二次根式地概念與性質(zhì)

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案二次根式的概念與性質(zhì)耘編稿：莊永春 審稿：邵劍英 責(zé)編：張楊一、目標(biāo)認(rèn)知i1. 學(xué)習(xí)目標(biāo)：啦理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由；理解并掌握下列結(jié)論:J-亠并利用它們進(jìn)行計算和化簡.2. 重點：鬲晶；還丫 “3),及其運用3. 難點：壺利用U .,山 |,.解決具體問題、知識要點梳理制知識點一：二次根式的概念塾一般地，我們把形如7 (a 0)?的式子叫做二次根式，”稱為二次根號.要點詮釋:二次根式的兩個要素：根指數(shù)為2 ;被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)知識點二：二次根式的性質(zhì)廐文檔0)；l2.(需)=a (a 0)=| & |= *3.a (a 0)-a (a 0,0)要點詮釋：(掐)

2、=a (a (!)二次根式小(a 0)的值是非負(fù)數(shù)，其性質(zhì)可以正用亦可逆用，正用時去掉根號起到化簡的作用；逆用時可以把一個非負(fù)數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解.知識點三：代數(shù)式圍$形如5 , a, a+b , ab , x3,-這些式子，用基本的運算符號 (基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式(algebraic expression).三、規(guī)律方法指導(dǎo)由1. 如何判斷一個式子是否是二次根式？(1)必須含有二次根號，即根指數(shù)為2 ;(2)被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負(fù)的，否則在實數(shù)范圍內(nèi)無意義2. 如

3、何確定二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)要確定被開方數(shù)中所含字母的取值范圍，可根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍當(dāng)二次根式作為分母時要注意分母不能為零經(jīng)典例題透析類型一：二次根式的概念宓、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：屆丄門、宀、J(x 0)、川、卩、打、- 、“ (x 丸,y 0).思路點撥：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“】”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0 .解：二次根式有： 叮：、(x 0)、 J、 “ (x0, y0);丄I不是二次根式的有：*、y:、二 .2、當(dāng)x是多少時，丿在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？怎思路

4、點撥：由二次根式的定義可知， 被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-1 ，寧J I才能有意義._解：由3x-1 ，得：x 當(dāng)x時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.總結(jié)升華：要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).舉一反三【變式1】x是怎樣的實數(shù)時，下列各式實數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由 0,解得：x取任意實數(shù)當(dāng)x取任意實數(shù)時，二次根式十1廣 在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義由x-1 0，且x-1丸，解得：x 1當(dāng)x1時，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義【變式2】當(dāng)x是多少時1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 思路點撥：要使-在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，1必須同時滿足中的2x+3 和1中的x+1工0 .2jt + 30*解：依題意

5、，得+2。3由得：x -由得：x左13丄當(dāng)x -1且x左1時，八1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.類型二：二次根式的性質(zhì)蠢3、計算：科打；、思路點撥:我們可以直接利用(a 0)的結(jié)論解題.解: 7 1(b X)舉一反三【變式1】計算:思路點撥：因為x0,所以x+1 0 ; a2+2a+ 1=(a+1)2 0; a20;(4)4x 2-12x+9=(2x)2-2 2x 3+3 2=(2x-3) 2 0.所以上面的4題都可以運用的重要結(jié)論解題.解：因為x ，所以x+1 0a2+2a+仁(a+1)2又v(a+1) 20,.a2+2a+1 丸,=a 2+2a+1(4) 4x2-12x+9=(2x)2-2 2x 3

6、+3 2=(2x-3) 2又(2x-3) 2 04x2-12x+9 ,2-12x+9.4、化簡闔(2) *;(3)*：;思路點撥：因為(1)9=3解：(1) J=廠=3 ;2, (-4) 2=4 2 ,25=5 2 ,(-3) 2=3 2，所以都可運用“-去化簡. J 丄=J=4 ；匸=3.、填空：當(dāng)a 時,桿= ；當(dāng)av 0時，:,倂根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.囪(1)若=a，貝U a可以是什么數(shù)?若=-a，則a可以是什么數(shù)? a，則a可以是什么數(shù)?思路點撥:要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“()2 ”中的數(shù)是正數(shù),那么-a 0.因為，當(dāng)a O時,(1)根據(jù)結(jié)論求條件

