概率論的基本概念PPT學習教案

1、會計學1概率論的基本概念概率論的基本概念問題：A. 太陽從東方升起； B. 明天的最高溫度；C. 上拋物體一定下落； D.擲一顆骰子，觀察其向上點數(shù).下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？隨機現(xiàn)象大量性隨機現(xiàn)象: 在完全相同的條件下可重復出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象個別隨機現(xiàn)象問題：隨機現(xiàn)象有規(guī)律可言嗎?有規(guī)律！ 在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.第1頁/共59頁例如: 一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標而有隨機性的誤差，但大量炮彈的彈著點則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如：一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等.又如: 測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測量的結果可能是有

2、差異的. 但多次測量結果的平均值隨測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù)，而且各測量值大多落在此常數(shù)的附近，越遠則越少，因而其分布狀況呈現(xiàn)“兩頭小，中間大，左右基本對稱”.第2頁/共59頁再如: 天有不測風云和天氣可以預報有矛盾嗎?沒有矛盾!“天有不測風云”體現(xiàn)了隨機現(xiàn)象的偶然性.“天氣可以預報”體現(xiàn)了隨機現(xiàn)象的規(guī)律性. 從表面上看，隨機現(xiàn)象的每一次觀察結果都是隨機的， 但多次觀察某個隨機現(xiàn)象，就能發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律. 這種必然性表現(xiàn)在: 在一定條件下，對隨機現(xiàn)象進行大量重復觀察， 可發(fā)現(xiàn)大量性隨機現(xiàn)象中各種結果的出現(xiàn)有其 規(guī)律性，我們稱其為統(tǒng)計規(guī)律性.第3頁/共59頁 隨機現(xiàn)象具

3、有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表現(xiàn)在“對隨機現(xiàn)象做一次觀測時，觀測結果具有偶然性(不可預知)”；必然性一面表現(xiàn)在“對隨機現(xiàn)象進行大量重復觀測時，觀測結果有一定的規(guī)律性，即統(tǒng)計規(guī)律性”。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支。第4頁/共59頁(1).金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定；(2).流水線上產品質量檢驗與質量控制；(3).服務性行業(yè)中服務設施及服務員配置；(4).生物醫(yī)學中病理試驗與藥理試驗；(5).食品保質期、彈藥貯存分析，電器與電 子產品壽命分析；(6). 物礦探測、環(huán)保監(jiān)測、機械仿生與考古；第5頁/共59頁參 考 書 目 1、高教出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)

4、計教程魏宗舒 2、高教出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計 中山大學 3、大連理工大學出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計典型 題精講 秦禹春等編 4、科學出版社全美經典學習指導系列概率 與統(tǒng)計 第6頁/共59頁第 一 章概 率 論 的 基 本 概 念第7頁/共59頁 1 隨機試驗(random experiment) 對隨機現(xiàn)象進行的觀察、試驗或實驗叫做隨機試驗, 可用 E 表示. 2 樣本空間、隨機事件(random event) 試驗 E 的所有可能結果構成的集合稱為 試驗 E 的樣本空間，記為. 樣本空間中的元素, 即試驗 E 的每個基本結果, 叫樣本點(或基本事件), 記作e 或.注： 樣本空間是描述隨機現(xiàn)象的

5、數(shù)學模型；樣本空間的構造應根據需要來定. 但很多隨機現(xiàn)象的可能結果的總數(shù)很大,將樣本空間完全寫出較困難，關鍵應明確以何為樣本點.第8頁/共59頁例：E擲一均勻硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況. 則樣本點1正面朝上，2反面朝上；樣本空間. ,21若量化處理，則可：正面朝上 記作1，反面朝上記作0，則樣本空間可表為 S = 1，0.第9頁/共59頁例：E在一批燈泡中任取一只燈泡, 測試其壽命.可認為任一大于0的數(shù)都是一個可能結果， 故樣本空間為 = t | t 0 .即樣本點為0, +)上的任一值 t, *隨機事件：粗略地講, 在一定條件下，試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件.一般以大寫字母

