振動(dòng)理論基礎(chǔ)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1振動(dòng)理論基礎(chǔ)振動(dòng)理論基礎(chǔ)機(jī)械系統(tǒng)在其平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)稱為振動(dòng)振動(dòng)。振動(dòng)現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程技術(shù)中，如地震。本章僅研究單自由度系統(tǒng)的微振動(dòng)，討論振動(dòng)的基本特征。 談?wù)劚緦I(yè)內(nèi)有關(guān)振動(dòng)問題?。康?頁/共71頁系統(tǒng)偏離平衡位置后，僅在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)稱為自由振動(dòng)自由振動(dòng)。 16-1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)圖示為單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的簡化模型，它是從實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)中抽象出的簡圖。設(shè)彈簧原長為lo ，剛度為k ，物塊質(zhì)量為m ，靜平衡時(shí)，彈簧變形為st（稱靜變形），有第2頁/共71頁以平衡位置為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)。物塊在一般位置的受力如圖示，則其振動(dòng)微分方程為 令 ，代入上式

2、，得單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 第3頁/共71頁其通解 頻率周期積分常數(shù)A 和分別為振幅和初位相。它們由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。 圓頻率（或固有圓頻率、固有頻率） 第4頁/共71頁頻率頻率和周期周期只與系統(tǒng)本身所固有的慣性和彈性有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)，是描述振動(dòng)系統(tǒng)基本性質(zhì)的重要物理量。 第5頁/共71頁質(zhì)量m=0.5kg的物塊，沿光滑斜面無初速滑下，如圖所示。當(dāng)物塊下落高度h=0.1m時(shí)撞于無質(zhì)量的彈簧上并不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角300，求系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。 例16-1第6頁/共71頁解：解：物塊在平衡位置時(shí)，彈簧靜變形 以此位置

3、為原點(diǎn)以此位置為原點(diǎn)O，建立圖示，建立圖示坐標(biāo)。坐標(biāo)。物塊受力如圖，其運(yùn)動(dòng)微分方程為 化簡后得 系統(tǒng)的固有頻率 第7頁/共71頁當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間t=0，作為振動(dòng)的起點(diǎn)。則運(yùn)動(dòng)的初始條件：初位移 初速度 得振幅及初位相 mm物塊的運(yùn)動(dòng)方程 第8頁/共71頁如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為m的物塊，其的物塊，其靜撓度（靜變形）為靜撓度（靜變形）為2mm。若將物塊在梁未變形位置處無。若將物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。初速釋放，求系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。 例16-2第9頁/共71頁解：解：此無重彈性梁相當(dāng)于彈簧，其剛性系數(shù) 取重物平衡位置

4、為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸方向鉛直向下，運(yùn)動(dòng)微分方程為: 式中圓頻率 第10頁/共71頁在初瞬時(shí)t0，物塊位于未變形的梁上，其坐標(biāo)x0st= 2mm，初速v0=0，則初位相 振幅系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律 mmmm第11頁/共71頁等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧 下圖表示剛度分別為k1和k2的兩個(gè)彈簧并聯(lián)的兩種形式，其分析方法相同。 由平衡方程得 式中為并聯(lián)彈簧的等效彈簧剛度。n個(gè)并聯(lián)彈簧的等效剛度 第12頁/共71頁 串聯(lián)彈簧 圖示為串聯(lián)彈簧。靜平衡時(shí)，變形分別為 和 。 彈簧總伸長 等效彈簧剛度 n個(gè)彈簧串聯(lián)，則有 第13頁/共71頁圖為一擺振系統(tǒng)。桿重不計(jì)，球質(zhì)量為m ，擺對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)

5、慣量為J，彈簧剛度為k，桿于水平位置平衡，尺寸如圖。求系統(tǒng)微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及振動(dòng)頻率。 例16-3第14頁/共71頁解：解：擺處于平衡位置時(shí)，彈簧已壓縮 由平衡方程 有 以平衡位置為角坐標(biāo)原點(diǎn)，擺繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 得系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程 固有頻率 可見，只要以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有標(biāo)準(zhǔn)形式。 第15頁/共71頁16-2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的能量法 對(duì)于單自由度的保守系統(tǒng)，固有頻率可簡便地由機(jī)械能守恒定律求出，稱為能量法。 設(shè)圖示系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)，則有 若以平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)勢(shì)能 第16頁/共71頁系統(tǒng)動(dòng)能 由機(jī)械能守恒，即T+V常數(shù)，則 系統(tǒng)固有頻率 表明；如

