極限存在準(zhǔn)則PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及 nz滿(mǎn)足下列條件滿(mǎn)足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那么那么數(shù)列數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. . 證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1頁(yè)/共21頁(yè),1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極

2、限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限第2頁(yè)/共21頁(yè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)0(, )oxU x ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那么那么)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱(chēng)為稱(chēng)為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.第3頁(yè)/共21頁(yè)1sincosxxx圓扇形AOB的面積證

3、證: : 當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1o11sincosxxx故有注注(1)1sinlim0 xxx第4頁(yè)/共21頁(yè),20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx注意：注意：1)()(sinlim0)(xxx1.1.函數(shù)表達(dá)式中有三角函數(shù)時(shí)可用函數(shù)表達(dá)式中有三角函數(shù)時(shí)可

4、用2.2.一般形式一般形式注第5頁(yè)/共21頁(yè).tanlim0 xxx解解: : xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例2.2. 求求.arcsinlim0 xxx解解: : 令令,arcsin xt 則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1第6頁(yè)/共21頁(yè)例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第7頁(yè)/共21頁(yè)x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有

5、界準(zhǔn)則滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.幾何解釋幾何解釋:AM注意：注意：1.單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限； 2.單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.第8頁(yè)/共21頁(yè)(2)exxx )11(lim或或e1)1(lim01lim(1)e1. 1. 適用于冪指函數(shù)適用于冪指函數(shù)1 求極限求極限2.2.一般形式一般形式 代表相同的表達(dá)式代表相同的表達(dá)式第9頁(yè)/共21頁(yè)例例4 4.)11(limxxx 求求

6、解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例6 6.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 例例5 510lim(12 ) .xxx 求求解解1220lim(12 )xxx 原原式式2.e 第10頁(yè)/共21頁(yè)例例7 7).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第11頁(yè)/共21頁(yè)例例8 8證證,1nnxx 顯然顯然 ;是

7、單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 第12頁(yè)/共21頁(yè)limx.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1第13頁(yè)/共21頁(yè)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極

8、限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過(guò)程某過(guò)程.)1(lim210e 某過(guò)程某過(guò)程,為某過(guò)程中的無(wú)窮小為某過(guò)程中的無(wú)窮小設(shè)設(shè) 第14頁(yè)/共21頁(yè)思考思考題題2.求極限求極限 xxxx193lim sin(1).lim_ ;xxx 01(3).limsin_ ;xxx 1(4).lim(1)_;nnn1(2).limsin_ ;xxx 1.1.填空題填空題 0101e第15頁(yè)/共21頁(yè)思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e第16頁(yè)/共21頁(yè)._3cotlim40 xx

9、x、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arc第17頁(yè)/共21頁(yè)xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、第18頁(yè)/共21頁(yè) 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222,22,2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 . .第19頁(yè)/共21頁(yè)一、一、1