6、A, B, C 等表示事件.第10頁/共59頁例：E擲一均勻骰子，觀察幾點朝上.則樣本點iei點朝上記作 i ， ,6, 2 , 1 i樣本空間為 = 1, 2, 3, 4, 5, 6.621,eee都為隨機事件, 更多的隨機事件是由多個樣本點構成的, 如:出現(xiàn)偶數(shù)點=2, 4, 6, 出現(xiàn)1及5點=1, 5, 等等; 從集合角度看: 它們都是樣本空間的子集, 若該子集包含的某個樣本點在試驗中出現(xiàn), 則相應的隨機事件就發(fā)生. 這種事件是由單個樣本點構成的, 叫 基本事件*;第11頁/共59頁定義:試驗 E 的樣本空間 的子集叫做 E 的隨機事件, 試驗中當且僅當這一子集中的某個樣本點出現(xiàn)時,

7、這一事件就發(fā)生.兩個特殊事件必然事件不可能事件 例如，在擲骰子試驗中，“擲出點數(shù)小于7” 是必然事件; 而 “擲出點數(shù)8” 則是不可能事件.第12頁/共59頁例： 某兩人約定某一天8點至9點在某地會面, 觀察兩人到達時間.若以 x、y 分別表示甲、乙到達時間, 則樣本空間為 = (x, y)| 8 x 9, 8 y 9. 事件 A = 兩人到達時間相差半小時= (x, y)| |x y|=1/2, 8x,y 9 .第13頁/共59頁*事件間的關系及事件的運算1事A包含于事 B AB 事A發(fā)生必事 B 發(fā)生.具體含義數(shù)學符號2A 與 B 的并(和)AB 事A與事 B 至少有一發(fā)生.A1 ,A2

8、,An的并12nAAA或 1niiA A1 ,A2 ,An中至少有一發(fā)生. A1 ,A2 ,的并12AA或 1iiA A1 ,A2 ,中至少有一發(fā)生. 第14頁/共59頁3A 與 B 的交(積)AB 或 AB事A與事 B 同時發(fā)生.A1 , A2 , ,An的交12nAAA或 1niiA A1 , A2 , ,An同時發(fā)生. A1 , A2 , 的交12AA或 1iiA A1 , A2 , 同時發(fā)生. 4A 與 B 的差AB 事A發(fā)生但事 B 不發(fā)生. 第15頁/共59頁5A 的逆事件A事A 不發(fā)生. 對此有,A A 6如果 ,AB 則稱A與 B 互不相容(或互斥). 即 A 與 B 不同時發(fā)

9、生,要熟知一些常見的關系與運算, 比如: ,A BABAAB AABAB 且 與 互不相容,ABABBABAB 且 ,ABAB 等等.,AAAA第16頁/共59頁事件運算的規(guī)律: 設 A, B, C 為事件, 則(1) 交換律:,ABBA ABBA (2) 結合律:,)()(CBACBA CBACBA)()( (3) 分配律: ),()()(CABACBA )()()(CABACBA (4) 對偶律: ,BABA BABA 第17頁/共59頁 例: 從一批產品中任取兩件，觀察合格品的情況. 記 A= 兩件產品都是合格品， 則 A兩件產品不都是合格品，通常敘述為： A兩件產品中至少有一件是不合格

10、品; 若記 Bi =取出的第i 件是合格品，i=1, 2, 則 ,21BBA 21BBA 21BB 212121BBBBBB 第18頁/共59頁 例：A, B, C 為三事件, 試表示以下事件:(1) “三事恰好有一發(fā)生” CBACBACBA(2) “A、B至少有一發(fā)生, 但 C 不發(fā)生”CBA)(或CBA 或CBACBAABC(3) “三事中不多于兩事發(fā)生”CBACBACBACBACABCBABCA或ABC或ABC(4) 表示何事? CBACAB表示 “ A、B、C 中至少有兩個發(fā)生”；也可表示成CABCBABCAABC第19頁/共59頁 3 頻率(frequency)與概率(probabi