7、；(2 )根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想;根據(jù)、可知仃二H，而口要大于a，只有什么時候才能保證呢?解：(1)因為*- -f ,所以a0;因為，所以a0時丫廠，要使，即使a a所以a不存在；當(dāng)a v 0時，廣要使，即使-a a,即a v 0 ;綜上，a v 0.類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用忌6、當(dāng)x=-4時，求二次根式r ：的值.詢思路點撥：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同解：將x=-4代入二次根式，得：，=.一川7、(1)已知 y=、 +5，求丁 的值.j*(2)若+幾 =0 ,求丄“的值.x 2匸解: (1)由，.，|?可得,_(2) v I -_L j ； J

8、 J口 + i = 0,/i? 1 = 0; + 1 = 0, A - 1= 0:” M 二一 hb - 1一酣+評叫_1嚴(yán)+1那=2.8、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：博(1)x2-5 ;(2)x3-2x ;解：(1)原式十“)(扃(2)原式 _-;-學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一一、選擇題1. 下列式子中，不是二次根式的是()A.IB.C.2.已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是丄D . -()以上皆不對1L 價 I I12? +3.（福建省福州市）若代數(shù)式二一-在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）B. x X)C.D .以上都不對5 . a X)時，F(xiàn)面四個選項中正確的是A. / B. * -

9、: -7?6.（遼寧省大連市）如圖，數(shù)軸上點 N表示的數(shù)可能是（）A . B .C .D . 一二、填空題1. 若不=也，貝y x =2. 若 血心 有意義，則空的取值范圍是 3. _ JO OOM=.4. J4 一疔=5. E=.6.若 J _，則：-7若+耀二0 則臉；若;-,則；8.化簡：=9. 計算：“、 =； J “；=10. （內(nèi)蒙古鄂爾多斯市）如圖，在數(shù)軸上，A、B兩點之間表示整數(shù)的點有 個.J8-J1冶 Vs三、解答題1.求下列二次根式中字母 a的取值范圍:2.某工廠要制作一批體積為1m 3的產(chǎn)品包裝盒，其高為 0.2m，按設(shè)計需要，？底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少?能

10、力提升色一、選擇題1.使式子 八有意義的未知數(shù)x有（）個A . 0B. 1C. 2D .無數(shù)2. （山西省臨汾市）若，則；與3的大小關(guān)系是（）B.-C .八13. 下列計算正確的是（）4. （福建省廈門市）下列四個結(jié)論中，正確的是 （）“3D. 二35533s/5- - - a222b422c 22、填空題1.若處，則厲2 .若血鍥是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是 L3. 已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則一 ；11a0 b三、解答題1.當(dāng)x是多少時,X+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?2.若/ +八 ：有意義，求心亠的值.3. （北京市海淀區(qū)）已知實數(shù)x，y滿足I 1 K 1 _，求代數(shù)式- 的

11、值.4. 已知上=一 ，求x+y的值.綜合探究睦1.（福建省南安市）觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律:10個數(shù)據(jù)應(yīng)是.那么第2.（江蘇省蘇州市）等式hp|二心十分十（）中的括號應(yīng)填入3 先化簡再求值：當(dāng) a=9時，求a+ ：的值，甲乙兩人的解答如下:甲的解答為：原式=a+=a+(1-a)=1；乙的解答為：原式 =a+ =a+(a-1)=2a-1=17兩種解答中， 勺解答是錯誤的，錯誤的原因是 4. 若一沁時，試化簡1 F宀5 在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：答案與解析詞基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)倉一、1.D2.B3.D4.C5.A6.B二、1.162. -3.-0.024tt-3 145.2-x6.；17.8 2aby/b

12、39.(1)；(2)6 ; (3)-610.41.解：(1)由 a+1 0 ,字母a的取值范圍是大于或等于-1的實數(shù)。J.(2) - 一 0,得 1-2a 0，即卩 av 二1字母a的取值范圍是小于 -的實數(shù)。因為無論a取何值，都有詼二匚，所以a取值范圍是全體實數(shù)。2.解：設(shè)底面邊長為 x，貝U 0.2x2=1，解答：x=十能力提升區(qū)：一、1.B2.B3.B4.D1.解：依題意得:2x + 3002工H 0當(dāng)x-且x工0時,2蘭+孑A+ x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.2.解： 工八： ,且J -有意義3.解：十-準(zhǔn)0, Jy + 4 3 0且| 工-5|+& + 4 二0上-5“= r - 5 = 0?斗4三0二弄=訓(xùn) _r二Y4 解：，:&+3AQ 訥-丁 工0且厶十 3+j4-y 二 0.- Qk+3 = 0,(4-y = 0:.-1-3=0, 4 y = 0Jr = -3S =