數(shù)學(xué)物理方法期末復(fù)習(xí)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)物理方法期末復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法期末復(fù)習(xí)1、復(fù)數(shù)的定義一、復(fù)數(shù)zxRezyIm實(shí)部： 虛部： 模： 22yxz輻角： kzArgz2arg), 2, 1, 0(k主輻角： )(argxyarctgz ,2arg0z共軛復(fù)數(shù):iyxz*zxiyiyxz三角式)sin(cosiziez 指數(shù)式代數(shù)式重點(diǎn)：復(fù)數(shù)三種表示式之間的轉(zhuǎn)換！ 第1頁(yè)/共45頁(yè)2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算: 加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方 (1)、加法和減法 )()(212121yyixxzz111iyxz222iyxz(2)、乘法和除法 )(221121iyxiyxzz)()(12212121yxyxiyyxx22222211)(yx

2、iyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx*22*21zzzz21zz第2頁(yè)/共45頁(yè)(2)、乘法和除法 兩復(fù)數(shù)相除就是把模數(shù)相除, 輻角相減。)sin()cos(21212121izz)(2121ie121111122222(cossin)(cossin)iiziezie1 2121212cos()sin()z zi )(2121ie兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, 輻角相加;第3頁(yè)/共45頁(yè)(3) 復(fù)數(shù)的乘方和開(kāi)方（重點(diǎn)掌握）ninez)(inne)sin(cosninn或( n為正整數(shù)的情況)12 2 cossinnnkkzinn)1,2,1,0( nknkine2

3、 復(fù)數(shù)的乘、除、乘方和開(kāi)方運(yùn)算，采用三角式或指數(shù)式往往比代數(shù)式來(lái)得方便。 棣莫弗公式： nininsincos)sin(cos第4頁(yè)/共45頁(yè)1. 冪函數(shù)nzw 2 .指數(shù)函數(shù) zew 周期為2i， 3. 三角函數(shù)cos,2izizeezsin,2izizeezi周期為2 第5頁(yè)/共45頁(yè)4、雙曲函數(shù) 2zzeeshz2zzeechz5、根式函數(shù) iez nkinew2)(,1210nk周期為2i6、對(duì)數(shù)函數(shù) zwlnln ziArgzkzArgz2arg, 10 k第6頁(yè)/共45頁(yè)222zzxy13例1：已知 ，則 。23zizz13例2：復(fù)數(shù)ez 的模為 ，輻角為 . 例3：已知 ，表示成

4、指數(shù)形式為： 。例4：已知 或 ，可以化簡(jiǎn)：為： 或 。xe2,0, 1, 2,ykk zx iyeexiye e1322zi/3ieiziizi2(2)ke22ke第7頁(yè)/共45頁(yè)),(),()(yxivyxuzf1、柯西-黎曼方程 xvyuyvxu直角坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系：vuvu112、解析函數(shù)性質(zhì)： (1)、若 是解析函數(shù)，則 。 ),(),()(yxivyxuzf0vu(2)、若函數(shù) 在區(qū)域 B上解析，則 u和v必為B上的相互共軛調(diào)和函數(shù)。 ivuzf)(第8頁(yè)/共45頁(yè)一、傅里葉級(jí)數(shù)1、周期函數(shù)(T=2l)的傅里葉展開(kāi) 一般周期函數(shù)： (5.1.3)、(5.1.5)；P69-70 奇函

5、數(shù)： (5.1.8)、(5.1.9)； P71 偶函數(shù)： (5.1.10)、(5.1.11)；P71 傅里葉正弦級(jí)數(shù)傅里葉余弦級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)第9頁(yè)/共45頁(yè)2、定義在有限區(qū)間(0,l)上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi) 對(duì)函數(shù)f(x)的邊界（區(qū)間的端點(diǎn)x=0, x=l）上的行為提出限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。 (1)、邊界條件為f(0)=0,f(l)=0 應(yīng)延拓成以2l為周期的奇函數(shù)(奇延拓) 1( )sinkkkf xbxl02( )sinlkk xbf xdxll(2)、邊界條件為應(yīng)延拓成以2l為周期的偶函數(shù)(偶延拓) (0)0,( )0ffl01( )coskkkf xaaxl

