圖形的相似與位似--經(jīng)典題解

1、圖形的相似與位似經(jīng)典題3.1圖形的相似 （2018北京，15，5）已知，求代數(shù)式的值【解析】【答案】設a=2k,b=3k，原式=【點評】本題考查了見比設份的解題方法，以及分式中的因式分解，約分等。3.2 線段的比、黃金分割與比例的性質(zhì)（2018山東省濰坊市，題號8，分值3）8、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點E ,沿AE將ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（ ）AB C D2考點：多邊形的相似、一元二次方程的解法解答：根據(jù)已知得四邊形ABEF為正方形。因為四邊形EFDC與矩形ABCD相似所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:

2、1=1:AD 整理得：,解得由于AD為正，得到AD=，本題正確答案是B.點評：本題綜合考察了一元二次方程和多邊形的相似，綜合性強。3.3相似三角形的判定 （2018山東省聊城，11，3分）如圖，ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，下列結論不正確的是（ ）A.BC=2DE B. ADEABC C. D. 解析：根據(jù)三角形中位線定義與性質(zhì)可知，BC=2DE；因DE/BC，所以ADEABC，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC，.所以選項D錯誤.答案：D點評：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.有三角形中位線，可以得出線段倍分關系、比例關系、三角形相似、三角形面積之間關系等.（2

3、018四川省資陽市，10，3分）如圖，在ABC中，C90，將ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是AB CD（第10題圖）【解析】由MC6，NC，C90得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得對應高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得SCMN：S四邊形MABN=1:3，故選C.【答案】C【點評】本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識點.知識點豐富；考查了學生綜合運用知識來解決問題的能力.難度較大

4、.（2018湖北隨州，14,4分）如圖，點D,E分別在AB、AC上，且ABC=AED。若DE=4，AE=5，BC=8，則AB的長為_。10解析：ABC=AED，BAC=EADAEDABC，DE=10答案：10點評：本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)。利用兩三角形的相似比，通過已知邊長度求解某邊長度，是常用的一種計算線段長度的方法。3.4 相似三角形的性質(zhì) (2018重慶，12，4分)已知ABCDEF，ABC的周長為3，DEF的周長為1，則ABC與DEF的面積之比為_解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1點評：本題考查相似三角形的基本

5、性質(zhì)。（2018浙江省衢州，15，4分）如圖，ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，CD=2DE.若DEF的面積為a，則ABCD中的面積為 .(用a的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用已知得出DEFCEB，DEFABF，進而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出CEB、ABF的面積為4a、9a，然后推出四邊形BCDF的面積為8a即可.【答案】12a【點評】此題主要考查相似三角形的判定、性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，解答此題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理（2018山東省荷澤市，16(1),6）(1)如圖，DAB=CAE，請你再補充一個條

6、件_,使得ABCADE，并說明理由.【解析】從已知條件中可得出一組角對應相等，要判定兩個三角形相似，可以增加另外一組對應相等或者是這兩角的兩邊對應成比.【答案】 -2分 理由：兩角對應相等，兩三角形相似-6分【點評】判斷兩個三角形相似的條件中兩角對應相等兩三角形相似比較常用，在選擇方法一定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進行添加.（湖南株洲市6,20題）（本題滿分6分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O.（1）、求證：COMCBA； （2）、求線段OM的長度.【解析】要證明COMCBA就是要找出COM=B即可，求線段的長就是利用第（1

7、）問中的相似建立比例式，構造出OM的方程求解.【解】（1）證明： A與C關于直線MN對稱ACMNCOM=90在矩形ABCD中，B=90COM=B-1分又ACB=ACB-2分COMCBA -3分（2）在RtCBA中，AB=6，BC=8AC=10- -4分OC=5COMCBA-5分OM=-6分【點評】求證兩個三角形相似的方法主要是兩角對應相等，兩三角形相似、兩邊對應成比例及夾角相等，兩三角形相似及三邊對應成比例，兩三角形相似，求線段的長的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.（2018湖南婁底，25，10分）如圖13，在ABC中，AB=AC，B=30，BC=8，D在邊BC上，E在線段D

8、C上，DE=4，DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N. （1）求證：BMDCNE； （2）當BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？（3）設BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x 之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當x為何值時，y有最大值？并求y的最大值.BDECNAFM【解析】（1）由AB=AC，B=30，根據(jù)等邊對等角，可求得C=B=30，又由DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，易求得MDB=NEC=120，BMD=B=C=CNE=30，即可判定：BMDCNE；（2）首先過點M作MHBC，設BD=x，由以M為圓心，以MF為

