曲線積分與曲面積分知識題目解析

1、第十一章 曲線積分與曲面積分第三節(jié) Green公式及其應(yīng)用1 .利用Green公式，計(jì)算下列曲線積分:22(1) xy dy x ydx，其中L為正向圓周L解：由Green公式，得0xy2dyx2ydx2 2 2(x2 y2)dxdy 2 0D3r3dr 810 2其中D為(eyLy)dx(xey2y)dy，其中 L 為以 0(0,0), A(1,2)及 B(1,0)為頂點(diǎn)的三角形負(fù)向邊界;解：由Green公式，得(ey y)dx (xey 2y)dyL(ey ey 1)dxdy dxdy 1。DD2 2 2 2*(3)x ydx xy dy，其中L為x y 6x的上半圓周從點(diǎn)LA(6,0)到

2、點(diǎn)O(0,0)及x2 y2 3x的上半圓周從點(diǎn)0(0,0)到點(diǎn) B(3,0)連成的弧AOB ；解：連直線段AB，2 2x ydx xy dyL15 34cos4 d0*(4)l: x2使L與bA圍成的區(qū)域?yàn)镈，由Gree n公式，得(y2D154x2)dxdyBAx2ydxxy2dy02d6cos 3r dr 03cos65436.ydx xdy2 2L x y，其中L為正向圓周(y 1)24.Q 篤昱，(x,y) (0,0)。因?yàn)閤 (x2 y2)作足夠小的圓周2 2y r ,取逆時(shí)針方向，記 L與I圍成的閉區(qū)域?yàn)镈，由 Green 公式，得A羋欝0,故幼X y2r2s in2oA ydx

3、xdyV x y代 ydx xdy2 2 r cos2 計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲線積分：ex(1 2cosy)dx 2exsinydy,其中 L為曲線 y sinx上由點(diǎn)LA( ,0)到點(diǎn)0(0,0)的一段弧；解：P ex(1 2cos y), Q 2exsiny，2ex sin y故積分與路徑無關(guān)，取A( ,0)經(jīng)x軸到點(diǎn)0(0,0)的一條路徑,從而原式= ex(1 2cos y)dx 2exsin ydyexdx e 1 。*3 設(shè)函數(shù)f(u)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明對任何光滑封閉曲線L，有J(xy)(ydx xdy) 0.P證明：Qf(xy)xyf (xy)，記L圍成的閉區(qū)域?yàn)?D,由Green

4、yx公式，得Lf (xy)( ydxxdy)0dxdy 0.D第四節(jié)對面積的曲面積分1 填空題：2 2(1)設(shè)為球面xy2z 1 ,貝U dS4: 面密度 (x, y,z) 3的光滑曲面的質(zhì)量M 3 dS.2 計(jì)算下列對面積的曲面積分:(1)(2x y 2z)dS，其中為平面x yz 1在第一卦限的部分;解:Dxy (x,y)|x y 1,x0,y 0, z1 x y, dS . 3dxdy解:dS原式二(2 xDxyzdS,其中Dxy (x, y) |原式y(tǒng) 2(1 xy) 3dxdy3 0dxx(2 y)dy*(3)dS(1 x2，其中y)z 1, x 0, y0,z0圍成四面1x2)dx

5、 三2 6為 z (x222 2x y 2x2 y2 dxdy體的整個(gè)邊界.y2) (z1)的部分;解:(r, )|02,01：z其中y,Dxy ： X1,dS 3dxdy,D”2(x2必廠口幼Q2(r21) 1、.1 r2dr2r3 . 1 r2dr02：x3：y4：z0,Dyz： y0,Dzx： x0, Dxy : x1,dS1,dS1,dSdzdy,dxd z，dxdy o-3/2 _0 (1r2)、1 r2dr2 令虻 1)原式dS(1 x y)21234、3dxdydydz dxdzDxy(1 x y)2 Dyz(1 y)2 Dzx(1 x)2Dxydxdy(1 x y)2(31 1

6、1)0dx 0dy(1 x y)21* 1ydz0 (1 y)2 01 dx0 (1 x)21 xdz0C31)2)dx(.3 1)l n23,32第七節(jié) Stokes公式*環(huán)流量與旋度1 利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分:23222逆時(shí)針方向;(1) x y dx dy zdz， 為 xOy 面內(nèi)圓周 x y a解：取 為平面z 0的下側(cè)被 圍成的部分，D為 在xOy面上的投影區(qū)域。原式=由Stokes公式,dydzdzdxdxdy (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz，為平面 x y z 1在第一卦限部分三角形的邊界，從x軸正向看去是逆時(shí)針方向;3x2y2dxdy3x

