塑性力學 應力和應變PPT學習教案

1、會計學1塑性力學塑性力學 應力和應變應力和應變3.1 3.1 應力分析應力分析(1) 一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)通過一點通過一點P 的各個面上應力狀況的集合的各個面上應力狀況的集合 稱為一點的應力狀態(tài)稱為一點的應力狀態(tài)x面的應力：面的應力：xzxyx,y面的應力：面的應力：yzyxy,z面的應力：面的應力：zyzxz,xyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx第1頁/共33頁(2) 應力張量應力張量一點一點 的應力狀態(tài)可由九個應力分量來描述，這些分量構的應力狀態(tài)可由九個應力分量來描述，這些分量構成成一個二階對稱張量，稱為一個二階對稱張量，稱為應力張量應力張量。) 13( zzyzxz

2、yzyyxyxzxyxxzyzzyzyxyxzxyx或上式中左邊是工程力學的習慣寫法，右邊是彈性力學的習慣寫法上式中左邊是工程力學的習慣寫法，右邊是彈性力學的習慣寫法定義：定義：寫法：寫法： 采用張量下標記號的應力寫法采用張量下標記號的應力寫法)23(,333231232221131211jiij把坐標軸把坐標軸x、y、z分別分別用用x1、x2、x3表示，表示，或簡記為或簡記為xj (j=1,2,3),第2頁/共33頁(3) 斜截面上的應力與應力張量的關系斜截面上的應力與應力張量的關系在在xj坐標系中，考慮一個法線為坐標系中，考慮一個法線為N的斜平面的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為是單位向

3、量，其方向作弦為,321lll則這個面上的應力向量則這個面上的應力向量SN的三個分量與應力張量的三個分量與應力張量 之間的關系之間的關系ij 321333231232221131211321lllSSsNNN1x2x3xONNS采用張量下標記號，可簡寫成采用張量下標記號，可簡寫成)(=3-3jijNilS i）重復出現(xiàn)的下標叫做重復出現(xiàn)的下標叫做求和下標求和下標，相當于，相當于 這稱為求和約定這稱為求和約定；ii）不重復出現(xiàn)的下標不重復出現(xiàn)的下標i叫做叫做自由下標自由下標，可取，可取i=1,2,3；,31j第3頁/共33頁(4) 應力張量的分解應力張量的分解1.靜水靜水“壓力壓力”： =332

4、211l在靜水壓力作用下，應力在靜水壓力作用下，應力應變間服從彈性規(guī)律，且不會屈應變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產(chǎn)生塑性變形。服、不會產(chǎn)生塑性變形。應力應力不產(chǎn)生塑性變形的部分不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分反映靜水反映靜水“壓力壓力”：2.平均正應力：平均正應力：)(=)+(=4-33131332211kkm 第4頁/共33頁3.應力張量的分解：應力張量的分解：應力張量可作如下分解：應力張量可作如下分解：mmmmmm333231232221131133323123222113121112000000用張量符號表示：用張量符號表示：)53(,ijijmijs其中：其

5、中：)63(, 0, 1jijiij當當100010001ij或或第5頁/共33頁ij 單位球張量單位球張量ijm 應力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應力應力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應力 而沒有剪應力的狀態(tài)。而沒有剪應力的狀態(tài)。ijS應力偏張量應力偏張量mmmijm 000000mmmijS 333231232221131211與單元體的體積變形有關與單元體的體積變形有關第6頁/共33頁材料進入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與材料進入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應力球張量有關；而與形狀改變有關的塑性變形則是應力球張量有關；而與形狀改變有關的塑性變形則是由應力偏

6、張量引起的由應力偏張量引起的 。應力張量的這種分解在塑性力。應力張量的這種分解在塑性力學中有重要意義。學中有重要意義。第7頁/共33頁（1）主應力）主應力1. 一點的主應力與應力主向一點的主應力與應力主向 若某一斜面上若某一斜面上 ，則該斜面上的正應，則該斜面上的正應力力 稱為該點一個稱為該點一個主應力主應力 ；0NN（2）應力主向）應力主向主應力主應力 所在的平面所在的平面 稱為稱為主平面主平面；主應力主應力 所在平面的法線方向所在平面的法線方向 稱為稱為應力主向應力主向；根據(jù)主平面的定義，根據(jù)主平面的定義，S SN N與與N N重合。若重合。若S SN N的大小為的大小為 ，則它在各，則它