6、取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，則可以彈簧在平衡位置的長度為原長計(jì)算彈性勢(shì)能，而不考慮重力勢(shì)能。只要寫出系統(tǒng)的只要寫出系統(tǒng)的動(dòng)能和以平衡位置為零點(diǎn)的勢(shì)能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率動(dòng)能和以平衡位置為零點(diǎn)的勢(shì)能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。 第17頁/共71頁圖示為兩個(gè)相同的塔輪。齒輪半徑皆為R，半徑為r 的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪上連一鉛直彈簧，輪上掛一重物。塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J ，彈簧剛度為k ，重物質(zhì)量為m 。求系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。 例16-4第18頁/共71頁解：解：以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取 x 為廣義坐標(biāo)。 設(shè)系統(tǒng)振動(dòng)的規(guī)律為 則 塔輪角速度

7、系統(tǒng)動(dòng)能 第19頁/共71頁取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的勢(shì)能為 由 得系統(tǒng)的固有頻率 第20頁/共71頁在如圖示的振動(dòng)系統(tǒng)中，擺桿AO對(duì)鉸鏈O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在A水平位置處于平衡，求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。 例16-5第21頁/共71頁解：解：取擺角 為廣義坐標(biāo)，設(shè)其變化規(guī)律為 系統(tǒng)動(dòng)能 以平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢(shì)能 由 得固有頻率 2222122)(2121dklkJn第22頁/共71頁如圖所示，質(zhì)量為m ，半徑為r 的圓柱體，在半徑為R 的圓弧槽上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近作微小振動(dòng)的固有頻率。 例16-6第23頁/共71頁解：解：取擺角 為廣義坐標(biāo)，設(shè)其微振動(dòng)規(guī)律為 圓柱體中

8、心O1的速度 由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)圓柱體作純滾動(dòng)時(shí)，角速度 系統(tǒng)動(dòng)能 第24頁/共71頁整理后得 系統(tǒng)的勢(shì)能為重力勢(shì)能，取圓柱在最低處時(shí)的圓心位置C 為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)勢(shì)能 圓柱體作微振動(dòng) 第25頁/共71頁由 得 2222)(21)(43rRmgrRmn第26頁/共71頁16-3 單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動(dòng) 由于阻力作用，自由振動(dòng)的振幅將逐漸衰減，最后趨于靜止。產(chǎn)生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性質(zhì)。以下僅討論阻力與速度成正比的粘性阻尼或稱線性阻尼線性阻尼。即 式中負(fù)號(hào)表明阻力與速度方向相反，阻尼系數(shù)c 取決于阻尼介質(zhì)的性質(zhì)和物體的形狀。 第27頁/共71頁1、有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)

9、形式圖（a）為一有阻尼的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，受力如圖（b）。 阻力 微分方程為 或化簡得 代入上式得衰減振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 令第28頁/共71頁2、微分方程的解 設(shè) ，代入式中，得特征方程 方程的兩個(gè)根 通解 有三種可能情形： 第29頁/共71頁 小阻尼情形 當(dāng) 或 時(shí)，稱為小阻尼小阻尼。 此時(shí) 令 則 得運(yùn)動(dòng)方程 如圖所示。由于振幅隨時(shí)間不斷衰減，故稱為衰減振動(dòng)衰減振動(dòng)。第30頁/共71頁衰減振動(dòng)的周期 令 稱為阻尼比阻尼比。 周期Td較無阻尼自由振動(dòng)的周期T 略有增加。阻尼對(duì)周期的阻尼對(duì)周期的影響很小影響很小，可忽略不計(jì)，取TdT。 則 第31頁/共71頁阻尼對(duì)振幅的

10、影響 為描述振幅 Ai 的衰減，引入減幅系數(shù)（或稱振幅縮減率振幅縮減率）。由圖示得 上式表明：衰減振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)遞減。阻尼阻尼對(duì)自由振動(dòng)的振幅影響較對(duì)自由振動(dòng)的振幅影響較大大。 例如：0.05時(shí)，Td1.00125T而經(jīng)過10個(gè)周期后，振幅只及原振幅的4.3%。第32頁/共71頁初始幅值 A 和初位相取決于初始條件。 對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得對(duì)數(shù)縮減率對(duì)數(shù)縮減率所以設(shè)t0時(shí)， ， ，則有 第33頁/共71頁 臨界阻尼情形 當(dāng) 或 時(shí)，稱為臨界阻尼臨界阻尼。 此時(shí)， 。微分方程的解為 不具有振動(dòng)的特點(diǎn)不具有振動(dòng)的特點(diǎn)，積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運(yùn)動(dòng)圖如圖所示。 第34頁/共71頁 大阻尼情

