.567342.0630.488 ，SSPiVjxty思索區(qū)域限制加上時(shí)間軸的假想飛行軌跡圖 以時(shí)間軸為數(shù)軸，飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一根一端位于底面，與底面成一定角度的射線，角度為每小時(shí)前進(jìn)80公里。與一架飛機(jī)相撞的區(qū)域是一個(gè)以這個(gè)飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡為中心線，每個(gè)程度截面都是半徑為8公里的圓生成的橢圓柱。一架飛機(jī)調(diào)整后的軌跡一定在以地面一點(diǎn)為錐頂，角度與上述射線角度一樣的圓錐面的1/6，這個(gè)錐面與橢圓柱相交的部分就是相撞的區(qū)域，其在底面的投影s，與錐頂生成的扇形就是禁飛方向扇形。 根據(jù)禁飛方向

15、扇形的討論，因此，S一定是一個(gè)連通區(qū)域，假設(shè)思索正方形區(qū)域的限制，無(wú)非是再加上一個(gè)長(zhǎng)方體的約束，如上圖所示?？梢宰C明，加上長(zhǎng)方體的約束后，相撞的區(qū)域依然是連通的，與錐頂?shù)倪B線仍生成一個(gè)扇形，至多角度小一些，或堅(jiān)持不變，詳細(xì)見下表。禁飛方向區(qū)間對(duì)比表不思索正方形限制時(shí)禁飛方向角區(qū)間思索正方形限制時(shí)禁飛方向角區(qū)間118.5811，27.519218.5811，27.5192226.3681，41.631926.3712，41.6279347.1273，55.629547.3712，55.6295453.0716，65.030853.0716，65.0308543.5515，52.790943.5615，52.78996PjP6PSSLW 為了證明，加上長(zhǎng)方體的約束，禁飛方向依然構(gòu)成一個(gè)扇形，只需證明S是一個(gè)凸集。在 S的邊境任取兩點(diǎn)與過(guò)這兩點(diǎn)的豎直線生成的平面，與橢圓柱的交，應(yīng)該是一個(gè)封鎖的區(qū)域W，或者是兩條平行線構(gòu)成的無(wú)限長(zhǎng)的帶子。平面與圓錐面的交，應(yīng)該是S中的一條二次曲線L。假設(shè)這條曲線L超出了上述區(qū)域W，那么超出的部分應(yīng)該不屬于相撞區(qū)域，與前面曾經(jīng)證明的禁飛方向構(gòu)成扇形，是連通的相矛盾。此題簡(jiǎn)化有三大步： 第一步，最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問(wèn)題，這