第六章 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法

1、第六章第六章無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR)IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要內(nèi)容主要內(nèi)容v掌握數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本概念掌握數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本概念v掌握沖激響應(yīng)不變法掌握沖激響應(yīng)不變法v了解階躍響應(yīng)不變法、理解雙線性變換法了解階躍響應(yīng)不變法、理解雙線性變換法v掌握利用模擬濾波器設(shè)計(jì)掌握利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的思想、數(shù)字濾波器的思想、方法及過(guò)程方法及過(guò)程6-1 引言引言01( )( )( )1kkMkkNkkb zY zH zX za zX(z)Y(z)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示H(z) 數(shù)字濾波器是一個(gè)線性移不變的離散時(shí)間系

2、統(tǒng)，其設(shè)計(jì)一般包括: (1) 按任務(wù)要求，確定濾波器的性能指標(biāo)； (2) 用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近逼近這一性能要求； (3) 實(shí)現(xiàn)可采用計(jì)算機(jī)軟件，也可采用DSP硬件。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：()()()jjjjH eH ee 為幅度響應(yīng)：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器為幅度響應(yīng)：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分的衰減情況后各頻率成分的衰減情況()jH e 為相位響應(yīng)：反映各頻率成分通過(guò)濾波為相位響應(yīng)：反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況器后在時(shí)間上的延時(shí)情況()j 數(shù)字濾波器的性能一般以頻率響應(yīng)的幅數(shù)字濾波器的性能一般以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差

3、來(lái)表示，其頻率響度特性的允許誤差來(lái)表示，其頻率響應(yīng)包括通帶、過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范圍應(yīng)包括通帶、過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范圍（注意：理想濾波器只有通帶和阻帶（注意：理想濾波器只有通帶和阻帶兩個(gè)范圍）兩個(gè)范圍） 按頻率特性，數(shù)字濾波器可分為：按頻率特性，數(shù)字濾波器可分為：l 低通低通l 高通高通l 帶通帶通l 帶阻帶阻l 全通全通st2()jH ev阻帶：阻帶：cstv過(guò)渡帶：過(guò)渡帶：c11()1jH ev通帶：通帶：理想濾波器很難實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近理想濾波器很難實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近數(shù)字濾波器的技術(shù)要求數(shù)字濾波器的技術(shù)要求數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)思想及方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)思想及方法01( )1Mkkk

4、Nkkkb zH za z用因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)用因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)逼近逼近給定的性能要求：給定的性能要求：, kkab求出系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)求出系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)v先設(shè)計(jì)合適的模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為滿足預(yù)定先設(shè)計(jì)合適的模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器：指標(biāo)的數(shù)字濾波器：v計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法：按性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)化運(yùn)算，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法：按性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)化運(yùn)算，求出最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。求出最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。 數(shù)字?jǐn)?shù)字IIR濾波器的兩種設(shè)計(jì)方法濾波器的兩種設(shè)計(jì)方法l 模擬濾波器的模擬濾波器的設(shè)計(jì)已有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計(jì)已有一套相當(dāng)成熟的方法：有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，

5、設(shè)計(jì)參數(shù)已表格化，有多有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)參數(shù)已表格化，有多種典型形式的濾波器如種典型形式的濾波器如巴特沃思濾波器，切比巴特沃思濾波器，切比雪夫?yàn)V波器雪夫?yàn)V波器等。等。l 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法：這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)方計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法：這是一種最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，先確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，這種方式一般得不法，先確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，這種方式一般得不到濾波器系統(tǒng)函數(shù)的閉式表達(dá)式，需要大量的到濾波器系統(tǒng)函數(shù)的閉式表達(dá)式，需要大量的迭代運(yùn)算。迭代運(yùn)算。6.2 用模擬濾波器設(shè)計(jì)用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器v設(shè)計(jì)思想：模擬濾波器 s 平面 數(shù)字濾波器z 平面模擬系統(tǒng)函數(shù) 數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)( )( )aHsH

6、z主要設(shè)計(jì)方法：主要設(shè)計(jì)方法：- - 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法- - 階躍響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法- - 雙線性變換法雙線性變換法6.3 沖激響應(yīng)不變法一、變換原理一、變換原理 數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)()(nThnhaT：抽樣周期抽樣周期)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha模擬濾波器的數(shù)字化方法模擬濾波器的數(shù)字化方法1( )NkakkAHsss( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )1kNks TkTAH zez2211( )4313aHsssss試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾

7、波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez設(shè)設(shè)T = 1sT = 1s，則，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzzv優(yōu)點(diǎn)：v缺點(diǎn)：保持線性關(guān)系：=WT線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混疊只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)ha(t) 時(shí)域逼近良好沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)6.4 階躍

8、響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法v變換原理( )( )()at nTag ng tg nT 數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n)模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)ga(t) 其中其中T 為為 抽樣周期抽樣周期6.5 雙線性變換法q沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。q為了克服這一缺點(diǎn)，可采用雙線性變換法。q使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似一、變換原理及特點(diǎn) 先將s平面壓縮變換到一個(gè)中介平面s1的一條橫帶里，然后再將橫帶映射到z平面。Z平面1Wj1Tjjee1W單位圓T/T/s1平面Tsez1T1WWjs平面1tan2TWW 采用以下變換采用以下變換12arctan(

