因式分解(超全方法)(1)

1、因式分解的常用方法第一局部：方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的根本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法 靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需 的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，開(kāi)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú) 特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組 分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材根底上，對(duì)因式分解 的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹.、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)、運(yùn)用公式法 在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)假設(shè)干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公

2、式，例如:(1) (a+b)(a-b) = a-b2 2-b =(a+b)(a-b);2 2 2(2) (a b) = a 2ab+b2 2 2ab+b =(a b);2 2(a+b)(a -ab+b ) =a +b a3+b3=(a+b)(a2 2-ab+b );2233(4) (a-b)(a +ab+b) = a -b33-b =(a-b)(a2 2+ab+b).F面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式:2 2 2 2a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c);(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)例a, b, c是ABC的三邊，且a2b2

3、ab bc ca,貝U ABC的形狀是A.直角三角形 B 等腰三角形 C等邊三角形三、分組分解法.一分組后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bnD等腰直角三角形例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx練習(xí)：分解因式 1、a2 ab ac bc 2xy x y 1二分組后能直接運(yùn)用公式 例3、分解因式：x2 y2 ax ay例4、分解因式：a2 2ab b2 c2練習(xí)：分解因式 3、x2 x 9y2 3y 4、x2 y2 z2 2yz綜合練習(xí)：(1) x3 x2y xy2 y32 2(2) ax bx bx ax a b(3) x26xy 9y216a2 8a 12 2(4

4、) a 6ab 12b 9b 4a(5) a4 2a3 a29(6) 4a2x 4a2 y b2x b2y(7) x2 2xy xz yz y2(8) a2 2a b2 2b 2ab 1(9) y(y 2)(m 1)(m 1)(10) (a c)(a c) b(b 2 a)(11) a2 (b c) b2(a c) c2(a b)2abc( 12) a3 b3c33abc四、十字相乘法(一)二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)進(jìn)行分解。特點(diǎn)：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字

5、相乘有什么根本規(guī)律例.Ov a _ a.c = (a2 -H ab)(；)二()；15. 當(dāng)m= , x2+ 2(m 3)x + 25是完全平方式.二、選擇題：1. 以下各式的因式分解結(jié)果中，正確的選項(xiàng)是 A. a2b+ 7ab b= b(a2 + 7a)B. 3x2y 3xy 6y=3y(x 2)(x + 1)3131C. 8xyz 6x2y2 = 2xyz(4 3xy)D. 2a2 + 4ab 6ac= 2a(a + 2b 3c)2. 多項(xiàng)式m(n 2) m2(2 n)分解因式等于A. (n 2)(m + m2)m2)C. m(n 2)(m + 1)D1)3. 在以下等式中，屬于因式分解的

6、是 B . (n 2)(m.m(n 2)(m A. a(x y) + b(m+ n) = ax+ bm- ay+ bnB. a2 2ab+ b2 + 仁(a b)2 + 1C. 4a2 + 9b2 = ( 2a+ 3b)(2a + 3b)D. x2 7x 8=x(x 7) 84. 以下各式中，能用平方差公式分解因式的是A. a2 + b2B. a2 + b2C. a2 b2D. ( a2) + b25. 假設(shè)9x2+ mxy+ 16y2是一個(gè)完全平方式，那么 m的值是 A. 12B. 24C. 12D. 126. 把多項(xiàng)式an+4 an+1分解得 A. an(a4 a)B. an-1 (a 3

7、 1)C. an+1 (a 1)(a 2 a+1)D . an+1(a 1)(a 2+ a+ 1)7. 假設(shè) a2 + a= 1,貝U a4 + 2a3 3a2 4a+ 3 的值為A. 8B . 7C. 10D. 128. X2 + y2 + 2x 6y + 10=0，那么x, y的值分別為A.x=1,y=3B .x=1,y= 3C. x= 1 , y=3D . x=1,y= 39. 把(m2 + 3m)4 8(m2 + 3m)2 + 16 分解因式得 A. (m+ 1)4(m+ 2)2B. (m 1)2(m 2)2(m2 + 3m2)C. (m+ 4) 2(m 1)2D. (m+ 1)2(m

