《DSP第十一講》ppt課件

1、3.2.5 DFT的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性3.3頻域抽樣實(shí)際頻域抽樣實(shí)際-抽樣抽樣Z變換變換3.4.1 用用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積 為什么要定義圓周對(duì)稱？為什么要定義圓周對(duì)稱？ DFT對(duì)稱性的特點(diǎn)？對(duì)稱性的特點(diǎn)？ 頻域抽樣提出的背景？頻域抽樣提出的背景？與DTFT對(duì)稱性的區(qū)別DTFT以(-,+)為變換空間，所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中，以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，序列的移位范圍無任何限制，由于無論如何不會(huì)移出變換區(qū)間；DFT以(0,N-1)為變換空間，所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中，序列的移位會(huì)移出變換區(qū)間，所以要在區(qū)間(0,N-1)上定義有限長(zhǎng)序列的共軛對(duì)稱序列和反對(duì)稱序列；DFT以(0,N-1)為變換空間，所

2、以在討論對(duì)稱性質(zhì)中，將會(huì)得出其對(duì)稱中心為n=N/2。1.有限長(zhǎng)序列的共軛對(duì)稱分量有限長(zhǎng)序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量 有限長(zhǎng)序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分有限長(zhǎng)序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量分別定義為：量分別定義為：)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep 這闡明長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列可分解為兩個(gè)長(zhǎng)度一樣的兩個(gè)分量。( )() 01( )()

3、 01epepopopxnxNnnNxnxNnnN *1( ) ( )()21( ) ( )()2epopxnx nxNnxnx nxNn 上式已給出有限長(zhǎng)共軛序列對(duì)稱共軛反對(duì)稱序列的對(duì)稱中心為n=N/2，恣意有限長(zhǎng)序列其圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量可簡(jiǎn)寫為：()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn : ( )( ) ( ) DFT ( )( )( )( )1 ( ) ( )( )21DFT( )( )()( )21 ( ) ( )( )21DFT ( )( )()( )2riepoprrepiiopx nx njx nx nX kXkX

4、kx nx nx nx nX kXNkXkx nx nx nx nX kXNkXk若有那么有：證明：2.DFT的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性圓周共軛對(duì)稱分量。的該序列復(fù)數(shù)序列實(shí)部的DFTDFT *圓周共軛反對(duì)稱分量。的該序列的復(fù)數(shù)序列虛部乘以DFTDFTj*)(Im)()(21 )(DFT)()(21)( )(Re)()(21)(DFT)()(21)( :)()()()(DFT:)( )()( :kXjkXkXnxnNxnxnxkXkXkXnxnNxnxnxkjXkXkXnxnxnxnxopopepepIRopep證明則有若有參見式參見式3.2.12 實(shí)、純虛序列的對(duì)稱特性實(shí)、純虛序列的對(duì)稱特性 當(dāng)

5、x(n)為實(shí)序列時(shí)，那么 X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對(duì)稱性：)()()(*kRkNXkXNNepep 當(dāng)x(n)為純虛序列時(shí)，那么 X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對(duì)稱性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN (1) X(k)共軛對(duì)稱，即X(k)=X*(N-k) k=0, 1, , N-1 (2) 假設(shè)x(n)是實(shí)偶對(duì)稱序列，即x(n)=x(Nn)，那么X(k)實(shí)偶對(duì)稱，即X(k)=X(Nk) (3) 假設(shè)是奇對(duì)稱序列，即x(n)=x(Nn)，那么X(k)純虛奇對(duì)稱，即 X(k)=X(Nk) 實(shí)序列的對(duì)稱特性

6、小結(jié)實(shí)序列的對(duì)稱特性小結(jié) 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 序列 DFTRe ( )0( )0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k 例3.2.2 假設(shè) x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，想象用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算

