計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告專業(yè)班級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué)生學(xué)號(hào)：實(shí)驗(yàn)名稱：實(shí)驗(yàn)一：非線性方程求根迭代法實(shí)驗(yàn)二：求解線性方程組(1)實(shí)驗(yàn)三：求解線性方程組（2）實(shí)驗(yàn)四：數(shù)值積分實(shí)驗(yàn)五：數(shù)值微分實(shí)驗(yàn)一：一、實(shí)驗(yàn)名稱非線性方程求根迭代法二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1) 熟悉非線性方程求根簡(jiǎn)單迭代法，牛頓迭代及牛頓下山法(2) 能編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單迭代法，牛頓迭代及牛頓下山法(3) 認(rèn)識(shí)選擇迭代格式的重要性(4) 對(duì)迭代速度建立感性的認(rèn)識(shí)；分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果體會(huì)初值對(duì)迭代的影響三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用牛頓下山法解方程（初值為0.6）輸入：初值，誤差限，迭代最大次數(shù)，下山最大次數(shù)輸出：近似根各步下山因子 四、基本原理（計(jì)算公式）求非線性方程組的解是科學(xué)

2、計(jì)算常遇到的問(wèn)題，有很多實(shí)際背景各種算法層出不窮，其中迭代是主流算法。只有建立有效的迭代格式，迭代數(shù)列才可以收斂于所求的根。因此設(shè)計(jì)算法之前，對(duì)于一般迭代進(jìn)行收斂性的判斷是至關(guān)重要的。牛頓法也叫切線法，是迭代算法中典型方法，只要初值選取適當(dāng)，在單根附近，牛頓法收斂速度很快，初值對(duì)于牛頓迭代至關(guān)重要。當(dāng)初值選取不當(dāng)可以采用牛頓下山算法進(jìn)行糾正。一般迭代： 牛頓公式：牛頓下山公式： 下山因子下山條件五、算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（流程圖）牛頓下山算法見(jiàn)流程圖：圖3.2牛頓下山算法流程圖六、個(gè)人理解：這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵之處不是公式的復(fù)雜性，而是如何對(duì)算法的實(shí)現(xiàn)提供一個(gè)條理清晰且方法合理的if嵌套，這個(gè)算法中運(yùn)用了許

3、多判斷，如何進(jìn)行其判斷結(jié)果的返回將是解決這個(gè)問(wèn)題的重中之重。把這個(gè)問(wèn)題弄清楚，再結(jié)合本身并不復(fù)雜的算法公式，這個(gè)問(wèn)題就可解了。這個(gè)程序開(kāi)始花費(fèi)了我很長(zhǎng)時(shí)間搞清楚如何進(jìn)行判斷返回的運(yùn)算來(lái)解決if語(yǔ)句嵌套。七、輸入與輸出圖1圖2八、結(jié)果討論和分析可見(jiàn)，該程序的輸出分為兩個(gè)情況，兩者的差別是初值選取的不同，所以說(shuō)，牛頓法的收斂性依賴于初值x0的選取，如果x0偏離x的準(zhǔn)確值較遠(yuǎn)，則牛頓法將可能發(fā)散。所以要引入牛頓下山法來(lái)避免這一情況。所以，當(dāng)圖2情況下，初值為0.6的時(shí)候，會(huì)進(jìn)行牛頓下山法使結(jié)果可以進(jìn)行再次迭代，解決了牛頓法初值選取問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)二：一、實(shí)驗(yàn)名稱求解線性方程組（gauss - seidel