8、+ 2)2(m2 + 3m2)210. 把x2 7x 60分解因式，得 A. (x 10)(x + 6)B . (x + 5)(x12)C. (x + 3)(x 20)D . (x 5)(x+ 12)11. 把3X2 2xy 8y2分解因式，得 A. (3x + 4)(x 2)B . (3x4)(x + 2)C. (3x + 4y)(x 2y)D . (3x4y)(x + 2y)12. 把a(bǔ)2 + 8ab 33b2分解因式，得 A. (a + 11)(a 3)B . (a11b)(a 3b)C. (a + 11b)(a 3b)D. (a 11b)(a + 3b)13把X4 3X2 + 2分解因

9、式，得 A.(X2 2)(x 2 1)B . (x22)(x + 1)(x 1)C.(X2+ 2)(x 2 + 1)D .(X2+ 2)(x + 1)(x 1)14. 多項(xiàng)式X2 ax bx+ ab可分解因式為 A. (x + a)(x + b)B . (xa)(x + b)C. (x a)(x b)D . (x+ a)(x + b)15. 個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，其X2項(xiàng)的系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng) 是-12,且能分解因式，這樣的二次三項(xiàng)式是 B. X2 x 12 或 X2 + X 12C. X2 4x 12 或 X2 +4x 12D. 以上都可以16. 以下各式 X3 X2 x+ 1, X2 + y

10、xy x, x2 2x y2 + 1, (x 2+ 3x) 2 (2x + 1)2中，不含有(X 1)因式的有 A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)17. 把9 X2+ 12xy 36y2分解因式為 A. (x 6y + 3)(x 6x 3)B. (x 6y+ 3)(x 6y 3)C. (x 6y + 3)(x + 6y 3)18.以下因式分解錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.a2 be + ac ab=(a b)(a + c)B.ab 5a+ 3b 15=(b 5)(a + 3)C.x2 + 3xy 2x 6y=(x + 3y)(x 2)D.x2 6xy 1 + 9y2=(x + 3y+ 1)(x + 3

11、y 1)19.a2X2 2x+ b2是完全平方式，且 a,b都不為零,那么a與b的關(guān)系為A.互為倒數(shù)或互為負(fù)倒數(shù)B .互為相反數(shù)C.相等的數(shù)意有理數(shù)20.對(duì)X4+ 4進(jìn)行因式分解，所得的正確結(jié)論是B .有因式A.不能分解因式D . (xyC. (xy + 2)(xy 8)2)(xy 8)21.把 a4 + 2a2b2 + b4 a2b2 分解因式為A. (a2 + b2+ ab)2+ b2 ab) B. (a 2+ b2+ ab)(a 2C. (a 2 b2 + ab)(a 2 b2 ab)ab)2D. (a2+ b2 22. (3x 1)(x + 2y)是以下哪個(gè)多項(xiàng)式的分解結(jié)果A. 3x2

12、 + 6xy x 2y+ x 2yC. x+ 2y+ 3x2+ 6xy3x2 6xy23. 64a8 b2因式分解為 B.3x26xyD. x+2yA. (64a4 b)(a 4 + b)B . (16a2b)(4a 2+ b)C. (8a 4 b)(8a 4 + b)D. (8a 2b)(8a4 + b)24. 9(x y)2 + 12(x2y2) + 4(x + y) 2 因式分解為 A. (5x y) 2B. (5x + y) 2C. (3x 2y)(3x + 2y)D . (5x 2y)225. (2y 3x)2 2(3x 2y) + 1 因式分解為 A. (3x 2y 1)2B. (