9、半徑的圓與BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在RtDMH中，利用正弦函數(shù)，即可求得答案；（3）首先求得ABC的面積，繼而求得BDM的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，可求得BCN的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案【答案】（1）證明：AB=AC，B=C=30.DEF是等邊三角形，F(xiàn)DE=FED=60，MDB=NEC=120，BMD=B=C=CNE=30，BMDCNE；（2）過點M作MHBC，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，MH=MF，設BD=x，DEF是等邊三角形，F(xiàn)DE=60，B=30，BMD=FDE-B=60-30=30=B，DM=BD=x，MH=

10、MF=DF-MD=4-x，在RtDMH中，sinMDH=sin60=，解得：x=，當BD=時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切；（3）過點M作MHBC于H，過點A作AKBC于K，AB=AC，BK=BC=8=4。B=30，AK=BKtanB=4=，SABC=BCAK=8=，由（2）得：MD=BD=x，MH=MDsinMDH= x，SBDM=xx=.DEF是等邊三角形且DE=4，BC=8，EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，BMDCNE，SBDM：SCEN=，SCEN=，y=SABC-SCEN-SBDM= =（0x4），當x=2時，y有最大值，最大值為【點評】此題考查了相似三角形的判

11、定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識此題綜合性較強，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用 (2018重慶，12，4分)已知ABCDEF，ABC的周長為3，DEF的周長為1，則ABC與DEF的面積之比為_解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1點評：本題考查相似三角形的基本性質(zhì)。（2018浙江省衢州，15，4分）如圖，ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，CD=2DE.若DEF的面積為a，則ABCD中的面積為 .(用a的代數(shù)式表示)【解析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用已知得出

12、DEFCEB，DEFABF，進而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出CEB、ABF的面積為4a、9a，然后推出四邊形BCDF的面積為8a即可.【答案】12a【點評】此題主要考查相似三角形的判定、性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，解答此題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理（2018山東省荷澤市，16(1),6）(1)如圖，DAB=CAE，請你再補充一個條件_,使得ABCADE，并說明理由.【解析】從已知條件中可得出一組角對應相等，要判定兩個三角形相似，可以增加另外一組對應相等或者是這兩角的兩邊對應成比.【答案】 -2分 理由：兩角對應相等，兩三角形相似-6分【點評】判斷兩個三角形相

13、似的條件中兩角對應相等兩三角形相似比較常用，在選擇方法一定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進行添加.（2018山東泰安，17，3分）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2，BC=3，則FC與DG的面積之比為（ ）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9【解析】設CF=x，則BF=3-x，由折疊得F=BF=3-x,在RtFC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可證RtFCRtDG，AR所以SFC與SDG的面積為（：1）2=.【答案】D.【點評】本題綜合考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面

14、積比等于相似比的平方。（2018年四川省德陽市，第11題、3分）如圖，點D是ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側），如果，那么PBC的面積與ABC面積之比為A. B. C. D.【解析】連接FP, 延長AP交BC的延長線于H, 過點A、P分別作,垂足M、N.四邊形BDEF是平行四邊形，,又APBE，E、F、P共線，即,四邊形APEB是平行四邊形，EP=AB，又 EF=DB=AB=PF,PF=AB,ABHPFH,. 【答案】D.【點評】此題應用了平行四邊形，相似三角形和三角形面積的相關

15、知識，能夠合理作出輔助線是解決本題的關鍵，（2018山東省荷澤市，18,10）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC和DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：（1）試證明三角形ABC為直角三角形；（2）判斷ABC和DEF是否相似，并說明理由；（3）畫一個三角形，它的三個頂點為中的3個格點并且與ABC相似；（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）【解析】在網(wǎng)格中借助勾股定理求ABC三邊的長，然后利用勾股定理的逆定理來判斷ABC的形狀.【答案】解：（1）根據(jù)勾股定理，得，BC=5 ； 顯然有，根據(jù)勾股定理的逆定理得ABC 為直

16、角三角形（1） ABC和DEF相似根據(jù)勾股定理，得，BC=5ACBFEDP1P2P3P4P5，ABCDEF（3）如圖：P2P4 P5【點評】在網(wǎng)格中計算線段的長，勾股定理是首先的計算方法，在網(wǎng)格中證明三角形相似，常用的方法是兩邊對應成比且夾角相等或者三邊對應成比例.（2018安徽，22，12分）如圖1，在ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，BDG與四邊形ACDG的周長相等，設BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長；解：（2）求證：DG平分EDF;證：（3）連接CG，如圖2，若BDG與DFG相似，求證：BGCG.證：解析：已知三角形三邊中點連線，利用三角形中位線性質(zhì)