4、 迭代法）二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1) 熟悉求解線性方程組的有關(guān)理論和方法；(2) 能編程實(shí)現(xiàn)雅可比及高斯-塞德?tīng)柕?、列主元高斯消去法、約當(dāng)消去，追趕法(3) 通過(guò)測(cè)試，進(jìn)一步了解各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)(4) 根據(jù)不同類型的方程組，選擇合適的數(shù)值方法三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用gauss - seidel 迭代法求解方程組輸入：系數(shù)矩陣a，最大迭代次數(shù)n，初始向量，誤差限e輸出：解向量四、基本原理（計(jì)算公式）無(wú)論是三次樣條還是擬合問(wèn)題最終都?xì)w結(jié)為線性方程組，求解線性方程組在數(shù)值分析中非常重要，在工程計(jì)算中也不容忽視。線性方程組大致分迭代法和直接法。只有收斂條件滿足時(shí)，才可以進(jìn)行迭代。雅可比及高斯-塞德?tīng)柺亲罨镜膬深惖?/p>

5、代方法，最大區(qū)別是迭代過(guò)程中是否引用新值進(jìn)行剩下的計(jì)算。消元是最簡(jiǎn)單的直接法，并且也十分有效的，列主元高斯消去法對(duì)求解一般的線性方程組都適用，同時(shí)可以用來(lái)求矩陣對(duì)應(yīng)的行列式。約當(dāng)消去實(shí)質(zhì)是經(jīng)過(guò)初等行變換將系數(shù)矩陣化為單位陣，主要用來(lái)求矩陣的逆。在使用直接法，要注意從空間、時(shí)間兩方面對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化。高斯-塞德?tīng)柕?五、算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（流程圖，個(gè)人理解）圖4.1g-s迭代算法流程圖個(gè)人理解：該算法最考驗(yàn)人的地方在于對(duì)運(yùn)算公式的理解，這個(gè)公式相對(duì)于其他幾個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)是最難的，其原因在于要用到多重嵌套循環(huán)，而且其中對(duì)數(shù)組的運(yùn)用對(duì)于很多同學(xué)來(lái)說(shuō)也是比較困難的。只要將其中依次將數(shù)組的值的和對(duì)另一個(gè)數(shù)組賦

6、值的原理搞清楚以后，這個(gè)問(wèn)題將很容易解決，所以，這一點(diǎn)，也是這個(gè)程序最考驗(yàn)人的地方。六、輸入與輸出七、結(jié)果討論和分析對(duì)于求解行列式來(lái)說(shuō)，一般的方法很難求出，只能通過(guò)之前步驟的結(jié)果一步步地將結(jié)果求得，在這些迭代中，選取一個(gè)好的迭代方式，既避免了可能存在的發(fā)散情況，又加快了收斂次數(shù)。上兩圖說(shuō)明高斯賽德?tīng)柕鷮?duì)于某些迭代來(lái)說(shuō)還是有缺陷的，并不能解出有效結(jié)果。實(shí)驗(yàn)三：一、實(shí)驗(yàn)名稱求解線性方程組（選主元高斯消去）二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）熟悉求解線性方程組的有關(guān)理論和方法；（2）能編程實(shí)現(xiàn)雅可比及高斯-塞德?tīng)柕?、列主元高斯消去法、約當(dāng)消去，追趕法（3）通過(guò)測(cè)試，進(jìn)一步了解各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)（4）根據(jù)不同類型的

7、方程組，選擇合適的數(shù)值方法三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用選主元高斯消去求行列式值四、基本原理（計(jì)算公式）提示： a.b. 消元結(jié)果直接存儲(chǔ)在系數(shù)矩陣中c. 當(dāng)消元過(guò)程發(fā)生兩行對(duì)調(diào)的情況為偶數(shù)次時(shí)，行列式值為對(duì)角線乘積，否則為對(duì)角線乘積的相反數(shù)2（5）用選主元約當(dāng)消去分別對(duì)矩陣求其逆矩陣，若不可逆輸出奇異標(biāo)志和提示：五、算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（流程圖）圖4.3列主元的高斯消去流程圖六、個(gè)人理解：我感覺(jué)選主元高斯消去編程稍微有一些困難，難在對(duì)公式的理解，還有對(duì)數(shù)組的處理?？赡芪覐囊婚_(kāi)始就理解有誤，只是把握住了其中心思想，但是對(duì)其函數(shù)的具體實(shí)現(xiàn)還是存在一些偏差，導(dǎo)致輸出結(jié)果并不是很理想。七、輸入與輸出八、結(jié)果討論和分析感覺(jué)