13、3x + 2y + 1)2C. (3x 2y+ 1)2D. (2y 3x 1)226. 把(a + b)2 4(a2 b2) + 4(a b) 2 分解因式為B. (3b + a)2A. (3a b)2C. (3b a)2D. (3a + b)227.把 a2(b + c)2為2ab(a c)(b + c) + b2(a c) 2 分解因式 A. c(a + b)2B. c(a b)2C. C2(a + b)2D. c2(a b)28.假設(shè) 4xy 4x2 -值為y2 k有一個(gè)因式為(1 2x+ y)，貝U k的 A. 0B. 1C. 1D. 429.分解因式3a2x 4b2y 3b2x+ 4

14、a2y，正確的選項(xiàng)是4141A. (a 2 + b2)(3x + 4y)b)(a + b)(3x + 4y)B. (a C. (a 2 + b2)(3x 4y)b)(a + b)(3x 4y)D. (a30.分解因式2a2 + 4ab+ 2b2 8c2，正確的選項(xiàng)是A. 2(a + b 2c)+ b+ c)(a + b c)C. (2a + b+ 4c)(2a + b 4c)+ b 2c)三、因式分解： B. 2(aD .2(a + b+ 2c)(a1. n(p q) p+ q；2. a(ab + bc+ ac) abc；3. x4 2y4 2x3y + xy3；4. abc(a2 + b2

15、+ c2) a3bc+ 2ab2c2；5. a2(b c) + b2(c a) + C2(a b)；6. (x2 2x) 2 + 2x(x 2) + 1;7. (x y) 2+ 12(y x)z + 36z2；8. x2 4ax+ 8ab 4b2；9. (ax + by)2 + (ay bx)2 + 2(ax + by)(ay bx)；10. (1 a2)(1 b2) (a2 1)2(b2 1)2；11. (x + 1)2 9(x 1)2；12. 4a2b2 (a2+ b2 c2)2；13. ab2 ac2 + 4ac 4a；14. X3n+y3n;15. (x + y) 3 + 125；16

16、. (3m 2n)3+ (3m+ 2n)3；17. X6(x2 y2) + y6(y2 x2)；18. 8(x + y)3 + 1；19. (a + b + c) 3 a3 b3 c3；20. x2+4xy+3y2；21. X2 + 18x 144;22. X4 + 2x2 8;23. n4 + 18n2 17;24. X5 2x3 8x;25. x8 + 19x5 216x2；26. (x 2 7x)2+ 10(x2 7x) 24;27. 5+ 7(a + 1) 6(a + 1)2;28. (X2+ x)(x 2 + x 1) 2;29. X2 + y2 x2y2 4xy 1;30. (x

17、1)(x 2)(x 3)(x 4) 48;31. X2 y2 x y;32. ax2 bx2 bx+ ax 3a+ 3b;33. n4 + n2 + 1;34. a2 b2 + 2ac+ c2;35. a3 一 ab2 + a b;36. 625b4 (a b)4 ；37. x6 y6+ 3x2y4 3x4y2;38. x2 + 4xy + 4y2 2x 4y 35;39. m2 a2 + 4ab 4b2；40. 5m 5n n2 + 2mr n2 .四、證明(求值)：1 . a+ b=0,求 a3 2b3 + a2b 2ab2 的值.2. 求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1, 一定是一個(gè)完全平 方數(shù).3. 證明：(ac bd)2 + (be + ad)2=(a2 + b2)(c 2 + d2).4 . a=k+ 3, b=2k+ 2, e=3k 1，求 a2 + b2 + e2 + 2ab 2be 2ae 的值.5 .假設(shè) x2+ mx+ r=(x 3)(x + 4)，求(m+ r)2 的值.6. 當(dāng)a為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+ 7xy + ay2 5x+ 43y 24可以 分解為兩個(gè)一次因式的乘積.7. 假設(shè)x, y為任意有理數(shù)，比擬6xy與x2 + 9y2的大小.8兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù).解法