11、lity) 概率是度量事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)量指標. 粗略地講, 表示事件 A 發(fā)生的可能性大小的數(shù)值, 叫做事件 A 的概率*, 記為 P(A). 了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，有非常重要的意義:例如，了解發(fā)生意外事故的可能性大小,以便確定保險金額;第20頁/共59頁又如，了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，可以合理配置服務人員;再如, 了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，可以合理確定堤壩高度.第21頁/共59頁 事件發(fā)生的可能性大小是否客觀存在? 對此頻率的穩(wěn)定性給出了肯定回答; 同時給出了在一般的隨機試驗中如何去估計事件概率的方法. 一. 頻率 事件 A 在 n 次重復試

12、驗中發(fā)生的次數(shù) nA 叫 A 發(fā)生的頻數(shù). A 在這 n 次試驗中發(fā)生的頻率： .)(nnAfAn 事件發(fā)生的頻率有一重要特性穩(wěn)定性.為此考慮在相同條件下進行的多輪試驗：第22頁/共59頁第二輪試驗試驗次數(shù)n2事件A出現(xiàn)m2次第 k 輪試驗試驗次數(shù)nk事件A出現(xiàn)mk 次事件A 在各輪試驗中的頻率分別為:,11nm,22nm;kknm,試驗次數(shù)n1事件A出現(xiàn)m1 次第一輪試驗第23頁/共59頁 試驗表明： 當試驗次數(shù)較少時，同一事件在不同輪次的試驗中的頻率有明顯差異; 當各輪試驗次數(shù)充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率都穩(wěn)定在某一常數(shù) P(A) 附近， 且此數(shù)不依賴于試驗的次數(shù)及輪次. 事件頻

13、率隨試驗次數(shù)無限增大而趨于穩(wěn)定的性質叫頻率穩(wěn)定性. 顯然可用常數(shù) P(A) 來度量事件A 發(fā)生的可能性大小， 此數(shù)為事件 A 發(fā)生的概率(統(tǒng)計概率). 基于頻率穩(wěn)定性，在實際中: 當概率不易求出時，人們常取試驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值.第24頁/共59頁例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄. 若他射擊 n 發(fā)，中靶 m 發(fā)，當 n 很大時，可用頻率 m/n 作為他中靶概率的估計.再如： Ar記圖示正方形區(qū)域為 ，紅域為A.現(xiàn)向區(qū)域內隨機地投點 n 次，有m次落在 A 中.以 A 表示事件 “隨機點落在 A 中”，由幾何方法算得：,4

14、4/)(22 rrAP利用頻率和概率的關系，當 n充分大時，,)(nmAP 于是：.4nm 第25頁/共59頁 二. 概率的公理化定義及性質定義: 設 為試驗 E 的樣本空間, 若對E 中每一事件A, 有一實數(shù) P(A) 與之對應, 且滿足:1 非負性： 對任一事件 A 有 ;0)( AP2 規(guī)范性： ; 1)(P3 可列可加性： 對兩兩互不相容事件 A1 ,A2 , 有 )(21 AAP;)()(21 APAP則稱 P(A) 為事件A 的概率.注：理解概率是一滿足某些公理(基本性質)的集合函數(shù); 并著重掌握概率的性質.第26頁/共59頁性質一： . 0)( P*性質二( 有限可加性)： 對兩

15、兩互不相容事件 A1 , A2 ,An , 有 )(21nAAAP. )()()(21nAPAPAP 性質三： 若 , 則 BA ),()()(APBPABP ).()(APBP 性質四： 對任一事件 A , . 1)( AP*性質五( 逆的概率)： ).(1)(APAP *性質六( 加法公式)： ()P AB ()()P AP B ().P AB 第27頁/共59頁例：設 A 發(fā)生的概率為 1/5, A與B 至少有一發(fā)生的概率為1/3, A 發(fā)生但 B 不發(fā)生的概率為 1/9 ; 求(1) B 發(fā)生的概率; (2) A與B 同時發(fā)生的概率;(3) A與B 都不發(fā)生的概率;(4)A與B 至少有