8、我這個(gè)程序運(yùn)行還是有些問(wèn)題，無(wú)法實(shí)現(xiàn)某些功能，僅僅能夠解決行列式的最終求值問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)四：一、實(shí)驗(yàn)名稱數(shù)值積分二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1) 熟悉復(fù)化梯形方法、復(fù)化simpson方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(2) 能編程實(shí)現(xiàn)復(fù)化梯形方法、復(fù)化simpson方法、梯形遞推算法、龍貝格算法；(3) 理解并掌握自適應(yīng)算法和收斂加速算法的基本思想；(4) 分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果體會(huì)各種方法的精確度，建立計(jì)算機(jī)求解定積分問(wèn)題的感性認(rèn)識(shí)三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1) 用龍貝格算法計(jì)算輸入：積分區(qū)間，誤差限輸出：序列tn，sn,cn,rn及積分結(jié)果四、基本原理（計(jì)算公式）在許多實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算定積分的值。根據(jù)微積分學(xué)基本定理，若被

9、積函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，只要能找到f(x)的一個(gè)原函數(shù)f(x)，便可利用牛頓-萊布尼茲公式求得積分值。但是在實(shí)際使用中，往往遇到如下困難，而不能使用牛頓-萊布尼茲公式。（1） 找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)（2） 雖然找到了原函數(shù)，但因表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜而不便計(jì)算（3） f(x)是由測(cè)量或計(jì)算得到的表格函數(shù)由于以上種種困難，有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。利用插值多項(xiàng)式 則積分轉(zhuǎn)化為，顯然易算。稱為插值型求積公式。最簡(jiǎn)單的插值型求積公式是梯形公式和simpson公式，。當(dāng)求積結(jié)點(diǎn)提供較多，可以分段使用少結(jié)點(diǎn)的梯形公式和simpson公式，并稱為復(fù)化梯形公式、復(fù)化simpson公式。如步長(zhǎng)未知

10、，可以通過(guò)誤差限的控制用區(qū)間逐次分半的策略自動(dòng)選取步長(zhǎng)的方法稱自適應(yīng)算法。梯形遞推公式給出了區(qū)間分半前后的遞推關(guān)系。由梯形遞推公式求得梯形序列，相鄰序列值作線性組合得simpson序列, simpson序列作線性組合得柯特斯序列, 柯特斯序列作線性組合的龍貝格序列。若|r2-r1|e,則輸出r2;否則依此類推。如此加工數(shù)據(jù)的過(guò)程叫龍貝格算法，如下圖所示：復(fù)化梯形公式復(fù)化simpson公式梯形遞推公式加權(quán)平均公式： 龍貝格算法大大加快了誤差收斂的速度，由梯形序列o(h2) 提高到龍貝格序列的o(h8)五、算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（流程圖）圖2.2梯形遞推算法流程圖圖2.3龍貝格算法流程圖(1) 龍貝格算法

11、見(jiàn)流程圖六、個(gè)人理解龍貝格算法其實(shí)是在梯形遞推的基礎(chǔ)之上生成的一種精度高，而且收斂速度也較快的一種算法。對(duì)于梯形算法來(lái)說(shuō)，程序比較容易編寫，而龍貝格算法，程序中需要注意用龍貝格算法加速收斂的時(shí)候如何處理判斷以后生成的返回值才能使程序正常運(yùn)行。而且，對(duì)于本題的特殊性，對(duì)于積分的函數(shù)中存在分母為x的情況，在此情況下，就必須要討論x為0溢出的情況，剛開(kāi)始編好的程序總是出現(xiàn)莫名其妙的輸出，后來(lái)才發(fā)現(xiàn)是出現(xiàn)了分母為0的情況。所以，在編程中，要注意細(xì)節(jié)，往往一個(gè)很好的程序，某一個(gè)不起眼的細(xì)節(jié)很可能影響整個(gè)程序的正常運(yùn)行。還有最后編寫防止溢出的操作函數(shù)的時(shí)候，=不小心寫為=，也找了很久的錯(cuò)誤。這些都是非常低