7、它們各自的DFT: 利用兩序列構(gòu)成一個(gè)復(fù)序列12( )( )( )x nx njx n12( ) ( )( )( )X kDFT x nDFT x njx n則12 ( )( )DFT x nDFT jx n( )( )epopXkXk 共軛對(duì)稱性的運(yùn)用共軛對(duì)稱性的運(yùn)用解：解：由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得兩個(gè)實(shí)序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT：epop( )DFT ( )( )( )X kx nXkXk*ep11( )DFT( )( )()2Xkx nX kXNk*op21( )DFTj( )( )()2Xkx nX kXNk)(

8、)(21)()(*11kNXkXnxDFTkX*221( )DFT( )j ( )()2Xkx nX kXNk 3.3 頻率域采樣 頻域采樣定理討論： 時(shí)域采樣: 對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)展抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。 頻域采樣: 對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)展N點(diǎn)DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT是頻域N點(diǎn)抽樣的結(jié)果。 能否由頻域抽樣X(k)恢復(fù)序列x(n) 能否由頻域抽樣X(k)恢復(fù)x(z)或 假設(shè)能恢復(fù)其條件是什么？如何推導(dǎo)頻域內(nèi)插恢復(fù)公式?()jX e回想時(shí)域內(nèi)插恢復(fù)公式回想時(shí)域內(nèi)插恢復(fù)公式

9、!X(n)為為M點(diǎn)的點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列。有限長(zhǎng)序列。IDFTX(k)=XN(n)FTDTFTDFS討論之討論之前先明前先明確一些確一些概念概念x(n) ( )( )( )NNNxnxn Rn ( )= ( )( )NX kX k Rk2 ( )()( ) jnkNknNX kX ex n Wk ( )( )() )(kNnkNz WnX kX zx n WkX zN 對(duì)在單位圓上 點(diǎn)等間隔抽樣，得周期序列：( )z( )( )nnx nX zx n z任意絕對(duì)可和的非周期序列，其 變換： 一一.由頻域抽樣恢復(fù)原序列由頻域抽樣恢復(fù)原序列( )=IDFS ( )NxnX k則：( )( )Nxnx n

10、我們的目的是分析：與的關(guān)系( )= ( )( ) ( )( )( )NNNNX kX k Rkxnxn Rn如令：頻域抽樣時(shí)域頻域抽樣時(shí)域以以N點(diǎn)為周期點(diǎn)為周期進(jìn)展延拓的主進(jìn)展延拓的主值區(qū)間值區(qū)間原序列原序列 ( )( )Nxnx n問題：是否等于，二者之間是什么關(guān)系？( )( )NxnX kIDFS令為的：101( )( )( )NnkNNkxnIDFS X kX k WN101( )NmknkNNkmx m WWN 1()01( )Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r為任意整數(shù)X(z)在單位圓上在單位圓上的的N點(diǎn)等間隔采點(diǎn)等間隔采樣

11、所得到的周期樣所得到的周期序列序列X(k)的的IDFS是原序列是原序列x(n)以以N為周期為周期進(jìn)展延拓的周期進(jìn)展延拓的周期序列。序列。的關(guān)系與)()(nxnxN x(n)為無限長(zhǎng)序列混疊失真 x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為M 由于時(shí)域抽樣呵斥頻域周期延拓，同樣，頻域抽樣呵斥時(shí)域周期延拓。1 NM），不失真2NM），混疊失真分兩種情況討論周期延拓能否呵斥混疊失真：分兩種情況討論周期延拓能否呵斥混疊失真：假設(shè)序列長(zhǎng)度為M，那么只需當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù):時(shí)，才有即可由頻域采樣 不失真地恢復(fù)原信號(hào) ，否那么產(chǎn)生時(shí)域混疊景象。NM( )( )( )NxnIDFT X kx n( )X k( )x n1101(

12、 )1N NkkNzX kNW z( )Mx nNNM對(duì)點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，頻域 點(diǎn)等間隔抽樣，且 1100( )( )( )MNnnnnX zx n zx n z11001( )NNnknNnkX k WzN11001( )NNnknNknX kWzN11011( )1NkNNNkkNWzX kNWz)X(e和X(Z)內(nèi)插恢 復(fù)X(k)由j二、1.由由X(k)恢復(fù)恢復(fù)X(Z)那么：11011( )( )1NNkkNzX zX kNWz內(nèi)插公式：111( )1NkkNzzNWz內(nèi)插函數(shù)：10( )( )( )NkkX zX kz則內(nèi)插公式簡(jiǎn)化為： 內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)2()( )()