11、形 當(dāng) 或 時(shí)，稱為大阻尼大阻尼。 此時(shí)微分方程的解為 積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運(yùn)動(dòng)圖如圖所示。 第35頁/共71頁圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為k1，圓盤對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。如圓盤外緣受到與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比的切向阻力，其衰減扭振的周期為Td。求圓盤所受阻力偶的矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的關(guān)系。 例16-7第36頁/共71頁解：解：盤外緣切向阻力與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比，則此阻力偶矩M 與角速度成正比，且轉(zhuǎn)向相反。 設(shè) ，為阻力偶系數(shù)，則圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程為 或 由此得衰減振動(dòng)周期 第37頁/共71頁則阻力偶系數(shù) 得 第38頁/共71頁16-4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)在外加持續(xù)激

12、勵(lì)下的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。下面僅討論簡諧激勵(lì)情形。圖示為三種類型的簡諧激勵(lì)，分別是：激勵(lì)力直接作用；彈簧端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)引起的激勵(lì)和偏心轉(zhuǎn)子引起的激勵(lì)。 第39頁/共71頁1、激振力直接作用下的受迫振動(dòng) 振動(dòng)微分方程 圖為受迫振動(dòng)系統(tǒng)的簡化模型。激振力 其中，H為最大激振力，為激振力的圓頻率。 以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ： 令 整理化簡后，得單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 第40頁/共71頁 微分方程的解 方程的通解由兩部分構(gòu)成：對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和該方程的一個(gè)特解。 上式右端第一項(xiàng)為衰減振動(dòng)，經(jīng)過短暫時(shí)間，即趨于衰減，稱瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)。最后得到持續(xù)的等幅振動(dòng)，稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即

13、系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 由式可知，受迫振動(dòng)的頻率等于激振力的頻率受迫振動(dòng)的頻率等于激振力的頻率。 將上式代入微分方程式，化簡后得到受迫振動(dòng)的振幅振幅和位相差位相差 第41頁/共71頁式中 分別稱為頻率比頻率比、阻尼比阻尼比和由最大激振力引起的彈簧的靜變形。 第42頁/共71頁受迫振動(dòng)的振幅與靜變形之比稱放大系數(shù)放大系數(shù)，即 當(dāng)一定，與間的關(guān)系如圖所示，稱為幅頻特性曲線幅頻特性曲線。由圖可知： 幅頻特性當(dāng)1時(shí)，阻尼對(duì)振幅的影響很小，可忽略不計(jì)。共振區(qū)共振區(qū) =0.751.25。在此區(qū)域內(nèi)阻尼對(duì)振幅有顯著影響，1時(shí)，振幅急劇增加出現(xiàn)峰值的現(xiàn)象，稱為共振共振。對(duì)應(yīng)曲線峰值的頻率，稱為系統(tǒng)的共振頻率。第43頁

14、/共71頁 當(dāng) 1時(shí)，阻尼對(duì)振幅影響可忽略不計(jì)。 小阻尼時(shí)，共振頻率近似等于固有頻率，共振振幅近似與阻尼比成反比，即 第44頁/共71頁相頻特性曲線如圖所示。由圖可知，當(dāng)有阻尼時(shí)，隨頻率比/n連續(xù)變化。當(dāng)1時(shí)，0，受迫振動(dòng)位移與激振力接近同位相。當(dāng) 1時(shí)，受迫振動(dòng)與激振力接近反位相。當(dāng)1時(shí)， ，與阻尼大小無關(guān)，這是共振時(shí)的一個(gè)重要特征。2 相頻特性工程上利用此特點(diǎn)，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定系統(tǒng)固有頻率n。第45頁/共71頁2、彈簧端點(diǎn)作簡諧運(yùn)動(dòng)引起的受迫振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)的簡化模型如圖所示。設(shè)臺(tái)面光滑，端點(diǎn)A 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 則彈簧恢復(fù)力 微分方程 令 得 與激振力直接作用下的受迫振動(dòng)形式相同。前述有關(guān)受迫振動(dòng)的

15、討論適用于此。 第46頁/共71頁3、偏心轉(zhuǎn)子引起的受迫振動(dòng) 電機(jī)安裝在基礎(chǔ)上，如圖所示，彈性地基簡化為剛度為k的彈簧。設(shè)基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電機(jī)定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m ，偏心距e 。轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。由于偏心，系統(tǒng)將沿鉛垂方向作受迫振動(dòng)。建立圖示坐標(biāo)軸Ox 。系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，有 轉(zhuǎn)子質(zhì)心的加速度 第47頁/共71頁由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，得 得 令 得微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 與激振力直接作用下的受迫振動(dòng)微分形式相同。第48頁/共71頁令 則 代入 注意到激振力幅值與其頻率有關(guān)，得系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅 放大系數(shù) 第49頁/共71頁幅頻特性曲線如圖所示 當(dāng)0時(shí)，b 0 ， 0 ；當(dāng)1時(shí)， 又逐漸減少，當(dāng)