17、計算證明.（1）已知ABC的邊長，由三角形中位線性質(zhì)知，根據(jù)BDG與四邊形ACDG周長相等，可得.（2）由（1）的結論，利用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可證. （3）利用兩個三角形相似，對應角相等，從而等角對等邊，BD=DG=CD，即可證明.解（1）D、C、F分別是ABC三邊中點DEAB,DFAC，又BDG與四邊形ACDG周長相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG=（2）證明：BG=，F(xiàn)G=BGBF=FG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG平分EDF（3）在DFG中，F(xiàn)DG=FGD, DFG是等腰三角形,BDG與DFG相似,B

18、DG是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,則CD= BD=DG,B、CG、三點共圓,BGC=90,BGCG點評：這是一道幾何綜合題，在計算證明時，根據(jù)題中已知條件，結合圖形性質(zhì)來完成.后面的問題可以結合前面問題來做.（2018山東泰安，28，10分）如圖，E是矩形ABCE的邊BC上一點，EFAE，EF分別交AC、CD于點M、F，BGAC，垂足為G，BG交AE于點H。（1）求證：ABEECF；（2）找出與ABH相似的三角形，并證明；（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長?！窘馕觥浚?）由四邊形ABCD是矩形，可得ABE=ECF=90，又由EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE

19、=CEF，然后利用有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可證得：ABEECF；（2）由BGAC，易證得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可證得ABHECM；（3）首先作MRBC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=2，AEB=45，即可求得MR的長，又由EM=，即可求得答案【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ABE=ECF=90AEEF，AEB+FEC=90AEB+BEA=90，BAE=CEF，ABEECF.（2）ABHECM證明：BGAC，ABG+BAG=90，ABH=ECM，由（1）知，BAH=CEM，ABHECM.（3）解：作MRBC，垂足為R，AB=BE=EC=2，AB

20、：BC=MR：RC=2，AEB=45，MER=45，CR=2MR，MR=ER=RC=，EM=【點評】考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識解題時注意數(shù)形結合思想的應用，注意掌握“有兩組角對應相等的兩個三角形相似”定理的應用（2018貴州銅仁，8，4分如圖，六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2:1，則下列結論正確的是（ ）AE=2K B. BC=2HI8題圖C. 六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長 D.S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJK【解析】A、六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，E=K，故本選項錯誤； B、六邊形AB

21、CDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，BC=2HI，故本選項正確； C、六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長2，故本選項錯誤；D、六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項錯誤【解答】B.【點評】本題考查相似圖形的性質(zhì).兩個圖形相似，對應角相等，邊長的比和周長的比都等于相似比，面積比等于相似比的平方.解答此題應注意相似圖形邊長的比、周長的比、面積比與相似比之間的關系.（2018陜西5，3分）如圖，在是兩條中線，則（）A12 B23 C13 D14【解析】由

22、題意可知，為的中位線，則CEDCAB，故選D【答案】D【點評】本題主要考查了三角形的中線的定義、中位線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等.難度中等.（2018湖北咸寧，6，3分）如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1，點A的坐標為(1，0)，則E點的坐標為（ ）（第6題）yxAOCBDEFA(，0)B(，)C(，)D(2，2) 【解析】由已知得，E點的坐標就是點A坐標的倍【答案】C【點評】本題著重考查了位似圖形的坐標特點，注意本題是同向位似(2018山東日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC邊上的點，連接AE交BD于點F, 若EC=2BE,則的值是（ ）ABCDF

23、EA. B. C. D.解析：如圖，由菱形ABCD得ADBE,，所以BEFADF, 又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故=.解答：選B點評：本題主要考查了棱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確畫出圖形是解題的關鍵.（2018湖南省張家界市10題3分）已知與相似且面積比為425，則與的相似比為 【分析】相似三角形相似比等于面積比的算術平方根.【解答】與的相似比為=.【點評】相似三角形面積比等于相似比的平方.（2018山東省濱州，18，4分）如圖，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線CE和BF相交于點D，請寫出圖中的兩對相似三角形： （用相似符號連接）【解析】（）由于BDE=CDFBED

