D104對面積曲面積分(15)課件

1、D104對面積曲面積分(15)第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質 二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對面積的曲面積分 第十章 D104對面積曲面積分(15)oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質引例引例: 設曲面形構件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質 “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者

2、). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)SzyxMd),(定義定義: 設 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據此定義, 曲面形構件的質量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個有界函數,記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點, 則稱此極限為函數 f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數, 叫做積分曲面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21

3、則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質.則為常數設,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)oxyz定理定理: 設有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(12

4、2二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分證明證明: 由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)

5、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數方程, 只要求出在參數意義下dS 的表達式 , 也可將對面積的曲面積分轉化為對參數的二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)yxD例例1. 計算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2

6、122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則hhoxzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)例例2. 計算,dSzyx其中 是由平面坐標面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0z

7、yx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)xozy例例3. 設2222:azyx),(zyxf計算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當22yxz當與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD則 1d)(22SyxI機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222

8、021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考思考: 若例3 中被積函數改為),(zyxf,22yx ，022yxz當22yxz當計算結果如何 ? D104對面積曲面積分(15)例例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.解解: 設 的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標,0 yx而 z 223RRR用球坐標cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例 3 是否可用球面坐標計算 ?例3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)例

9、例5. 計算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標系, 則,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)例例6. 計算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)

10、zzd例例7. 計算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計算較繁. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)oyxzL例例8. 求橢圓柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd機動 目

11、錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)例例9. 設有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 運行的角速度與地球自轉角速度相同, 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: yzxohRR建立坐標系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 , 利用球坐標系, 則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22D104對面積曲面積分(15)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(

12、2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求 A (見下冊P109 例2) . yzxohRRD104對面積曲面積分(15)內容小結內容小結1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設,),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 機動 目錄 上頁 下

13、頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)思考與練習思考與練習P158 題1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P158 題1.SzyxzyIxd),()(22P158 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設則0P184 題2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)P158 題4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域為2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是 的面積 !2xyD)(2:22yxz機動 目錄 上頁

14、 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)P159 題7. 如圖所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)P184 題2. 設),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)作業(yè) P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)備用題備用題 1. 已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 D104對面積曲面積分(15)2. 設 是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計算.d)1