CH115第二型曲面積分課件

1、CH115第二型曲面積分第五節(jié)第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系第二型曲面積分第二型曲面積分 第十一章第十一章 CH115第二型曲面積分一、基本概念一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)CH115第二型曲面積分S設(shè)連通曲面設(shè)連通曲面 S 上處處有連續(xù)上處處有連續(xù)設(shè)設(shè) M0 為曲面為曲面 S 上

2、一點(diǎn)，確定上一點(diǎn)，確定方向?yàn)檎较?，另一個(gè)方向?yàn)樨?fù)方向方向?yàn)檎较颍硪粋€(gè)方向?yàn)樨?fù)方向. L 為為 S 上任一經(jīng)過(guò)點(diǎn)上任一經(jīng)過(guò)點(diǎn) M0 且不超出且不超出 S 邊界的閉曲線邊界的閉曲線.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M 從從 M0 出發(fā)，沿出發(fā)，沿 L 連續(xù)移動(dòng)，連續(xù)移動(dòng)， M 在在 M0 點(diǎn)與點(diǎn)與M00ML變動(dòng)的切平面（或法線）變動(dòng)的切平面（或法線）曲面在曲面在M0 點(diǎn)的一個(gè)法線點(diǎn)的一個(gè)法線有相同的法線方向，有相同的法線方向，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) M 連續(xù)移動(dòng)時(shí)，其法線方向連續(xù)移動(dòng)時(shí)，其法線方向也連續(xù)變動(dòng)，最后當(dāng)也連續(xù)變動(dòng)，最后當(dāng) M 沿沿 L 回到回到M0 時(shí)，若這時(shí)時(shí)，若這時(shí) M 的的M法線方向仍與法線方向仍與 M0 點(diǎn)

3、的法線方向一致，則稱此曲面點(diǎn)的法線方向一致，則稱此曲面 S 為為雙側(cè)曲面；若與雙側(cè)曲面；若與 M0 法線方向相反，則稱法線方向相反，則稱 S 為單側(cè)曲面為單側(cè)曲面CH115第二型曲面積分n曲面的分類曲面的分類: :1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面CH115第二型曲面積分1圖圖ABCD(a)ACBD0M(b)我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面. 單側(cè)曲面的單側(cè)曲面的 一個(gè)典型例子是默比烏斯一個(gè)典型例子是默比烏斯(Mbius)帶帶. 它的構(gòu)造方它的構(gòu)造方 法如下法如下: 取一矩形長(zhǎng)紙條取一矩形長(zhǎng)紙條ABCD (如圖如

4、圖22-4(a), 將其將其 一端扭轉(zhuǎn)一端扭轉(zhuǎn) 180 后與另一端粘合在一起后與另一端粘合在一起 ( 即讓即讓 A 與與 C 重合重合, B 與與 D 重合重合, 如圖如圖1所示所示 ). CH115第二型曲面積分莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型單側(cè)曲面的典型) 曲面法曲面法向量的指向向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面有向曲面.CH115第二型曲面積分通常由通常由 zz x y( , )所表示的曲面都是雙側(cè)曲面所表示的曲面都是雙側(cè)曲面, 其法其法 線

5、方向與線方向與 z 軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè)軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè), 另一側(cè)稱為下側(cè)另一側(cè)稱為下側(cè). 當(dāng)當(dāng) S 為封閉曲面時(shí)為封閉曲面時(shí),法線方向朝外法線方向朝外 的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè)的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè). 習(xí)慣上把上側(cè)習(xí)慣上把上側(cè) 作為正側(cè)作為正側(cè),下側(cè)作為負(fù)側(cè)下側(cè)作為負(fù)側(cè);又把封閉曲面的外側(cè)作為又把封閉曲面的外側(cè)作為 正側(cè)正側(cè), 內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè)內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè).CH115第二型曲面積分第二型曲面積分的概念與性質(zhì)第二型曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過(guò)有向曲面求單位時(shí)間流過(guò)有

6、向曲面 的流量的流量 . S分析分析: 若若 是面積為是面積為S 的平面的平面, 則流量則流量法向量法向量: 流速為常向量流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnvCH115第二型曲面積分對(duì)一般的對(duì)一般的有向曲面有向曲面 ,用用“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓

