MATLAB符號運算運用

1、 符號計算是對未賦值的符號對象(可以是常數(shù)、變量、表達式)進行運算和處理。MATLAB具有符號數(shù)學工具箱(Symbolic Math Toolbox)，將符號運算結(jié)合到MATLAB的數(shù)值運算環(huán)境。符號數(shù)學工具箱是建立在Maple軟件基礎(chǔ)上的。3.1 3.1 符號表達式的建立符號表達式的建立3.1.1 創(chuàng)建符號常量創(chuàng)建符號常量符號常量是不含變量的符號表達式，用sym命令來創(chuàng)建符號常量。語法：語法：sym(常量常量) %創(chuàng)建符號常量例如： a=sym(sin(2)a =sin(2)3.1.2 3.1.2 創(chuàng)建符號變量和表達式1. 使用使用sym命令創(chuàng)建符號變量和表達式命令創(chuàng)建符號變量和表達式語法：

2、語法： sym(表達式表達式) %創(chuàng)建符號表達式 符號變量名符號變量名=sym(表達式表達式) %符號表達式賦給 符號變量2.使用使用syms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式syms用于創(chuàng)建多個多個符號變量語法：語法：syms(arg1, arg2, ,參數(shù)參數(shù)) %把字符變量定義為符號變量syms arg1 arg2 ,參數(shù)參數(shù) %把字符變量定義為符號變量的簡潔形式簡潔形式【例例】使用syms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式。 syms a b c x %創(chuàng)建多個符號變量創(chuàng)建多個符號變量 f2=a*x2+b*x+c %創(chuàng)建符號表達式創(chuàng)建符號表達式 f2 =a*x2+b*x

3、+c syms(a,b,c,x) f3=a*x2+b*x+c; %創(chuàng)建符號表達式創(chuàng)建符號表達式 3.1.3 3.1.3 符號矩陣用sym和syms命令也可以創(chuàng)建符號矩陣。例如， A=sym(a,b;c,d) A = a, b c, d syms a b c d A=a b;c d A = a, b c, d 3.2 3.2 符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算 符號運算不需要進行數(shù)值運算，不會出現(xiàn)截斷誤差，因此符號運算是非常準確的。符號運算可以得出完全的封閉解或任意精度的數(shù)值解。符號運算的時間較長，而數(shù)值型運算速度快。3.2.1 3.2.1 符號表達式的代數(shù)運算1. 符號運算中的運算符符號

4、運算中的運算符(1) 基本運算符運算符“”，“”，“*”，“”，“/”，“”分別實現(xiàn)符號矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。運算符“.*”，“./”，“.”，“.”分別實現(xiàn)符號數(shù)組的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運算。運算符“”，“.”分別實現(xiàn)符號矩陣的共軛轉(zhuǎn)置、非共軛轉(zhuǎn)置。(2) 關(guān)系運算符在符號對象的比較中，沒有沒有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。運算符“= =”、“=”分別對運算符兩邊的符號對象進行“相等”、“不等”的比較。當為“真”時，比較結(jié)果用1表示；當為“假”時，比較結(jié)果則用0表示。2. 函數(shù)運算函數(shù)運算(1) 三角函數(shù)和雙曲

5、函數(shù)三角函數(shù)包括sin、cos、tan；雙曲函數(shù)包括sinh、cosh、tanh；三角反函數(shù)除了atan2函數(shù)僅能用于數(shù)值計算外，其余的asin、acos、atan函數(shù)在符號運算中與數(shù)值計算的使用方法相同。(2) 指數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)sqrt、exp的使用方法與數(shù)值計算的完全相同；對數(shù)函數(shù)在符號計算中只有自然對數(shù)log(表示ln)，而沒有數(shù)值計算中的log2和log10。(3) 復數(shù)函數(shù)復數(shù)的共軛conj、求實部real、求虛部imag和求模abs函數(shù)與數(shù)值計算中的使用方法相同。但注意，在符號計算中，MATLAB沒有提供求相角的命令。(4) 矩陣代數(shù)命令MATLAB提供的常用矩陣代數(shù)命令有d

6、iag，triu，tril，inv，det，rank， poly，eig 、expm等，它們的用法幾乎與數(shù)值計算中的情況完全一樣?！纠壳缶仃嚨男辛惺街?、非共軛轉(zhuǎn)置和特征值。 syms a11 a12 a21 a22 A=a11 a12;a21 a22 %創(chuàng)建符號矩陣創(chuàng)建符號矩陣 A = a11, a12 a21, a22 det(A) %計算行列式計算行列式 ans =a11*a22-a12*a21 A. %計算非共軛轉(zhuǎn)置計算非共軛轉(zhuǎn)置 ans = a11, a21 a12, a22 eig(A) %計算特征值計算特征值 【例】符號表達式f=2x2+3x+4與g=5x+6的代數(shù)運算。f=sy