16、一不發(fā)生的概率.解：已知, 5/1)( AP, 3/1)( BAP, 9/1)( BAP(1),BABAB ,BABA 且且)()()(BAPBAPBP ;92 (2)()()()(BAPBPAPABP ;454 (3)(1)(BAPBAP )(1BAP ;32 (4)()P AB )(1)(ABPABP 4541 第28頁/共59頁 4. 古典概型(等可能概型)一. 古典概型與古典概率 古典概型是一種計算概率的數(shù)學模型, 是概率論最早的研究對象.古典概型隨機試驗 1 有限性： 試驗中基本事件 的總數(shù)有限; 2 等可能性： 試驗中每一基本事件 發(fā)生的可能性相同. 注：等可能性是種假設, 應根據

17、實際情況來判斷, 一般可由對稱性或某種均衡性來判斷.第29頁/共59頁2 3479108615 例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為110 . 把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球. 由于抽取時這些球是完全平等的,因而可認為10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10. 若將抽球過程看作試驗, 則抽到某一球就是試驗的一個可能結果(或基本事件), 故試驗中每個基本事件 出現(xiàn)的可能性相同 . 再如: 擲均勻硬幣, 擲均勻骰子及產品的抽樣檢測等.第30頁/共59頁 研究古典型隨機試驗的概率模型叫古典概型. 古典概型中的概率叫古典概率. 在古典概型中, 事件 A 的概率

18、)(APA包含的基本事件數(shù) 基本事件的總數(shù) 這樣就把求概率問題轉化為計數(shù)問題. 排列組合是計算古典概率的重要工具 .第31頁/共59頁二. 古典概率計算舉例 在古典概型中, 事件 A 的概率: )(APA包含的基本事件數(shù) 基本事件的總數(shù) 計算古典概率的一般步驟:(1) 確定以什么為基本事件: 明確其內涵,注意保證等可能性. (2) 算出基本事件的總數(shù)及 A 包含的基本事件數(shù);在計算時應避免重復計數(shù)或遺漏; 在選用計數(shù)方法時應保持一致. (3) 算出 P(A). 第32頁/共59頁 例:向桌面擲 2 枚均勻硬幣, 求落下后向上的面為一正一反的概率.解:注意到 2 硬幣是可識別的,因而共有 4 個

19、等可能的基本事件:(正,正),(正,反), (反,正),(反,反);記 A = 兩硬幣落下后向上的面為一正一反,則 A 包含 2 個基本事件,)(AP. 5 . 042 第33頁/共59頁 例:某人有一串式樣相同的鑰匙 8 把, 只有一把能將門打開, 現(xiàn)從中任取3把去試開, 求能將門打開的概率.解:8 把鑰匙中任取 3 把的每一種取法為一基本事件, 若不計次序, 則基本事件的總數(shù)為;38C記 A = 8 把鑰匙中任取 3 把, 能將門打開,則 A 包含的基本事件數(shù)為;27C)(AP3827CC .83 若考慮次序,則)(AP= 38A27C33A 或)(AP)(1AP 1 .38C37C第34

20、頁/共59頁 例（球在盒中的分布問題）：有n個編了號的球，每個球都以相同的概率 1 / N (Nn)被放入 N 個盒子的每一盒中, 求以下事件的概率： A=指定的n個盒中各有一球， B=每個盒中至多有一球， C =某指定的盒中恰有m個球 解:n個球放入 N 個盒中的每一種放法為一基本事件, 基本事件的總數(shù)為,nN A 包含的基本事件數(shù)為, !n;!)(nNnAP B 包含的基本事件數(shù)為,nNA;)(nnNNABP C 包含的基本事件數(shù)為,)1(mnmnNC .)1()(nmnmnNNCCP 第35頁/共59頁 許多表面上提法不同的問題實質上屬于同一類型,如以下問題都可歸結為分球入盒問題: 1.