13、jjkkz eezkN ()jX e用頻域采樣用頻域采樣 恢復(fù)恢復(fù) 的內(nèi)插公式的內(nèi)插公式( )X k10()( )( )()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ( )sin2NjNeN 內(nèi)插函數(shù)：2.記住此公式，第七記住此公式，第七章數(shù)字濾波器的設(shè)章數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，我們將會(huì)看計(jì)中，我們將會(huì)看到，該公式提供了到，該公式提供了一種有用的濾波器一種有用的濾波器構(gòu)造和濾波器設(shè)計(jì)構(gòu)造和濾波器設(shè)計(jì)途徑。途徑。102 ()( ) ()NjkX eX kkN 內(nèi)插恢復(fù)過程描述：212 ()20kikNkNiikN 【例3.3.1】 長(zhǎng)度為26的三角形序列x(n)如圖3.3.1(a)所示。

14、編寫MATLAB程序驗(yàn)證頻域采樣實(shí)際。解 解題思想： 先計(jì)算x(n)的32點(diǎn)DFT，得到其頻譜函數(shù)X(ej)在頻率區(qū)間0，2 上等間隔32點(diǎn)采樣X32(k)，再對(duì)X32(k)隔點(diǎn)抽取，得到X(ej)在頻率區(qū)間0，2 上等間隔16點(diǎn)采樣X16(k)。最后分別對(duì)X16(k)和X32(k)求IDFT, 得到：繪制x16(n)和x32(n)波形圖驗(yàn)證頻域采樣實(shí)際。161616( )IDFT( )xnXk323232( )IDFT( )xnXkMATLAB求解程序ep331.m如下：%第3章例3.3.1程序ep331.% 頻域采樣實(shí)際驗(yàn)證M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb=

15、ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa, xb; %產(chǎn)生M長(zhǎng)三角波序列x(n)Xk=fft(xn, 512); %512點(diǎn)FFTx(n)X32k=fft(xn, 32); %32點(diǎn)FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點(diǎn)IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點(diǎn)抽取X32k得到X16(k)x16n=ifft(X16k, N/2); %16點(diǎn)IFFTX16(k)得到x16(n)以下繪圖部分省略。圖3.3.1 頻域采樣定理驗(yàn)證 3.4.1 用用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積 3.4.2 用用DFT進(jìn)展信號(hào)的譜分析進(jìn)展信號(hào)的譜分析3.4.1

16、 用用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積 10( )( )( )( )()( )LcLLmy nh nx nh m xnmR n( ) ( )( ) ( )H kDFT h nX kDFT x n0kL-1那么由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 Y ( k ) = D F T y ( n ) = H ( k ) X ( k ) , 0kL-1假設(shè)1.用DFT計(jì)算循環(huán)卷積 由此可見， 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算，也可在頻域計(jì)算。 由于DFT有快速算法FFT， 當(dāng)N很大時(shí)， 在頻域計(jì)算的速度快得多， 因此常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。 圖3.4.1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積的原理框圖 背景及意義：在實(shí)踐運(yùn)用中，背景

17、及意義：在實(shí)踐運(yùn)用中， 為了分析為了分析LSI系統(tǒng)或者系統(tǒng)或者對(duì)序列進(jìn)展濾波處置時(shí)，對(duì)序列進(jìn)展濾波處置時(shí)， 需求計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積。需求計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積。為了提高運(yùn)算速度，也希望用為了提高運(yùn)算速度，也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。而計(jì)算線性卷積。而與與DFT對(duì)應(yīng)的是循環(huán)卷積，為此需導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷對(duì)應(yīng)的是循環(huán)卷積，為此需導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。 假設(shè)假設(shè)h(n)和和x(n)都是有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別是都是有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度分別是N和和M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：它們的線性卷積