16、很大時(shí)，1；當(dāng)=1時(shí)發(fā)生共振，此時(shí)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。 第50頁/共71頁圖示為一測(cè)振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為m ，彈簧剛度為k 。測(cè)振儀放在振動(dòng)物體表面，并隨物體而運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體的振動(dòng)規(guī)律為求測(cè)振儀中物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程及其受迫振動(dòng)規(guī)律。 例16-8第51頁/共71頁解：解：測(cè)振儀隨物體振動(dòng)，則其彈簧懸掛點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 取 t=0 時(shí)物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x 軸如圖。在任一瞬時(shí)t ，彈簧的變形為 物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程注意到 ， ，上式整理后，得 第52頁/共71頁受迫振動(dòng)規(guī)律為 此時(shí)激振力的力幅為H=ke，由式得 由于測(cè)振儀殼體也在運(yùn)動(dòng)，其振幅為e ，因而圖中記錄紙上畫出的振幅為

17、物塊相對(duì)于測(cè)振儀的振幅 。由式可知，當(dāng) 時(shí)， ，有 ，物塊幾乎不動(dòng)，記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測(cè)物體的振幅。 第53頁/共71頁例16-9圖為一無重剛桿。一端鉸支，距鉸支端 l 處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，距 2l 處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，A 端有一剛度為k 的彈簧，并作用一簡諧激振力 。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率n，以及當(dāng)激振力頻率 等于n 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。 第54頁/共71頁解：解：取擺角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。整理后得 令 當(dāng) 時(shí)，得振幅（最大擺角） 質(zhì)點(diǎn)的振幅 受力如圖示。由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得第55頁/共71頁57 電動(dòng)機(jī)安裝在基礎(chǔ)

18、上，基礎(chǔ)下面是彈性基地，如圖所示。已知地基的彈性系數(shù)為k，基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電動(dòng)機(jī)定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子有偏心距e，轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）基礎(chǔ)的強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅；（2）基礎(chǔ)對(duì)電動(dòng)機(jī)的鉛直動(dòng)約束力。例16-10第56頁/共71頁581. 將電動(dòng)機(jī)和基礎(chǔ)看成一質(zhì)點(diǎn)系分析它的運(yùn)動(dòng)和受力情況彈性力(a)(b)(c)應(yīng)用得因?yàn)槠胶鈺r(shí)則有第57頁/共71頁59 （2） (d)根據(jù)振動(dòng)理論，系統(tǒng)的固有頻率為強(qiáng)迫振動(dòng)的規(guī)律為其振幅為(e)(f)(g)或第58頁/共71頁602. 求地基對(duì)電動(dòng)機(jī)的鉛直動(dòng)約束力。由此求出動(dòng)約束力(h)將式(f)對(duì)t微分兩次，并將式(g)代入后，有(f)(g)取電動(dòng)

19、機(jī)為研究對(duì)象，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得第59頁/共71頁16-5 隔振的概念減輕振動(dòng)的危害，在工程上是一個(gè)重要的研究課題。通常有以下的減振措施： 抑制振源強(qiáng)度例如，對(duì)高速轉(zhuǎn)子進(jìn)行靜平衡和動(dòng)平衡試驗(yàn)，以消除不平衡的慣性力；為減小車輛振動(dòng)提高路面或軌道的質(zhì)量；減小高層建筑的迎風(fēng)面積以降低風(fēng)載等。 消振采用多種形式的消振器，如動(dòng)力消振器，阻尼消振器等。 隔振將振源與減振體隔開，隔斷振動(dòng)的傳播，降低振源的影響。 本節(jié)只討論隔振的理論基礎(chǔ)。按照研究對(duì)象的不同，分為主動(dòng)隔振和被動(dòng)隔振。其隔振效果均以隔振系數(shù)表示。第60頁/共71頁主動(dòng)隔振主動(dòng)隔振 主動(dòng)隔振是將振源與支承它的基礎(chǔ)隔開。研究的對(duì)象是振源本研究的對(duì)象是振源本身身。如電機(jī)、水泵、鑄壓機(jī)械等。為減小機(jī)器的振動(dòng)對(duì)周圍環(huán)境的影響，墊上橡膠、枕木等彈性支承，以降低振動(dòng)傳到基礎(chǔ)上的強(qiáng)度。 圖為主動(dòng)隔振的簡化模型，激振力 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)規(guī)律 振幅 第61頁/共71頁物塊振動(dòng)時(shí)，通過彈簧和阻尼器傳到地基上的力分別為 它們以相同的頻率作簡諧變化，但相位差。用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖所示。 隔振之后傳給地基的力的最大值 和主動(dòng)隔振系數(shù)（力的傳遞率） 第62頁/共71頁圖是在不同阻尼