12、級(jí)的錯(cuò)誤，但是因?yàn)榇中?，仍然出現(xiàn)了。所以，以后編程要認(rèn)真。七、輸入與輸出八、結(jié)果討論和分析龍貝格算法可以達(dá)到預(yù)期目的，求得所需要的結(jié)果。但無(wú)法分析出是否節(jié)約了時(shí)間和效率，但絕對(duì)是個(gè)可行的辦法。實(shí)驗(yàn)五：一、實(shí)驗(yàn)名稱微分方程的差分方法二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）熟悉數(shù)值微分中euler法，改進(jìn)euler法，rung-kutta方法；（2）能編程實(shí)現(xiàn)euler法，改進(jìn)euler法，rung-kutta方法；（3）通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析各個(gè)算法的優(yōu)缺點(diǎn);（4）明確步長(zhǎng)對(duì)算法的影響并理解變步長(zhǎng)的rung-kutta方法三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（1） 0 x1取h=0.1時(shí)用euler法，改進(jìn)euler法，rung-kutta方法求

13、其數(shù)值解并與精確解進(jìn)行比較。輸入：求解區(qū)間，初值，數(shù)值解個(gè)數(shù)輸出：數(shù)值解四、基本原理（計(jì)算公式）在許多科學(xué)技術(shù)問(wèn)題中，建立的模型常常以常微分方程的形式表示。然而，除了少數(shù)特殊類型的常微分方程能用解析方法求其精確解外，要給出一般方程解析解的表達(dá)式是困難的。所以只能用近似方法求其數(shù)值解，在實(shí)際工作中常用計(jì)算機(jī)求常微分方程的數(shù)值解。所謂常微分方程的數(shù)值解即對(duì)于常微分方程初值問(wèn)題計(jì)算出在一系列節(jié)點(diǎn) a = x0 x1 xn= b 處的未知函數(shù) y(x)近似值y0,y1,yn，即找到一系列離散點(diǎn)（x0,y0）（x1,y1）（x2,y2）（xn,yn）近似滿足常微分方程。數(shù)值解法的基本思想用差商代替導(dǎo)數(shù),實(shí)現(xiàn)連續(xù)問(wèn)題離散化，選取不同的差商代替導(dǎo)數(shù)可以得到不同公式。改進(jìn)歐拉公式是常用方法之一，包括預(yù)測(cè)和校正兩步。先用歐拉公式進(jìn)行預(yù)報(bào)，再將預(yù)報(bào)值代入梯形公式進(jìn)行校正，從而達(dá)到二階精度。通過(guò)龍格-庫(kù)塔法我們可以獲得更高精度。經(jīng)典龍格-庫(kù)塔法即在區(qū)間xn,xn+1取四點(diǎn)，并對(duì)這四點(diǎn)的斜率進(jìn)行加權(quán)平均作為平均斜率，通過(guò)泰勒公式尋找使局部截?cái)嗾`差為o(h5)（即4階精度）的參數(shù)滿足條件。改進(jìn)的歐拉公式： 預(yù)測(cè)校正四階（經(jīng)典）龍格-庫(kù)塔公式五、算法設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)（流程圖）圖5.3經(jīng)典龍格庫(kù)塔算法六、個(gè)人理解由于該算法的步驟很少，而且主要步驟很集中，所以編寫程序非常簡(jiǎn)單，即將流程圖中的替代過(guò)程稍