24、=CFD=90，可得BDECDF。由于A=A，AFB=AEC=90，可得ABFACE。解：（1）在BDE和CDF中BDE=CDFBED=CFD=90，BDECDF（2）在ABF和ACE中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE【答案】BDECDF，ABFACE【點評】本題考查相似三角形的判定方法三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等 (2018貴州黔西南州，17，3分)如圖5，在梯形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD相交于點O，若AD=1，BC=3，AOD的面積為3，則BOC的面積為_【解析】由題意知ADBC，所以OAD=OCB，ODA=OBC，所以OADOCB又AD=

25、1，BC=3，所以OAD與OCB的相似比為1:3，面積之比為1:9，而AOD的面積為3，所以BOC的面積為27【答案】27【點評】理解相似三角形的相似比與周長比、面積比之間的關系，是解決本題的關鍵（2018貴州遵義，7,3分）如圖，在ABC中，EFBC，=，S四邊形BCFE=8，則SABC=（）A9B10C12D13解析：求出的值，推出AEFABC，得出=，把S四邊形BCFE=8代入求出即可解：=，=，EFBC，AEFABC，=，9SAEF=SABC，S四邊形BCFE=8，9（SABC8）=SABC，解得：SABC=9故選A答案：A點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：相似三角形

26、的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目（2018湖北省恩施市，題號20 分值 8）如圖8，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落在線段EA上，折出點B的新位置B1，因而EB1=EB。類似的，在AB上折出點B11使AB11=AB1。這是B11就是AB的黃金分割點。請你證明這個結論?！窘馕觥吭OBE=1，可知BC=AB=2，AE=，由EB1=EB得AB11=AB1= -1,根據(jù)黃金分割意義AB11：AB=（-1）：2，問題得證。【答案】證明：設BE=1，則BC=AB=2，AE=，EB1=EB，AB11=AB1=

27、-1,AB11：AB=（-1）：2，B11是AB的黃金分割點?！军c評本題既考查學生閱讀理解能力，又考查考查黃金分割點的意義，難度中等。數(shù)學新課程標準非常重視培養(yǎng)學生的動手操作能力，提倡讓學生在操作中感受和體驗數(shù)學知識的形成和發(fā)展 把握折疊過程中的等邊是解答此類問題的關鍵，勾股定理是計算折疊問題中線段長度的重要工具。（2018南京市，15，2）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E為AD上一點，且BE=BC,CE=CD，則DE= 厘米.解析：BCE與CDE均為等腰三角形，且兩個底角DEC=BCE，BCECDE，=, =,DE=3.6厘米.答案：3.6.點評：在圖形中，利用

28、相似，得出比例式，可以求出線段的長.（2018湖北黃岡，25，14）如圖，已知拋物線的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m0)與x 軸相交于點B、C，與y軸相交于點E，且點B在點C的左側.(1)若拋物線C1過點M(2，2)，求實數(shù)m的值(2)在(1)的條件下，求BCE 的面積(3)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH 最小，并求出點H 的坐標(4)在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F 為頂點的三角與BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，請說明理由【解析】（1）把M(2，2)代入y=-(x+2)(x-m)即可求出m；（2）求出B、C、E三點坐標即

29、可求出SBCE； （3）利用“兩點之間，線段最短”和軸對稱的性質(zhì)可探索解題思路；（4）分兩種情況來探討解題過程，最后利用相似三角形的性質(zhì)和方程思想來解決問題.【答案】解：（1）依題意把M(2，2)代入y=-(x+2)(x-m)得：2=-(2+2)(2-m)，解得 m=4. （2）由y=0得：-(x+2)(x-4)=0 得 x1=-2，x2=4 B（-2，0） C（4，0）. 由x=0得：y=2 E（0，2） SBCE=BCOE=62=6. （3）當m=4時，C1的對稱軸為x=（-2+4）=1，點B、C關于直線x=1對稱.連EC交對稱軸于點H，則H點使得BH+EH最小.設直線EC的解析式為y=k

30、x+b，把E（0，2）、C（4，0）代入得y=-x+2，把x=1代入得H（1，）.（4）分兩種情況：當BECBCF時，則EBC=CBF=45， 即，作FTx軸于點T，可設F（x，-x-2）（x0），則-x-2=-(x+2)(x-m) x+20 x=2m，F(xiàn)（2m，-2m -2）.BF=，BE=，BC=m+2 . 解得m=，又m0，m=.當BECFCB時，則，EBC=CFB，BTFCOE，可設F（x，- （x+2）（x0），- （x+2）=-(x+2)(x-m)，x+20 x=m+2，F(xiàn)（m+2，- ），EC=，BC=m+2，BF=，整理得0=16，顯然不成立.綜上：在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點