7、m(2*x2+3*x+4)f =2*x2+3*x+4 g=sym(5*x+6) g =5*x+6 f+g %符號表達式相加符號表達式相加 ans =2*x2+8*x+10 f*g %符號表達式相乘符號表達式相乘 ans =(2*x2+3*x+4)*(5*x+6) 1. 1. 自由變量的確定原則 小寫字母i和j不能作為自由變量。 符號表達式中如果有多個字符變量，則按照以下順序選擇自由變量：首先選擇x作為自由變量；如果沒有x，則選擇在字母順序中最接近x的字符變量；如果與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先。 大寫字母比所有的小寫字母都靠后。 2.2. findsymfindsym函數(shù) 如果不確定符號表達式

8、中的自由符號變量，可以用findsym函數(shù)來自動確定。 語法： findsym(f,n)findsym(f,n) %確定自由符號變量 說明：f可以是符號表達式或符號矩陣；n為按順序得出符號變量的個數(shù)，當n省略時，則不按順序得出f中所有的符號變量。3.2.2 3.2.2 符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換1、符號表達式中自由變量的確定、符號表達式中自由變量的確定 2、符號表達式的化簡、符號表達式的化簡(1) pretty函數(shù)函數(shù) 將給出排版形式的輸出結(jié)果。(2) collect函數(shù)函數(shù) (3) expand函數(shù)函數(shù) (4) horner函數(shù)函數(shù) (5) factor函數(shù)函數(shù) (6) simplify函數(shù)函數(shù)

9、 (7) simple函數(shù)函數(shù) 調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。3 3、符號表達式的替換 MATLAB 中，可以通過符號替換使表達式的形式簡化。符號工具箱中提供了兩個函數(shù)用于表達式的替換：1 1subesubexprxpr 該函數(shù)自動將表達式中重復出現(xiàn)的比較長的子表達式或字符串用變量替換，該函數(shù)的調(diào)用格式為： subexpr(s,s1)，指定用符號變量 s1 來代替符號表達式s（可以是矩陣）中重復出現(xiàn)的字符串。替換后的結(jié)果由 ans 返回，被替換的字符串由 s1返回； Y,s1 = subexpr(X,s1)，該命令與上面的命令不同之處在于第二個參數(shù)為字符串，該

10、命令用來替換表達式中重復出現(xiàn)的字符串。 2. subs2. subs 函數(shù) subs 可以用指定符號替換表達式中的某一特定符號。 subs(s) subs(s, new) subs(s,old,new)4、求反函數(shù)和復合函數(shù)、求反函數(shù)和復合函數(shù)語法：語法：finverse(f,v) %對指定自變量v的函數(shù)f(v)求反函數(shù) compose(f,g) %計算復合函數(shù)f(g(x) 5 5、 符號表達式與多項式的轉(zhuǎn)換 構(gòu)成多項式的符號表達式f(x)可以與多項式系數(shù)構(gòu)成的行向量進行相互轉(zhuǎn)換，MATLAB提供了函數(shù)sym2poly和poly2sym實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換。【例例1】將符號表達式2x+3x2+1轉(zhuǎn)換為

11、行向量。 f=sym(2*x+3*x2+1) f =2*x+3*x2+1 sym2poly(f) %轉(zhuǎn)換為按降冪排列的行向量轉(zhuǎn)換為按降冪排列的行向量ans = 3 2 1 【例例2】將行向量轉(zhuǎn)換為符號表達式。 g=poly2sym(1 3 2) %默認默認x為符號變量的符號表達式為符號變量的符號表達式g =x2+3*x+2 3.3 3.3 符號極限、微積分和級數(shù)求和符號極限、微積分和級數(shù)求和 3.3.1 符號極限符號極限 假定符號表達式的極限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表達式極限的函數(shù)limit，函數(shù)limit的基本用法如表所示。3.3.2 3.3.2 符號微分

12、函數(shù)diff是用來求符號表達式的微分。語法：語法： diff(f)%求f對自由變量的一階微分 diff(f,t)%求f對符號變量t的一階微分 diff(f,n)%求f對自由變量的n階微分 diff(f,t,n) %求f對符號變量t的n階微分3.3.3 3.3.3 符號積分 積分有定積分和不定積分，運用函數(shù)int可以求得符號表達式的積分。語法：語法：int(f,t) %求符號變量t的不定積分int(f,t,a,b) %求符號變量t的積分int(f,t,m,n) %求符號變量t的積分說明說明：t為符號變量，當t省略則為默認自由變量；a和b為數(shù)值，a,b為積分區(qū)間；m和n為符號對象，m,n為積分區(qū)間