6、02( )cos (0)lkk xaf xdxkll001( )laf x dxl02( )coslkkk xaf xdxll第10頁(yè)/共45頁(yè)(3)、邊界條件為(0)0,( )0ffl01()2( )sinkkkxf xbl01()22( )sinlkkxbf xdxll根據(jù)邊界條件f(0)=0應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn)x=0作奇延拓。 又根據(jù)邊界條件 ，應(yīng)將函數(shù) f(x)對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn)x=l作偶延拓， ( )0fl 然后以4l為周期向整個(gè)實(shí)軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以4l為周期的奇函數(shù)。 第11頁(yè)/共45頁(yè)(4)、邊界條件為(0)0,( )0ff l01()2( )cos

7、kkkxf xal01()22( )coslkkxaf xdxll 又根據(jù)邊界條件f (l)=0 ，應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn)x=l作奇延拓， 然后以4l為周期向整個(gè)實(shí)軸延拓，延拓以后的函數(shù)是以4l為周期的偶函數(shù)。 根據(jù)邊界條件 應(yīng)將函數(shù)f(x)對(duì)區(qū)間(0,l)的端點(diǎn)x=0作偶延拓。 (0)0f 重點(diǎn)掌握： 及 在四種不同邊界條件下如何展開(kāi)成傅 立葉級(jí)數(shù)?。ㄏ卤砀竦膬?nèi)容必須熟記?。? ) ( )1f xxf x第12頁(yè)/共45頁(yè)邊界條件邊界條件 延拓方式延拓方式 周周期期 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 系數(shù)系數(shù) 0)()0(lff0)() 0(lff0)()0(lff0)()0(lff)()(xgxg

8、)()(xgxg)()(xgxg)()2(xgxlg)()(xgxg)()2(xgxlgl 2l 24l4l 1sinkklxkbxf01( )coskkk xf xaallxkaxfkk2) 12(cos)(0lxkbxfkk2) 12(sin)(002sin( )dlkk xbf xxll0001( )d2( )cosdllkaf xxlkxaf xxlllkdxlxkxfla02) 12(cos)(2lkdxlxkxflb02) 12(sin)(2第13頁(yè)/共45頁(yè)定解問(wèn)題泛定方程定解條件初始條件:說(shuō)明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件 邊界條件:說(shuō)明邊界上的約束情況的條件 波動(dòng)方程輸運(yùn)方程穩(wěn)定場(chǎng)方

9、程2( , )ttxxua uf x t2( , )txxua uf x t( )uf r 第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題 銜接條件（必須掌握）第14頁(yè)/共45頁(yè)0( , , , )( , , )tu x y z tx y z桿或弦的振動(dòng)：0( , , , )( , , )ttu x y z tx y z表示初始的位移表示初始的速度初始條件： 給出某一初始時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的已知狀態(tài)。 P122 在熱傳導(dǎo)現(xiàn)象中，初始條件就是給出初始時(shí)刻系統(tǒng)中每點(diǎn)的溫度u之值。 0( )tuT r其中T(r)是已知函數(shù)。 例：P122 圖7-8第15頁(yè)/共45頁(yè)(1)、桿或弦兩端固定 0),(0 xtxu0),(lxtxu

10、常見(jiàn)的邊界條件：邊界條件： 給出系統(tǒng)的邊界在各個(gè)時(shí)刻的已知狀態(tài)。 三類線性邊界條件：P124(1)、第一類邊界條件： )(tfu(2)、第二類邊界條件： )(tfnu(3)、第三類邊界條件： )()(tfnuHu第16頁(yè)/共45頁(yè)00 xxu0 xx lu(2)、桿兩端自由 (3)、桿的兩端保持恒溫T 0( , )xu x tT( , )x lu x tT(4)、兩端絕熱 00 xxuuqkix 0lxxu0 x第17頁(yè)/共45頁(yè)(5)、兩端有熱流強(qiáng)度為f(t)的熱流流出 0 xl f(t) f(t)在x=0端:ktfuxx)(0ktfulxx)(0( )xukf tx ( )x lukf t

11、x在x=l端:uqkix 同理得，兩端有熱流強(qiáng)度為f(t)的熱流流入，則 0( )( ),xxxx lf tf tuukk 重點(diǎn)掌握：P128 習(xí)題1、2、3第18頁(yè)/共45頁(yè)數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的適定性: (1) 解的存在性 看所歸結(jié)出來(lái)的定解問(wèn)題是否有解； (2) 解的唯一性 看是否只有一個(gè)解 (3) 解的穩(wěn)定性 當(dāng)定解問(wèn)題的自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí)，解是否相應(yīng)地只有微小的變化量 定解問(wèn)題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性. 第19頁(yè)/共45頁(yè)注：對(duì)于均勻弦或均勻桿的振動(dòng)問(wèn)題，要表示為定解問(wèn)題，需要寫出相應(yīng)的波動(dòng)方程、初始條件以及邊界條件?。ǔ跏紬l件有2個(gè)） 對(duì)于熱傳導(dǎo)以及濃