31、F，使得以點B、C、F為頂點的三角與BCE相似，m=.【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)等知識，但解題的關鍵要充分運用方程思想和分類思想，同時解題過程中大量的數(shù)學計算和代數(shù)式變形也是不小的考驗.難度較大.（2018河南，22，10分）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整.原題：如圖1，在ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，若，求的值.（1）嘗試探究 在圖1中，過點E作交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關系是 ，CG和EH的數(shù)量關系是 ，的值是 （2）類比延伸如圖2，

32、在原題的條件下，若則的值是 （用含的代數(shù)式表示），試寫出解答過程.（3）拓展遷移 如圖3，梯形ABCD中，DCAB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F，若，則的值是 （用含的代數(shù)式表示）. 解析：（1）如圖1，利用得EHFABF，對應邊成比例得AB=3EH，然后利用中位線定理得CG=2EH，又CD=AB，得出CD與CG的關系；（2）與（1）方法道理都相同；（3）此問是（1）、（2）類比、拓展延伸，根據(jù)前面問題研究方法，要利用所給條件，所以添加如圖3，過點E作EHAB交BD的延長線于點H，則有,兩式相比就可得出（1）(2)作EHAB交BG于點H，則EHFABFAB=CD，EHABCD，

33、BEHBCG，CG=2EH（3）點評：這是一道幾何綜合題，利用平行線截三角形相似，對應線段成比例，關鍵是研究問題的方法，類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方的滲透，這類題的一層一層推進，但方法總是類似的，原理是一樣的.（2018湖北武漢，24，10分）已知ABC中，AB2，AC4，BC6（1）如圖1點M為AB的中點，在線段AC上取點N，使AMN與ABC相似，求線段MN的長；（2）如圖2,是由100個邊長為1的小正方形組成的1010正方形網(wǎng)格，設頂點在這些小正方形頂點的三角形為格點三角形，請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點A1B1C1，使得A1B1C1與ABC全等（畫出一個即可，不需證明）試直接寫出在所給的

34、網(wǎng)格中與ABC相似且面積最大的格點三角形的個數(shù)，并畫出其中的一個（不需證明）解析：1、當AMNABC時，易證MN為中位線，MN=3，當AMNACB時,有,根據(jù)AM,AC,BC的值，可求出MN。2 從整數(shù)邊BC出發(fā),選定BC,然后分別過B、C作邊2、4長即可，關鍵在于怎樣在格點中找到面積最大的相似三角形，可考慮在格點中先畫出最長的三角形最長邊（AC的對應邊）正方形對角線，從而找到最大三角形。解：1、如圖，當AMNACB時,有M為AB中點，AB=2 AM=BC=6，AC=4 MN=當AMNABC時，有ANM=C,=MN=3MN的長為或32、（1）如圖3（答案不唯一）（2）8個，如圖4（答案不唯一）

35、點評：本題既考察了相似三角形的性質(zhì)，也考察了圖形的變換作圖，在于學生需分兩種情況討論，學生容易忽略；（2）問難度在于怎樣找到相似三角形中面積最大的以及找出所有這樣的三角形的個數(shù)，解題時關鍵在于找到網(wǎng)格中的最長線段，讓它與三角形最長邊對應。題目難度較大。 (2018山東日照，21，9分) 如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點,連結AE，作BFAE，垂足為H,交CD于F,作CGAE,交BF于G. (1)求證CG=BH;(2)FC2=BFGF;(3) =.BACDHEFG解析：(1)可證ABHBCG；(2)證CFGBFC可得；(3)先證BCGBFC得BC2=BFBG,結合AB=BC可得.證明：

36、 （1）BFAE，CGAE, CGBF, CGBF. 在正方形ABCD中，ABH+CBG=90o, CBG+BCG=90o, BAH+ABH=90o,BAH=CBG, ABH=BCG, AB=BC,ABHBCG,CG=BH; (2) BFC=CFG, BCF=CGF=90 o,CFGBFC, ,即FC2=BFGF; (3) 由（2）可知，BC2=BGBF,AB=BC,AB2=BGBF, =即= 點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的條件.（2018，黔東南州，21）如圖，O是ABC的外接圓，圓心O在A