7、在各坐標軸上的投影為坐標軸上的投影為 iNilS =)(=3-3jijNilS 代入（代入（3-33-3）式）式)(.=)(7-30-jijijl 第8頁/共33頁.=,=+11232221iilllll即應有應有 )83(, 0ijij)83(0333231232221131211或即或即 將這個行列式展開得到將這個行列式展開得到)93(, 032213JJJ其中其中)123(.)113(,21)103(,321ijkiikkkiikkJJJ第9頁/共33頁2. 應力張量的不變量應力張量的不變量當坐標軸方向改變時當坐標軸方向改變時,應力張量的分量應力張量的分量 均將改變均將改變,但主應力的但

8、主應力的大小不應隨坐標軸的選取而改變大小不應隨坐標軸的選取而改變.因此因此,方程方程(3-9)的系數(shù)的系數(shù) 的值與坐標軸的取向無關，稱為的值與坐標軸的取向無關，稱為應力張量的三個不變量應力張量的三個不變量。ij 321JJJ、)123(.)113(,21)103(,321ijkiikkkiikkJJJ可以證明方程（可以證明方程（3-93-9）有三個實根，即三個主應力）有三個實根，即三個主應力321、當用主應力來表示不變量時當用主應力來表示不變量時)123()113(),()103(,321313322123211JJJ第10頁/共33頁n應力偏張量應力偏張量Sij顯然也是一種應力狀態(tài)即顯然也是

9、一種應力狀態(tài)即J1=0的應力狀態(tài)。的應力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應力主軸方向一致，而主值不難證明，它的主軸方向與應力主軸方向一致，而主值（稱為（稱為主偏應力主偏應力）為：）為：)133()3 , 2 , 1( ,jsmjj應力偏張量也有三個不變量：應力偏張量也有三個不變量： )163()153()(21)()143(03321323222113322123213211sssJsssssssssJsssJM第11頁/共33頁其中應力偏張量的第二不變量其中應力偏張量的第二不變量 今后用得最多。今后用得最多。2J再介紹它的其他幾個表達式：再介紹它的其他幾個表達式：)193(31)183(,)(

10、)()(61)173()222(13322123222122132322212,21231223212233222211212JJssssssssJijij在第四章中將看到，在第四章中將看到， 在屈服條件中起重要作用。至于在屈服條件中起重要作用。至于 可以注可以注意它有這樣的特點：不管意它有這樣的特點：不管 的分量多么大，只要有一個主偏應力的分量多么大，只要有一個主偏應力為零，就有為零，就有 。這暗示。這暗示 在屈服條件中不可能起決定作用。在屈服條件中不可能起決定作用。 2Jijs03 J3J3J第12頁/共33頁n等斜面等斜面1 2 3 )203(3/1321llln八面體面：八面體面：等斜

11、面常也被叫做八面體面等斜面常也被叫做八面體面)213()(31)()()(23222123322221128lllF設在這一點取設在這一點取 坐標軸與三個應力主軸一致，坐標軸與三個應力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為則等斜面法線的三個方向余弦為321xxx,第13頁/共33頁)223()(3213123232222118mlll.)()()(2132322213128288F)233(.2328Jm81J2328J2J第14頁/共33頁1.定義：定義：2J)243(3213232221212J 在塑性力學中稱為在塑性力學中稱為應力強度應力強度或或等效應力等效應力注意：這里的注意：這里的“

12、強度強度”或或“等效等效”都是在都是在 意義下衡量的意義下衡量的2J2.等效應力等效應力 的特點的特點l與空間坐標軸的選取無關；與空間坐標軸的選取無關；l各正應力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個靜水應力各正應力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個靜水應力狀態(tài)）時狀態(tài)）時 數(shù)值不變，即與應力球張量無關；數(shù)值不變，即與應力球張量無關；l 全反號時全反號時 的數(shù)值不變。的數(shù)值不變。)3 , 2 , 1( jj第15頁/共33頁3. 空間空間ijSijSijSijijssJ212聯(lián)系到（聯(lián)系到（3-17）式）式，不難看出不難看出 代表代表 空間的中的廣義距離空間的中的廣義距離ijS4. 等效剪應力等效

13、剪應力, 0, 0, 0321聯(lián)系到（聯(lián)系到（3-19）式）式，可知可知22J2J或或也可以定義也可以定義 ,剪應力強度剪應力強度或或等效剪應力等效剪應力:213232221612J第16頁/共33頁5. 八面體剪應力、等效應力八面體剪應力、等效應力 和等效剪應力之間的換算和等效剪應力之間的換算關系為：關系為： )263(2331,3323,323232282828JJJ這些量的引入，使我們有可能把復雜應力狀態(tài)化作這些量的引入，使我們有可能把復雜應力狀態(tài)化作“等效等效”（在在 意義下等效）的單向應力狀態(tài)，從而有可能對不同應力意義下等效）的單向應力狀態(tài)，從而有可能對不同應力狀態(tài)的狀態(tài)的“強度強度

