非平穩(wěn)信號(hào)的廣義小波分析及其工程應(yīng)用報(bào)告

1、非平穩(wěn)信號(hào)的廣義小波分析及其工程應(yīng)用報(bào)告徐文豪1. 窗口傅里葉變換1.1 原理分析眾所周知，傅里葉變換可以獲取信號(hào)的全局頻譜，但很多時(shí)候，我們需要的是信號(hào)的瞬時(shí)頻譜，如機(jī)械故障檢測(cè)、地震信號(hào)瞬時(shí)屬性提取等。為了達(dá)到這個(gè)目的，一種很直觀的思路就是截取信號(hào)的一小段做傅里葉變換，并將得到的頻譜作為該小段中心位置的頻譜。這種變換稱之為窗口傅里葉變換（WFT），其示意圖如下：圖1 窗口福利葉變換示意圖從數(shù)學(xué)上描述WFT應(yīng)為：對(duì)平方可積信號(hào)和平方可積窗函數(shù)，定義 窗口傅里葉變換如下：值得強(qiáng)調(diào)的是，式（1）中窗函數(shù)的支撐大小對(duì)時(shí)頻譜的有效性有著很大的影響，當(dāng)窗寬過大或過小時(shí)都會(huì)使時(shí)頻譜出現(xiàn)較嚴(yán)重的假象。作者

2、在實(shí)際編程時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信號(hào)的長(zhǎng)度為，取一個(gè)較小的正值作為值零閾值，則取窗寬點(diǎn)數(shù)半徑為一般能達(dá)到較理想的效果。將視為整體，假設(shè)并通過逆傅里葉變換可得逆窗口傅里葉變換如下：式（2）對(duì)推導(dǎo)WFT值域的性質(zhì)有著很重要的作用，如重建核方程等。但由于使用雙重積分，其在實(shí)現(xiàn)時(shí)稍顯繁瑣，殷勤業(yè)的時(shí)頻分析及其在工程中的應(yīng)用講義中給出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的重構(gòu)公式如下：其推導(dǎo)如下：1.2 程序?qū)崿F(xiàn)附錄1給出了與式（1）對(duì)應(yīng)的WFT程序，附錄2給出了與式（3）對(duì)應(yīng)的IWFT程序,對(duì)如下的四段調(diào)頻信號(hào)：使用WFT程序和IWFT程序，得到的時(shí)頻譜圖和誤差圖如下：圖2 四段跳頻信號(hào)WFT時(shí)頻譜圖及重構(gòu)誤差圖2. 連續(xù)小波變換2.1

3、 原理分析窗口傅里葉變換的缺點(diǎn)在于窗寬是固定的，因而時(shí)頻譜容易出現(xiàn)假頻現(xiàn)象，如下圖所示：圖3 WFT缺點(diǎn)示意圖圖3中，對(duì)快變信號(hào)采用大窗或?qū)β冃盘?hào)采用小窗都必然會(huì)造成假頻。解決這一問題的思路是使窗寬可變，這就是連續(xù)小波變換(CWT)的思路。在CWT中我們一般把窗函數(shù)稱為小波函數(shù)，其支撐如下所示：圖4 小波函數(shù)的支撐從數(shù)學(xué)上描述CWT應(yīng)為：對(duì)平方可積信號(hào)和平方可積小波，定義連續(xù)小波變換如下：其中系數(shù)的引入是為了小波在平移伸縮之后范數(shù)不變，即對(duì)式（5）中的連續(xù)小波變換，常見的逆變換公式如下：其中稱為時(shí)間尺度原子。與WFT類似，式（7）對(duì)推導(dǎo)CWT值域的性質(zhì)有著很重要的作用，如重建核方程等，但其一

4、般只能通過二重?cái)?shù)值積分進(jìn)行計(jì)算，速度慢且誤差大。Holschneider在Wavelets: An Analysis Tool中給出了當(dāng)范數(shù)變量時(shí)的一個(gè)簡(jiǎn)單重構(gòu)公式：如果能求出的值，則可利用數(shù)值積分計(jì)算式（8）的值。遺憾的是式（9）是不一定收斂的，例如對(duì)常用的Morlet小波()，式（9）在0處發(fā)散。高老師的講義中給出了當(dāng)范數(shù)時(shí)的一個(gè)簡(jiǎn)單逆變換公式，但其有效性我還沒有搞懂，其計(jì)算過程如下：式（11）中表示單位脈沖信號(hào)在0時(shí)刻尺度為處CWT的值。2.2 程序?qū)崿F(xiàn)附錄3給出了與式（8）對(duì)應(yīng)的CWT程序，附錄4給出了與式（10）對(duì)應(yīng)的ICWT程序，對(duì)地球物理中常用的Ricker信號(hào)(取主頻為50Hz