18、和循環(huán)卷積分別表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmRn2.循環(huán)卷積與線性卷積循環(huán)卷積與線性卷積長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為N+M-1長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為L(zhǎng) 其中， LmaxN, M 1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmiNLimy nh mx niLm R nh m x niLm R n ( )(), ()() LiLix nx niLx nmx niLm若 則可以看出， 上式中 )()()()()()(10nRiLnynyiLnymiLnxmhLilcNml yc

19、(n)等于yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。假設(shè)yl(n)的長(zhǎng)度為NM1，那么只需當(dāng)循環(huán)卷積長(zhǎng)度LNM1時(shí)，yl(n)以L為周期進(jìn)展周期延拓時(shí)才無時(shí)域混疊景象。此時(shí)取其主值序列顯然滿足yc(n)=yl(n)。由此證明了循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是： LNM1線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系)()()(nRiLnynyLilc圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1

20、867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10線性卷積與循環(huán)卷積圖示線性卷積與循環(huán)卷積圖示x(n)=1，1，1，1h(n)=1，1，1，1，1線性卷積線性卷積y(n)=1，2，3，4，4，3，2，16點(diǎn)圓周卷積點(diǎn)圓周卷積 X(n)=1，1，1，1，0，0h(0-m)=1，0，1，1，1，1 y(0)=3h(1-m)=1，1，0，1，1，1 y(1)=3h(2-m)=1，1，1，0，1，1 y(2)=3h(3-m)=1，1，1，1，0，1 y(3)=4h(4-m)=1，1，1，1，1，0 y(4)=4h(5-

21、m)=0，1，1，1，1，1 y(5)=3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 1，2，3，4，4，3，2，1 1，2，3，4，4，3， 2，1 3，3，3，4，4，3直接做圓直接做圓周卷積周卷積利用圓利用圓周卷積周卷積與線性與線性卷積的卷積的關(guān)系關(guān)系圖 3.4.3 用DFT計(jì)算線性卷積框圖 補(bǔ)L N個(gè)零點(diǎn)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L M個(gè)零點(diǎn)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTy(n)h(n)x(n) MN。假設(shè)仍選取LNM1，以L為循環(huán)卷積區(qū)間，并用上述快速卷積法計(jì)算線性卷積，那么要求對(duì)短序列補(bǔ)很多零點(diǎn)，而且長(zhǎng)序列必需全部輸入后才干進(jìn)展快速計(jì)算。因此要求存儲(chǔ)容量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，并使處置

22、延時(shí)很大，不能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處置。通常采用分段卷積。假設(shè)將x(n)均勻分段， 每段長(zhǎng)度取 M， 那么0( )( )( )( )()kkkMx nxnxnx nRnkM于是，于是， h(n)與與x(n)的線性卷積可表示為的線性卷積可表示為000( )( )( )( )( ) ( )( )( )kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n3.3.長(zhǎng)序列的分段卷積長(zhǎng)序列的分段卷積圖 3.4.4 重疊相加法卷積表示圖 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) n

23、nnnnnh(n)用用DFT計(jì)算分段卷積計(jì)算分段卷積yk (n)的方法：的方法：1 i=0；L=NM1；計(jì)算并保管H(k)=DFTh(n) L; 2 讀入x i(n)=x(n)R M(nkM)，構(gòu)造變換區(qū)間0，L-1上的序列，實(shí)踐中就是將x i (n)的M個(gè)值存放在長(zhǎng)度為M的數(shù)組中, 并計(jì)算3；4 ，n = 0,1,2,L1；5計(jì)算： 6 i =i1，前往(2)。該當(dāng)闡明，普通x(n)是因果序列，假設(shè)初始條件y-1(n)=0。 ( )()( )iiMx nx nkM Rn( )DFT ( )iiLX kx n( )( )( )iiY kH k X k ( )()( )IDFT ( )iiLiLy ny nkM R nY k1()( ),02 ()() ( ),11 ()