7、縮流體的速度場(chǎng)速度場(chǎng)),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進(jìn)行分析可得進(jìn)行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 則則 CH115第二型曲面積分設(shè)設(shè) 為光滑的有向曲面為光滑的有向曲面, 在在 上定義了一個(gè)上定義了一個(gè)意分割意分割和在局部面元上和在局部面元上任意取點(diǎn)任意取點(diǎn),0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分分,yxRxzQzyPdddddd記作記作P, Q, R 叫做叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或或第二類曲面積分第二類曲面積分.下列極限都存在下列極限都存在向量場(chǎng)向量場(chǎng)d xydz

8、dPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對(duì)若對(duì) 的的任任 則稱此極限為向量場(chǎng)則稱此極限為向量場(chǎng) A 在有向曲面上在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積對(duì)坐標(biāo)的曲面積2. 定義：定義：CH115第二型曲面積分引例中引例中, 流過(guò)有向曲面流過(guò)有向曲面 的流體的流量為的流體的流量為zyPddxzQdd稱為稱為Q 在有向曲面在有向曲面 上上對(duì)對(duì) z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為稱為R 在有向曲面在有向曲面 上上對(duì)對(duì) x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為稱為P 在有向曲面在有向曲面 上上對(duì)對(duì) y, z 的曲面積分的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd若記若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為

9、的單位法向量為令令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式CH115第二型曲面積分3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若若,1kiiki 1之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)之間無(wú)公共內(nèi)點(diǎn), 則則i且(2) 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 則則SA dSASAddiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA dCH115第二型曲面積分三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理定理: 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , )

10、,(:取上側(cè)取上側(cè),),(zyxR是是 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 則則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè)取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(CH115第二型曲面積分 若若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有則有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyx

11、zdd(前正后負(fù)前正后負(fù))(右正左負(fù)右正左負(fù))說(shuō)明說(shuō)明: 如果積分曲面如果積分曲面 取下側(cè)取下側(cè), 則則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxddCH115第二型曲面積分例例1. 計(jì)算計(jì)算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中其中 是以原點(diǎn)為中心是以原點(diǎn)為中心, 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為 a 的正立方的正立方體的整個(gè)表面的體的整個(gè)表面的外側(cè)外側(cè).解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性.原式原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè)取上側(cè) 的底部的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)

12、(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyOCH115第二型曲面積分解解: 把把 分為上下兩部分分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確下述解法是否正確:例例2. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,ddyxzyx其中其中 為球面為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分外側(cè)在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyCH115第二型曲面積分zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2dd

13、yxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrrCH115第二型曲面積分上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例3. 設(shè)設(shè)S 是球面是球面1222zyx的外側(cè)的外側(cè) , 計(jì)算計(jì)算SxxzyI2cosdd2解解: 利用利用輪換對(duì)稱性輪換對(duì)稱性, 有有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd12220d1cos1r rrr21220d14cos1rr 1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx202d20CH

14、115第二型曲面積分四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫CH115第二型曲面積分令令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在在 n 上

15、的投影上的投影)CH115第二型曲面積分yxz111例例5. 設(shè)設(shè),1:22yxz是其外法線與是其外法線與 z 軸正向軸正向夾成的銳角夾成的銳角, 計(jì)算計(jì)算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22nCH115第二型曲面積分221cosyxx例例6. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分其中其中 解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面

16、介于平面 z= 0 及及 z = 2 之間部分的下側(cè)之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx CH115第二型曲面積分 原式原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22214()xy原式原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxzCH115第二型曲面積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiS

17、Q),( CH115第二型曲面積分性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關(guān)的方向有關(guān), 上述聯(lián)系公式是否矛盾上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲面積分的定義一個(gè)與兩類曲面積分的定義一個(gè)與 的的方向無(wú)關(guān)方向無(wú)關(guān), 一個(gè)與一個(gè)與 CH115第二型曲面積分2. 常用計(jì)算公式及方法常用計(jì)算公式及方法面積分面積分第一類第一類 (對(duì)面積對(duì)面積)第二類第二類 (對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo))二重積分二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同時(shí)分片積分方程不同時(shí)分片積分)(2) 積分元素投影積分元素投影第一類：第一類： 面積投影面積投影第二類：第二類： 有向投影有向投影(4) 確定積分域確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注：注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化CH115第二型曲面積分當(dāng)當(dāng)yxDyxyxzz),( , ),(:時(shí)，時(shí)，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)?。ㄉ蟼?cè)取“+”, 下側(cè)取下側(cè)取“ ”)類似可考慮在類似可考慮在 yOz 面及面及 zOx 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式面