12、度分布的擴(kuò)散問(wèn)題，要表示為定解問(wèn)題，需要寫出相應(yīng)的輸運(yùn)方程、初始條件以及邊界條件！ （初始條件只有1個(gè)）第20頁(yè)/共45頁(yè)解定解問(wèn)題三步曲： （1）寫出正確的定解問(wèn)題； （2）邊界條件齊次化； （3）求解傅氏級(jí)數(shù)法或分離變數(shù)法. 第八章 分離變數(shù)法 第21頁(yè)/共45頁(yè)分離變數(shù)法 齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程 齊次的邊界條件 傅里葉級(jí)數(shù)法 齊次或非齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程 齊次的邊界條件 第22頁(yè)/共45頁(yè)一、分離變數(shù)法解題步驟 (1) 對(duì)齊次方程和齊次邊界條件分離變量；(2) 解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問(wèn)題；(3)求其它常微分方程的解，與本征函數(shù)相乘，得到本征解。(4) 迭加所有本征解，由

13、初始條件或非齊次邊界條件 確定迭加系數(shù)，最后得到所求定解問(wèn)題的解。注：熟練掌握波動(dòng)方程和輸運(yùn)方程在不同齊次邊界條件下分離變數(shù)得到的本征值問(wèn)題，相應(yīng)的本征值和本征函數(shù)必須熟記！波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程在不同邊界條件下的一般解以及二維拉普拉斯方程的一般解也必須熟記！P160 習(xí)題1、7、16第23頁(yè)/共45頁(yè)例1：用分離變數(shù)法求定解問(wèn)題200000,(0)0,0,0ttxxxx ltttua uxluuuu u先以分離變數(shù)形式的試探解 解： 代入泛定方程(1)和邊界條件(2)，得 )()(),(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(1)(2)(3)(0) ( )0( )

14、( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l第24頁(yè)/共45頁(yè)222lnn(1,2,3,)n 1( )sinnn xXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問(wèn)題 本征值：本征函數(shù)：0)()(2222 tTlantTnn02 TaT其通解為 相應(yīng)的本征解 tlanBtlanAtTnsincos)(1,2,3,)n )()(),(tTxXtxunnn(cossin)sinnnn an anAtBtxlll(1,2,3,)n 一般解是所有本征解的線性迭加， 1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)第25頁(yè)

15、/共45頁(yè)一般解是所有本征解的線性迭加， 代入初始條件，00,0tntuB01sinnnnAxul1( , )( )( )nnnu x tXx T t1(cossin)sinnnnn an anAtBtxlll(4)lnxdxlnluA00sin2021( 1) nun 00,24,21(21)nkunkk00) 12(sin) 12(cos) 12(4),(kxlktlakkutxu第26頁(yè)/共45頁(yè)例2：用分離變數(shù)法求定解問(wèn)題2000,(0)0,0( )txxxxx ltua uxluuux(1)(2)(3)先以分離變數(shù)形式的試探解 解： 代入泛定方程(1)和邊界條件(2)，得 )()()

16、,(tTxXtxu20XTa X T2XTXa T 0 XX20Ta T(0) ( )0( ) ( )0XT tX l T t(0)0( )0XX l第27頁(yè)/共45頁(yè)2221()2nnl(0,1,2,3,)n 21()2( )cosnnxXxcl0(0)0,( )0XXXX l 本征值問(wèn)題 本征值：本征函數(shù)：22221()2( )( )0nnnaTtT tl其通解為 )()(),(tTxXtxunnn相應(yīng)的本征解 20Ta T22221()2( )natlnT tCe22221()21()2cosnatlnnxC el(0,1,2,)n 一般解是所有本征解的線性迭加， 0( , )( )(

17、)nnnu x tXx T t22221()201()2cosnatlnnnxC el第28頁(yè)/共45頁(yè)代入初始條件，0( )tux01()2cos( )nnnxCxl01()22( )coslnnCdll 所求的定解問(wèn)題的解為： 22221()201()2( , )cosnatlnnnxu x tC el22221()20011()()222( , )( )coscosnaltlnnnxu x tdelll 第29頁(yè)/共45頁(yè)0(1)0,0;xx luu1( , )( )sinnnn xu x tT tl0(2)0,0;xxxx luu0( , )( )cosnnn xu x tT tl0(