13、；與符號微分相比，符號積分復雜得多。因為函數(shù)的積分有時可能不存在，即使存在，也可能限于很多條件，MATLAB無法順利得出。當MATLAB不能找到積分時，它將給出警告提示并返回該函數(shù)的原表達式。3.3.4 3.3.4 符號級數(shù)1. symsum函數(shù)函數(shù)語法：語法：symsum(s,x,a,b)%計算表達式s的級數(shù)和.說明：x為自變量，x省略則默認為對自由變量求和；s為符號表達式；a,b為參數(shù)x的取值范圍。2. taylor函數(shù)函數(shù)語法：語法：taylor (F,x,n) %求泰勒級數(shù)展開說明：x為自變量，F(xiàn)為符號表達式；對F進行泰勒級數(shù)展開至n項，參數(shù)n省略則默認展開前5項?！纠壳蠹墧?shù) 1+x

14、+x2+xk+的和。syms x ksyms x k s1=symsum(1/k2,1,10) s1=symsum(1/k2,1,10) %計算級數(shù)的前1010項和 s1 =1968329/1270080 s2=symsum(1/k2,1,inf) s2=symsum(1/k2,1,inf) %計算級數(shù)和 s2 =1/6*pi2 s3=symsum(xk,k,0,inf) s3=symsum(xk,k,0,inf) %計算對k k為自變量的級數(shù)和 s3 =-1/(x-1) 222k131211【例】求ex的泰勒展開式 syms x syms xs1=taylor(exp(x),8) s1=ta

15、ylor(exp(x),8) %展開前8 8項 s1 =1+x+1/2*x2+1/6*x3+1/24*x4+1/120*x5+1/720*x6+1/5040*x7 s2=taylor(exp(x) s2=taylor(exp(x) %默認展開前5 5項 s2 =1+x+1/2*x2+1/6*x3+1/24*x4+1/120*x5 3.43.4 符號方程的求解符號方程的求解3.4.1 代數(shù)方程代數(shù)方程語法：語法：solve(eq,v) %求方程關(guān)于指定變量的解solve(eq1, eq2,v1,v2,) %求方程組關(guān)于指定變量的解 說明說明：eq可以是含等號的符號表達式的方程，也可以是不含等號的

16、符號表達式，但所指的仍是令eq=0的方程；當參數(shù)v省略時，默認為方程中的自由變量；其輸出結(jié)果為結(jié)構(gòu)數(shù)組類型。3.4.2 3.4.2 符號常微分方程語法：語法：dsolve(eq,con,v) %求解微分方程dsolve(eq1,eq2,con1,con2,v1,v2) %求解微分方程組說明說明：eq為微分方程；con是微分初始條件，可省；v為指定自由變量，省略時則默認為x或t為自由變量；輸出結(jié)果為結(jié)構(gòu)數(shù)組類型。當y是因變量時，微分方程eq的表述規(guī)定為：y的一階導數(shù) 表示為Dyy的n階導數(shù) 表示為Dny微分初始條件con應(yīng)寫成y(a)=b，Dy(c)=d的格式。dydxnnd ydx3. 5 3

17、. 5 符號積分變換符號積分變換3.5.1 傅里葉傅里葉(Fourier)變換及其反變換變換及其反變換1. fourier變換變換語法：語法：Ffourier(f,t ,w) %求時域函數(shù)f(t)的fourier變換F說明：返回結(jié)果F是符號變量w的函數(shù)，當參數(shù)w省略，默認返回結(jié)果為w的函數(shù)；f為t的函數(shù)，當參數(shù)t省略，默認自由變量為x。2. fourier反變換反變換語法：語法：f=ifourier (F) %求頻域函數(shù)F的fourier反變換f(t)f=ifourier (F,w,t) 【例】計算f(t)= 的fourier變換F以及F的fourier反變換。syms t wsyms t w

18、 F=fourier(1/t,t,w) F=fourier(1/t,t,w) %fourier%fourier變換 F =i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w) f=ifourier(F,t) f=ifourier(F,t) %fourier%fourier反變換 f =1/t f=ifourier(F) f=ifourier(F) %fourier%fourier反變換默認x x為自變量 f =1/x 程序分析：其中Heaviside(t)是單位階躍函數(shù) ，函數(shù)名為數(shù)學家Heaviside的名字。t10t0t013.5.2 3.5.2 拉普拉斯(Laplace)(Laplace)變換 及其反變換1. Laplace變換變換語法：語法：F=laplace(f,t,s) %求時域函數(shù)f的Laplace變換F說明：返回結(jié)果F為s的函數(shù)，當參數(shù)s省略，返回結(jié)果F默認為s的函數(shù)；f為t的函數(shù)，當參數(shù)t省略，默認自由變量為t。2. Laplace反變換反變換語法：語法：filaplace(F,s,t)%求F的Laplace反變換f【例】求sin(at)和階躍函數(shù)的Laplace變換。 syms a t s syms a t s F1=laplace(si