9、 )/,TT T W W 注意到注意到111111221221tan()21TTjjjTTTjTjjTeeejjeeeWW WWW WWW 1tan2TWW 由得11-11sTsTese得11,js jsW W 令1111zzsssz11sz這樣 平面與 平面的單值映射關(guān)系為11sTsze再把 平面映射到平面 n為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù) c:1tan2TcWW 1111zsczcszcs2cT2）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：ccW 1tantan22cccTccWW cot2ccc W1W

10、W1）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置11tan22TTccWWW 二、變換常數(shù)c的選擇四、優(yōu)缺點(diǎn)v優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換q 缺點(diǎn)：除了零頻率附近，W與之間嚴(yán)重非線性1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器tan2cW TW為模擬角頻率， 為數(shù)字角頻率，為抽樣周期2）數(shù)字濾波器的非線性相位關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸變。6.6 常用模擬低通濾波器特性v將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器v模擬濾波器巴特沃思 Butterworth 濾

11、波器切比雪夫 Chebyshev 濾波器橢圓 Ellipse 濾波器貝塞爾 Bessel 濾波器1、由幅度平方函數(shù)由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波器確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)2()aHjW( )aHs2*()()()aaaHjHjHjWWW( )()aasjHs Hs Wh(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)()()aaHjHjW W1）將將左半平面左半平面的的極點(diǎn)歸的的極點(diǎn)歸Ha(s)（確保穩(wěn)定（確保穩(wěn)定）2）將以虛軸為對(duì)稱軸的將以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸零點(diǎn)一半歸Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零極點(diǎn)分布的零極點(diǎn)分

12、布 基于基于Ha(s) Ha(-s)的零極點(diǎn)，設(shè)計(jì)的零極點(diǎn)，設(shè)計(jì) Ha(s)的零極點(diǎn)的零極點(diǎn) 由幅度平方函數(shù)得到象限對(duì)稱的得到象限對(duì)稱的s平面函數(shù)：平面函數(shù)： v對(duì)比 和 ，確定增益常數(shù)()aHjW( )aHsv由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得( )aHs2()( )aaHjHsW由確定的方法222()( )(- )|aaasHjHs HsW W零點(diǎn)：零點(diǎn)： （二階）（二階）2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHsWWWW已知幅度平方函數(shù)：，求系統(tǒng)函數(shù)例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjssW W7, 6ss 極點(diǎn)：極點(diǎn)：

13、5sj 零點(diǎn)：零點(diǎn)：5sj 7, 6ss 的極點(diǎn)：的極點(diǎn)：( )aHs設(shè)設(shè) 增益常數(shù)為增益常數(shù)為K K0 020(25)( )(7)(6)aKsHsss0002( )()4asaHsHjKWW45由=，得7 62224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss( )aHs2.1 巴特沃思濾波器（巴特沃思濾波器（Butterworth）2、常見(jiàn)模擬濾波器設(shè)計(jì)幅度平方函數(shù)：221()1aNcHjWWW當(dāng)2()1/ 2acHjW時(shí)稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬1( 0)20lg3()aacHjdBHjWN為濾波器的階數(shù)W Wc c為通帶截止頻率為通帶截止頻率1

14、）幅度函數(shù)特點(diǎn)：幅度函數(shù)特點(diǎn)：221()1aNcHjWWW20()1aHjW Wv 21()1/ 23caHjdBW WWv 3dB不變性012300.81WMagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10ButterworthButterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs HssjWWW1 211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN W W 2 2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：幅度平方特性的極點(diǎn)分布：3 3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：）濾波器

15、的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsssW1 21221,2,.,kjNkcsekN Wn求出系統(tǒng)函數(shù)：求出系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsssW其中極點(diǎn)1 21221,2,.,kjNkcsekN W或者由N，直接查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)歸一化系統(tǒng)函數(shù)001( )anNNdHsaa sa s00-1,=NaadW00表 6 4巴 特 沃 思 低 通 濾 波 器 的 系 數(shù)由 低 頻 或 高 頻 特 性確 定 ， 若 希 望0時(shí) 增 益 為 1，則 d =a =1。查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)歸一化系統(tǒng)函數(shù)( )aancsHsHWv去歸一化( )anHs 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟v

16、將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)通帶截止頻率 、通帶衰減p1阻帶截止頻率 、阻帶衰減s2通帶截止頻率/ppTW 阻帶截止頻率/ssTW 通帶截止頻率tan(/2)ppcW 阻帶截止頻率tan(/2)sscW v確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssssW或者b) 由N = 6，直接查表6-4(p266)得c) 去歸一化4）將Ha(s)展成部分分式形式

17、:1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.630410.99720.2570zzz變換成變換成Butterworth數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設(shè)計(jì)2tan0.65 /2pprad sTW 2tan1.019 /2ssrad sTW 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：/1.568spspWW

18、120.10.11010.092101spklg/lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad sW Wa）確定參數(shù)用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無(wú)混迭問(wèn)題3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b) 求出極點(diǎn)（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek W661( )()cakkHsssWc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化( )aancsHsHW112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(10.90440.2155)zz4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2.2 切貝雪夫?yàn)V波器（ Chebyshev ）2221()1()aNcHj