D102二重積分的計(jì)算1PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D102二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算1),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負(fù)均非負(fù)DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號(hào)變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2第1頁(yè)/共22頁(yè)xyOxyDODyxyxfdd),(為計(jì)算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干2D1D3D

2、X - 型域或Y - 型域 , 321DDDD則 第2頁(yè)/共22頁(yè)121221d y,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO第3頁(yè)/共22頁(yè),dDyx其中D 是拋物線xy2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxy

3、y2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 第4頁(yè)/共22頁(yè),ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cos x20dsinxxxx先對(duì) x 積分不行, 說(shuō)明說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.第5頁(yè)/共22頁(yè)222802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xx

4、yD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為Y - 型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 第6頁(yè)/共22頁(yè),dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224第7頁(yè)/共22頁(yè)Oxkkkrrkkkkkkrrsin,cos對(duì)應(yīng)有在極坐標(biāo)系下, 用同

5、心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrr kkkr221內(nèi)取點(diǎn)kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為kkrkrkrkO第8頁(yè)/共22頁(yè)kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO第9頁(yè)/共22頁(yè))(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對(duì)20)(0:rDDrrrrfdd)sin,co

6、s()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(1r)(2rOxD第10頁(yè)/共22頁(yè)此時(shí)若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試答答: ;0) 1 (問(wèn) 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx第11頁(yè)/共22頁(yè),dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無(wú)法用直角2erddrr20d由于故坐標(biāo)計(jì)算.第12頁(yè)/共22頁(yè)利用上題可得一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程

7、上非常有用的反常積分公式2de02xx事實(shí)上, 222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxxayxxadelim2222故式成立 .)e1 (lim2aa222Rddeyxyx又第13頁(yè)/共22頁(yè)22224azyx被圓柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)由對(duì)稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O第14頁(yè)/共22頁(yè)baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法),(),(:vuyyvuxxTD

8、Dvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設(shè)Dyxf變換:是一一對(duì)應(yīng)的 ,vuvuJdd),(OvuDTyxDO第15頁(yè)/共22頁(yè)(1) 二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21yxxyxdycyxD則)()(21d),(dd),(y

9、xyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O第16頁(yè)/共22頁(yè))()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(Jddrr在變換下D)(1r)(2rOx第17頁(yè)/共22頁(yè) 畫(huà)出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫(xiě)出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式第18頁(yè)/共22頁(yè)yx1xy 1O1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示:交換積分順序后, x , y互換 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A第19頁(yè)/共22頁(yè)cosar xaOararccos)0(d),(dcos022arrfI