37、B上，過點B作O的切線交AC的延長線于點D。（1）求證：ABCBDC。（2）若AC=8，BC=6，求BDC的面積。解析：第（1）小題要證三角形相似，由題意只需證兩角相等即可.第（2）小題要利用相似三角形的對應邊成比例求出 的長，這樣就可以求出BDC的面積 .解：(1)證明：., . 又, ABCBDC.(2)ABCBDC,.點評：本題以基本圖形：三角形與圓相結合為背景，綜合考察了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的面積計算等知識，是一道比較簡單的題目，能讓學生發(fā)揮自己的思維水平，難度較小.（2018四川宜賓，24，12分）如圖，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF

38、，將DEF與ABC重合在一起，ABC不動，DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經(jīng)過點A,EF與AC交于M點。（1） 求證：ABEECM;（2） 探究：在DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；（3） 當線段AM最短時，求重疊部分的面積?！窘馕觥浚?）由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，可得B=C，又由ABCDEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得CEM=BAE，則可證得：ABEECM；（2）首先由AEF=B=C，且AMEC，可得AEAM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；（3

39、）首先設BE=x，由ABEECM，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得CM=+x=（x3）2+，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積【答案】（1）證明：AB=AC,B=C,又AEF+CEM=AEC=B+BAE又ABCDEF,AEF=B,CEM=BAE,ABEECM（2）解：AEF=B=C,且AMECAMEAEF,AEAM當AE=EM時，則ABEECMCE=AB=5，BE=BC-EC=1當AM=EM時，MAE=MEAMAE+BAE=MEA+CEM即CAB=CAE又C=C,CAECBA,CE=,BE=6-=（3）解：設BE=x，又ABEECM,CM=

40、+AM=5-CM=5-+=+,當x=3時，AM最短為，又當BE=x=3=,點C為BC的中點，AEBC,AE=4此時，EFAC,EM=,SAEM=【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題此題難度較大，注意數(shù)形結合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應用是解此題的關鍵本小題也可以用幾何法求解。（2018年廣西玉林市，10，3）如圖，正方形ABCD的兩邊BC、AB分別在平面直角坐標系內(nèi)的x軸、y軸的正半軸上，正方形ABCD與正方形ABCD是以AC的中點O為中心的位似圖形，已知AC=，若點A的坐標為（1，2），則正方形ABCD與正方形ABCD的相似比是（）分析：

41、延長AB交BC于點E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比解：在正方形ABCD中，AC=BC=AB=3，延長AB交BC于點E，點A的坐標為（1，2），OE=1，EC=AE=3-1=2，正方形ABCD的邊長為1，正方形ABCD與正方形ABCD的相似比是 故選B點評：本題考查了位似變換和坐標與圖形的變化的知識，解題的關鍵是根據(jù)已知條件求得兩個正方形的邊長（2018年吉林省，第25題、10分）如圖，在ABC中，A=90，AB=2cm,AC=4cm,動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度

42、向點A運動當點P到達點B時，P, Q兩點同時停止運動以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QFBC,交AC于點F.設點P的運動時間為t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面積為Scm（1）當t=_s時，點P與點Q重合；（2）當t=_s時，點D在QF上；（3）當點P在Q, B兩點之間（不包括Q, B兩點）時，求S與t之間的函數(shù)關系式【解析】(1)由于P, Q的運動速度相同都是1cm/s，所以P, Q重合的點是AB的中點(2) 由QFBC可證AQFABC,得出比例式，問題得證（2） 要分兩種情況：當時，重合部分的圖形是直角梯形確定上下底和高需證FEGFAQ和AQFABC.當時，重合部分

43、的圖形是六邊形它的面積【答案】（1）P, Q的運動速度都是1cm/s,P, Q在AB的中點重合當t=1s時，P, Q重合（2） QFAC即AF=4-2t又DPAF即（3）當1t時，如圖1、圖2.FQBC即AF=4-2t，EF=4-3t又DEABFEGFAQ得，EG=GD=t-()=QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2S=當時，由AFQABC得，,AF=4-2x.同理由CEHCBA可得EH=，HD=；BPGBAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4S= = =【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，利用分類討論思想進行分析即可得出答案是解題關鍵（2018陜西18，6分）如圖，在中，的平分線分別與、交于點、（1）求證：；（2）當時，求的值【解析】（1）由等角對等邊來進行證明；（2）由先求出，再求.【答案】解：（1）