21、 有n個人，每個人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率. 2. 有n個人，設每個人的生日是任一天的概率為1/365. 求這n (n 365)個人的生日互不相同的概率. 3. 某城市每周發(fā)生7次車禍，假設每天發(fā)生車禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率. 4. 某城市的電話號碼由8個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由八個不同數(shù)字組成的概率.第36頁/共59頁例: 甲、乙兩人先后從 52 張牌中各抽取 13 張, 請針對以下各情況, 求甲或乙拿到 4 張 A 的概率.1) 甲抽后不放回，乙再抽; 2) 甲抽

22、后將牌放回，乙再抽. 解:設 A = 甲拿到 4 張 A , B = 乙拿到 4 張 A ,欲求概率),(BAP(1) A、B 互不相容:)()()(BPAPBAP 1352C948C 13135239CC1394835CC(2) A、B 相容:)()()()(ABPBPAPBAP 21352C948C 13135252CC994848C C第37頁/共59頁例: 設元件盒中裝有50個電阻，20個電感，30個電容， 從盒中任取30個元件，求所取元件中至少有一個電阻同時 至少有一個電感的概率. 解:設 A = 所取元件中至少有一電阻, B = 所取元件中至少有一電感,欲求概率 P(AB) ,容易

23、求出: ,)(301003050CCAP ,)(301003080CCBP ;1)(30100CBAP )(1)(ABPABP )(1BAP )()()(1BAPBPAP .113010030803050CCC 第38頁/共59頁 5. 條件概率、全概率公式及貝葉斯公式一. 條件概率（1） 在事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率為條件概率，記作 P(B | A) .一般 P(B | A) P(B), （2）計算公式:,)()()|(APABPABP ).0)( AP（3）概率具有的性質也適用于條件概率, 但要注意條件不能變、不能丟棄.第39頁/共59頁 （4） 乘法公式：),|()()(

24、ABPAPABP );0)( AP或),|()()(BAPBPABP ).0)( BP進一步：, 0)(321 AAAP若則 )(321AAAP)|(213AAAP)(21AAP)|(213AAAP )|(12AAP).(1AP 利用乘法公式可計算多個事件同時發(fā)生的概率.第40頁/共59頁例: 擲兩顆均勻骰子, 已知第一顆擲出6點, 問“擲出 點數(shù)之和不小于10” 的概率是多少? 解:設 A = 擲出點數(shù)之和不小于10 , B = 第一顆擲出6點,欲求概率),|(BAP解法1 (縮減樣本空間法): )|(BAP.63B發(fā)生后的縮減樣本空間 所含基本事件的總數(shù)在縮減樣本空間中 A所含基本事件數(shù)解

25、法2 (公式法):)|(BAP)()(BPABP 366363 .21 第41頁/共59頁例: n 個人排成一列, 已知甲總排在乙前, 求乙緊跟甲后的概率? 解:設 A = 甲在乙前 , B = 乙緊跟甲后,AB 欲求概率),|(ABP解法1 (縮減樣本空間法): )|(ABP)!2(2 nCn)!1( n.2n 解法2 (公式法):)|(ABP)()(APABP )()(APBP 21!)!2)(1(nnn .2n 第42頁/共59頁例: 設某種透鏡, 第一次落下時打破的概率為 1/2; 若第一次落下未打破, 則第二次落下時打破的概率為7/10; 若前兩次落下未打破, 則第三次落下時打破的概

26、率為9/10; 求透鏡落下三次而未打破的概率. 解:設 B = 透鏡落下三次而未打破, Ai = 透鏡第i 次落下時打破, i =1, 2, 3,已知 , 2/1)(1 AP,10/7)|(12 AAP,10/9)|(213 AAAP欲求概率P(B) ;而 ,321AAAB )()(321AAAPBP )()|()|(112213APAAPAAAP 21103101 .2003 第43頁/共59頁 二. 全概率公式及貝葉斯公式 全概率公式主要用于計算比較復雜事件的概率, 是加法公式和乘法公式的綜合運用.例(抓鬮問題): 一組 n 人抓 n 個鬮(其中 m 個標“有”), 求第二人抓到 “有”的

27、概率.解:設 A = 第二人抓到 “有”, B = 第一人抓到 “有”, 則 ,ABBAA 且 , ABBA)()()(ABPBAPAP )|()(BAPBP )|()(BAPBP nm 11 nmnmn 1 nm.nm 第44頁/共59頁 設S為試驗的樣本空間，事件B1 , B2 , Bn 兩兩互不相容，且 P( Bi ) 0 (i =1, 2, , n), 全概率公式:SBnii 1 將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.(B1, B2, Bn 叫S 的一劃分或完備事件組),.)()()(1 niiiBAPBPAP則對任一事件A，有第45頁/共59頁(1)