14、”作出定量的描述和比較。作出定量的描述和比較。2J第17頁/共33頁321O3P1P2PM圖 3-3)0 ,(),0 ,(),0 ,(332211PPP.22,22,22231131323232121PPPPPP稱為主剪應力稱為主剪應力最大剪應力最大剪應力321、max1.三向三向Mohr圓圓第18頁/共33頁3s2s1sO3P1P2PM圖 3-4mO2.Lode應力參數(shù)應力參數(shù)由圖由圖3-4可見，若在已知應力狀態(tài)上可見，若在已知應力狀態(tài)上疊加一個靜水壓力，其效果僅使三疊加一個靜水壓力，其效果僅使三個個 Mohr圓一起沿圓一起沿 軸平移一個距離軸平移一個距離，該距離等于所疊加的靜水應力，該距離

15、等于所疊加的靜水應力，并不改變并不改變Mohr圓的大小圓的大小。 第19頁/共33頁3s2s1sO3P1P2PM圖 3-4mOl若將若將 軸平移到軸平移到 ，并使，并使OmOO =)+(=32131mOO =)+(=32131則：則：,333223111sPOsPOsPOmmm移軸后的三向移軸后的三向Mohr圓正是描述應力圓正是描述應力偏張量的三向偏張量的三向Mohr圓，如圖所示。圓，如圖所示。lM點是點是P1P2線段的中點線段的中點131-21MP=)(=max )(=3122-221 MPLode在在1925年引進的參數(shù)年引進的參數(shù) 第20頁/共33頁lLode應力參數(shù)應力參數(shù))273(,

16、22313123131212sssssMPMP當當P2點由點由P3移向移向P1時，時， 的變化范圍是：的變化范圍是： 111 , 0, 0132則. 0, 0, 0, 01312則. 1, 0, 0321則 只由只由P1、P2、P3三點的相對位置決定而與三點的相對位置決定而與 坐標原點坐標原點的選擇無關，故的選擇無關，故 是描述應力偏張量的一個特征值。是描述應力偏張量的一個特征值。 -。max 第21頁/共33頁1. 應力空間應力空間一點的應力張量有九個應力分量，以它們?yōu)榫艂€坐標軸一點的應力張量有九個應力分量，以它們?yōu)榫艂€坐標軸就得到假想的九維應力空間。就得到假想的九維應力空間?？紤]到九個應力

17、分量中只有六個是獨立的，所以又可構考慮到九個應力分量中只有六個是獨立的，所以又可構成一個六維應力空間來描述應力狀態(tài)。成一個六維應力空間來描述應力狀態(tài)。2.主主 應力空間應力空間321、321、第22頁/共33頁2.主主 應力空間的性質應力空間的性質直線L平面 其方程為其方程為 顯然，顯然，L直直線上的點代表物體中承受靜水應線上的點代表物體中承受靜水應力的點的狀態(tài)，這樣的應力狀態(tài)力的點的狀態(tài)，這樣的應力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。將不產(chǎn)生塑性變形。.321其方程為其方程為 由于由于 平面上任一點的平平面上任一點的平均正應力為零，所以均正應力為零，所以 平面上的點對應于只有應力平面上的點對應于只有應力偏

18、張量、不引起體積變形的應力狀態(tài)偏張量、不引起體積變形的應力狀態(tài). 0321第23頁/共33頁直線L平面 P PPOP)283(OPOPOPn物體內一點的應力狀態(tài)用應力張量描述，它又可分解為應力物體內一點的應力狀態(tài)用應力張量描述，它又可分解為應力 球張量和應力偏張量兩個部分。球張量和應力偏張量兩個部分。n塑性變形只與應力偏張量有關。塑性變形只與應力偏張量有關。n三向三向Mohr應力圓和主應力空間為應力張量的分解提供了幾何應力圓和主應力空間為應力張量的分解提供了幾何 形象和數(shù)學工具。形象和數(shù)學工具。 第24頁/共33頁3.2 3.2 應變分析應變分析1. Cauchy公式公式).(),(),(,212121zuxwzxywzvyzxvyuxyzwzyvyxuxx,212121zxzxyzyzxyxyzxyzxy、ijzx