18、3)0,0;xxx luu01()2( , )( )sinnnnxu x tT tl0(4)0,0;xxx luu01()2( , )( )cosnnnxu x tT tl 運(yùn)用傅氏級(jí)數(shù)法求定解問(wèn)題，要注意在不同齊次邊界條件下，所求定解問(wèn)題的解展開(kāi)為不同形式的傅里葉級(jí)數(shù)，二、傅里葉級(jí)數(shù)法第30頁(yè)/共45頁(yè)(1)、若是第一類非齊次邊界條件 可設(shè) )()(),(tBxtAtxv可將w(x,t)的邊界條件齊次化。 120( ),( )xx luf tuf t引入輔助函數(shù)v(x,t)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使v(x,t)滿足非齊次邊界條件，可將函數(shù)u(x,t)滿足的非齊次邊界條件

19、的定解問(wèn)題變換為函數(shù)w(x,t)滿足的齊次邊界條件的定解問(wèn)題。 P173 8.3.4第31頁(yè)/共45頁(yè)120( ),( )xxxx luf tuf t可設(shè) 2( , )( )( )v x tA t xB t x可將w(x,t)的邊界條件齊次化 (3)、若是第一、二類非齊次邊界條件 120( ),( )xxx luf tuf t120( ),( )xxx luf tuf t或可設(shè) )()(),(tBxtAtxv可將w(x,t)的邊界條件齊次化。 (2)、若是第二類非齊次邊界條件 P173 8.3.10第32頁(yè)/共45頁(yè)第33頁(yè)/共45頁(yè)0 sin1sinsin112222222ururrurrr

20、一、球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程熟練掌握將上式分離為三個(gè)常微分方程的方法，并能寫出各自的通解?。▍^(qū)別連帶勒讓德方程和勒讓德方程）二、球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程0112222222zuuuu熟練掌握將上式分離為三個(gè)常微分方程的方法，并能寫出各自的通解！ （區(qū)別貝塞爾方程和虛宗量貝塞爾方程）第34頁(yè)/共45頁(yè)(1) l階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題 1( )xy x 當(dāng)時(shí)有限0) 1(2)1 (2 yllyxyx(自然邊界條件)本征值問(wèn)題本征值是l (l+1) 本征函數(shù)則是l階勒讓德多項(xiàng)式Pl(x)勒讓德方程的解。（注：熟記幾個(gè)特殊值?。?(0,1,2)l 第十章 球函數(shù) 第35頁(yè)/共45頁(yè)(

21、2)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 1)、正交性 不同階的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間(-1, 1)上正交， 11( ) ( )0()klP x P x dxkl221lNl(0,1,2,)l 第36頁(yè)/共45頁(yè)如何將一個(gè)定義在x的區(qū)間-1, 1上的函數(shù)f(x)展開(kāi)成廣義傅里葉級(jí)數(shù)： 一般公式： 0)()(lllxPfxf展開(kāi)系數(shù) 11)()(212dxxPxflfll待定系數(shù)法（熟練掌握 的展開(kāi)方法）僅適用于f(x)是關(guān)于x的次冪的多項(xiàng)式 2224( ),1,1,f xxxxx第37頁(yè)/共45頁(yè)(3)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 母函數(shù) 21( , )1 2 cosu rrr211 2 cosrr101(cos )lll

22、Pr0(cos )lllr P) 1( r(1)r 10(cos )llllrPR2212cosRrRr10(cos )llllRPr()rR()rR以半徑為R的球代替單位球，則 第38頁(yè)/共45頁(yè)2、掌握關(guān)于極軸對(duì)稱拉氏方程在球坐標(biāo)系下的解： 關(guān)于軸對(duì)稱的拉氏方程的定解問(wèn)題的通解為 01)(cos)(),(llllllPrBrAru對(duì)球內(nèi)軸對(duì)稱問(wèn)題自然邊界條件： 有限值0ru取Bl=0， 應(yīng)排除 , 11lr0)(cos),(llllPrAru第39頁(yè)/共45頁(yè)例1、 解： 2cos00rruu)0 ,20 ,(0 rr邊界條件與無(wú)關(guān)，以球坐標(biāo)的極軸為對(duì)稱軸。 此定解問(wèn)題是軸對(duì)稱情況下的球內(nèi)問(wèn)題，故 0)(cos),(llllPrAr