28、 全概率公式的來由: “全”部概率P(A)被分解成了許多 部分概率之和.說明:(2) 由于,21ABABABAn 因此 A 總是伴隨著 B1 , B2 , Bn 中的某個 Bi 的出現(xiàn)而出現(xiàn), 可以說: 每一 Bi都可能導致 A 發(fā)生; B1 , B2 , Bn 是導致 A 發(fā)生的所有原因，故 A 發(fā)生的概率是各原因引起 A 發(fā)生概率的總和. 由此可形象地把全概率公式看成是 “由原因推結果”.(3) 應用時, 先分析在哪些情況(事件)下 A 會發(fā)生, 列出 A與這些事件的關系, 再作計算.第46頁/共59頁例: 有三個箱子，分別編號為1, 2, 3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3

29、白球，3號箱裝有3紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解:設 A = 取得紅球, Bi = 取到第i 號箱, i =1, 2, 3,則 ,321ABABABA 且 B1 A, B2 A, B3 A 兩兩互不相容，)()()()(321ABPABPABPAP )|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP 31 51 31 52 31 1 .158 第47頁/共59頁 設事件B1 , B2 , Bn 是樣本空間 S 的一個劃分，且 P( Bi ) 0 (i =1, 2, , n), 貝葉斯公式:,)()()()()|(1 nkkkiiiBA

30、PBPBAPBPABP則對任一事件A (P( A ) 0 )，有(i =1, 2, , n). 該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導致A發(fā)生的每個原因的概率. 貝葉斯公式在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結果發(fā)生的最可能原因.第48頁/共59頁 例 : 某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為0.05，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應是陽性， 問此人是癌癥患者的概率有多大?解:設 A = 試驗反映是陽性, C = 抽查的人患有癌癥, 則 ,ACCAA 且 , ACCA已知 ,

31、005. 0)( CP,995. 0)( CP,95. 0)|( CAP,05. 0)|( CAP 求 P(C | A).)()()|(APCAPACP )|()()|()()|()(CAPCPCAPCPCAPCP 05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 .0872. 0 第49頁/共59頁現(xiàn)在來分析一下結果的意義: 如果不做試驗, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 ; 患者陽性反應的概率是0.95, 若試驗后得陽性反應, 則根據試驗得來的信息，此人是患者的概率為 P(C | A)=0.0872; 說明試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.從 0.0

32、05 增加到0.0872, 增加了17倍多.1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？2. 檢出陽性是否一定患有癌癥? 試驗結果為陽性,此人確患癌癥的概率為 P(CA)=0.0872, 即使你檢出陽性，也不必過早下結論你有癌癥，這種可能性只有8.72% (平均來說，1000個人中大約只有87人確患癌癥)，此時醫(yī)生常要通過再試驗來確認. 第50頁/共59頁 例 : 一袋裝有 5只白球 7只黑球, 不小心丟了一球, 不知何種顏色; 為猜測失球顏色: 從袋中隨取2只球, 結果為白球, 問此時失去的是白球的概率有多大?解:設 A = 取出的 2只都為白球, B = 失去的是白球, 則 ,ABB

33、AA 且 , ABBA 欲求 P(B | A).)()()|(APBAPABP )|()()|()()|()(BAPBPBAPBPBAPBP = 12521124CC 127 21125CC 12521124CC .103 第51頁/共59頁 6. 事件的獨立性 對條件概率，一般 P(B | A) P(B), 表明事件A 的發(fā)生會影響事件B 發(fā)生的概率; 但有時 P(B | A) = P(B), 此時意味著事件 A 的發(fā)生不會影響事件B 發(fā)生的概率, 也叫 B 對 A 是獨立的. 若B 對 A 獨立, 則),()()(BPAPABP 0)( BP),()|(APBAP 意味著A 對B 也是獨立的.表明獨立是相互的.第52頁/共59頁 定義:對事件A 與B, 若 P(AB) = P(A) P(B) , 則稱 A 與B 相互獨立.注：(1) 事件的獨立是概率意義下的獨立,與互不 相容有區(qū)別; 獨