7、2 y2dxdya6D8z)dS(x y213y2 2 z x43 dS的單位法向量dSl 5sin x tan ydx x3dy1設(shè)L是以點(diǎn)(0,0) , (0,1) , (1,1)為頂點(diǎn)的三角形正向邊界，則2Lxy dx 2xydy 0；曲線積分l F(x, y)(ydx xdy)與路徑無關(guān)，則可微函數(shù)F (x, y)應(yīng)滿第十一章綜合練習(xí)題1 填空題：2 2(1)已知L為橢圓X 1，其周長為a，則：(2xy 3x2 4y2)ds43L12a；已知L為直線x 1上從點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)(1,3)的直線段，則足條件_xFx yFy；*(5)設(shè)為平面x(y2 z2)dydzy z 1在第一卦限的部分

8、，取上側(cè)，則2 2 22(z x )dzdx 3(xy2)dxdy0 .2 .求下列曲線積分：2(1)x ds，其中為球面x2 y2 z22a被平面x y z0所截得的圓周；解：在的方程中，由于x, y, z循環(huán)對稱，故x2dSy2dSz2dS,x2dS2 2 2 1(x y z)dS 3_2a2dS*(2)ydx2y，其中L是以(1,0)為圓心，2為半徑的正向圓周;解:y2七，(x, y) (0,0)。y )(4x作足夠小的橢圓l :4x2取順時(shí)針方向，由格林公式,33I (a) o 1 a sin x (2x asin x)acosxdx所以 I (a)4(a2 1)在a 1取得最小值，從

9、而0所以得駐點(diǎn)a 1。又I (1)L 為 y sin x(0 x )。*4 .設(shè)曲線積分xy2dxL(1,1) 20,計(jì)算 xy dx y (x)dy.(0,0) JJ / Jy (x)dy與路徑無關(guān)，其中且(0)解：-Py2xy， yx(x),由于積分2xyLdx4a -a3。3具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，(x)dy與路徑無關(guān),xdy ydxJl IL 1 4x所以-PyQ，即 2xyxy (x)，從而(x)x2所以；濁守4xydx2 2yxdy ydxxdy ydxl1*3 在過點(diǎn)0(0,0)和A( ,0)的曲線族y asin x(a 0)中，求一條曲線3L ,使該曲線從 O到A積分l(1 y )dx

10、 (2x y)dy的值最小.(1)20,所以(x) x。(1,1) 2(0,0) xy dx y (x)dy計(jì)算下列曲面積分:x2dS，其中為圓柱面x21ydyy21介于z0與z 2之間的部解：在的方程中，由于x與y循環(huán)對稱，故dSy dS，于是, 22L3: x 2y22 , L4 : 2xy22為四條逆時(shí)針方向的平面曲線,2 1 2 2 1x2dS 丄(x2 y2)dS 丄2 2dS 2記Ii(y(2x323)dy(i1,2,3,4)，則 maxl1,l2,l3,l4*(2)2xdydz (z 1) dxdy1X2其中為下半球面,1 x2 y2 的上側(cè);解：設(shè)平面0,( x, y)D (

11、x, y) | x21，取下側(cè)。(A)I1(B)(C)(D)I4(2012 年)2.設(shè)(x, y,z)| xy z 1,x 0,y0,z0，則圍成的下半球體為。由格林公式得:2xdydz (z 0 dxdy xdydz (z 1)2dxdy222X y z2xdydz (z 1) dxdy xdydz (z1)2dxdy(32z)dy dxdyD2 1 0d rdr , zdz001 r2近三年考研真題22(2013 年)1設(shè) L1 : x y 1 ,y2 2,y2ds（2011年）3.設(shè)L是柱面方程x2軸正向往z軸負(fù)向看去為y2xzdx xdy dzu22y 1與平面z x逆時(shí)針方向，y的交

12、線，從z則曲線積分2 2（2011年）4.已知L是第一象限中從點(diǎn)（0, 0）沿圓周x y 2x到 點(diǎn)（2, 0），再沿圓周x2 y2 4到點(diǎn)（0, 2）的曲線段，計(jì)算曲線積分J3x2ydx （x3 x 2y）dy。L近三年考研真題解析（2013年）1.解析： 由格林公式:2卡)dxdy33工)dx (2x )dy (1 x263d；Di2D4，在 D4 內(nèi) 1x2 y 0,因此 Ii I4 。22I2(1 x2 l)dxdy(1 x2D22D42)dxdy(1 x22D2 D42y)dxdy2而在在 D4外1 x2 L 0，因此丨2丨4。2可得I3 I4。（利用極坐標(biāo)分別計(jì)算出 13和I 4 ）（2012年）2解析：由曲面積分的計(jì)算公式可知:y2dsy2 . 1 ( 1)2 ( 1)2 dxdy G y2dxdy，DD其中 D ( x, y) |x 0, y0,x y 1，故原式=.31dy 1yy2dx0 0、3；y2（1y)dy12（2011年）3解析：由斯托克斯公式得:yxzdx