5、)，取Gauss小波(，參考劉乃豪師兄提供的資料)使用CWT程序和ICWT程序，并利用頻率尺度轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到其時(shí)頻譜和重構(gòu)誤差如下：圖5 50Hz主頻Ricker信號(hào)CWT時(shí)頻譜圖及重構(gòu)誤差圖從圖5可以看出，對(duì)Ricker信號(hào)，在選取與其相配的小波函數(shù)之后，不用考慮窗寬，連續(xù)小波變換就能得到很好的時(shí)頻譜和重構(gòu)精度。CWT具有自適應(yīng)性的優(yōu)點(diǎn)可以從其Heisenberg盒得到進(jìn)一步驗(yàn)證：圖6 連續(xù)小波變換的Heisenberg盒從圖6可以看出，CWT既具有顯微鏡的功能，又具有望遠(yuǎn)鏡的功能。即當(dāng)尺度較小時(shí)，有可能捕捉小范圍的信號(hào)變化，而當(dāng)尺度較大時(shí)，有可能捕捉大范圍的信號(hào)變化。然而，福兮禍之所倚，禍

6、兮福之所伏，圖6的Heisenberg盒也反映出了CWT的一大缺點(diǎn)，即低頻可能看不見(頻率分辨率過高，而離散尺度有限)，高頻可能看不清（頻率分辨率過低），這種現(xiàn)象可以從式（4）的四段調(diào)頻信號(hào)反應(yīng)出來，同樣取高斯小波，四段調(diào)頻信號(hào)的CWT時(shí)頻譜和重構(gòu)誤差如下：圖7四段跳頻信號(hào)CWT時(shí)頻譜圖及重構(gòu)誤差圖從圖7可以很明顯的看出，在CWT時(shí)頻譜中，信號(hào)頻率分辨率隨著頻率的增大而降低。這里需要指出的是，緩解這一問題的一個(gè)有效方法是二進(jìn)制采樣，其能夠在低頻部分采相對(duì)較多的點(diǎn)并在高頻部分采相對(duì)較少的點(diǎn)。令一方面，圖7也反應(yīng)出圖5的高重構(gòu)精度并不適合所有信號(hào)，其原因可能有兩個(gè)，一是Ricker信號(hào)的變化較平緩

7、而四段調(diào)頻信號(hào)的變化較劇烈，二是高斯小波可能與四段調(diào)頻信號(hào)不太匹配。3. 最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換3.1 原理分析標(biāo)架是指Hilbert空間中的一個(gè)完備序列，其滿足對(duì)任意，存在，使得其中為的由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。和分別稱為標(biāo)架下界和標(biāo)架上界，特別地，當(dāng)時(shí)，稱這個(gè)標(biāo)架為緊標(biāo)架，并稱為緊標(biāo)架的冗余度。已經(jīng)證明對(duì)任意標(biāo)架，存在對(duì)偶標(biāo)架，使得對(duì)于任意，有而當(dāng)為緊標(biāo)架時(shí)，Daubechies已證明其對(duì)偶標(biāo)架為。對(duì)采樣間隔為，長(zhǎng)度為的周期離散信號(hào)(將有限離散信號(hào)周期化可以得到更好的邊界重構(gòu)精度)，定義其對(duì)偶標(biāo)架變換及逆變換如下：其中為時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)，為波數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)，為由分析函數(shù)的平移調(diào)制生成的標(biāo)架，為由綜合函數(shù)的平移調(diào)

8、制生成的的對(duì)偶標(biāo)架，的定義如下：其中分別為時(shí)間和波數(shù)初始采樣點(diǎn)（引入這兩個(gè)常量是為了在標(biāo)架相空間中得到更多的空間波數(shù)信息），分別為時(shí)間和波數(shù)采樣間隔點(diǎn)數(shù)且滿足，為波數(shù)離散采樣間隔。通過給定綜合函數(shù)的離散采樣序列，由式（14）和式（15）可推出分析函數(shù)的離散采樣序列所滿足的方程組：其中，。式（17）所對(duì)應(yīng)方程組的系數(shù)矩陣是行列的，故若且系數(shù)矩陣滿秩時(shí)可以解出唯一的，然而Daubechies已經(jīng)證明這種情況下重構(gòu)公式是不穩(wěn)定的，一般稱這種情形下的采樣為臨界采樣。錢世鍔在著作Joint Time Frequency Analysis中提出取， 并在方程組的解空間中尋找與最接近的解，令方程組的值向量為

9、，并假設(shè)則可構(gòu)造對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題如下：對(duì)式（18）進(jìn)行簡(jiǎn)單推導(dǎo)得式（19）意味著要在的解空間中尋找模最小的解。由廣義逆矩陣?yán)碚?，可給出所需解的表達(dá)式如下：其中表示矩陣的Moore-Penrose逆。對(duì)于計(jì)算，錢世鍔書中是通過判斷是否行滿秩并通過SVD分解將行不滿秩的情形轉(zhuǎn)換為行滿秩情形，這樣不僅計(jì)算繁瑣還會(huì)影響計(jì)算精度。實(shí)際上有直接計(jì)算矩陣MP逆的快速算法，如Greville遞推法，而在matlab中可直接調(diào)用庫函數(shù)pinv實(shí)現(xiàn)。然而，式（20）只能處理規(guī)模相對(duì)較小的矩陣，且由于使用復(fù)數(shù)運(yùn)算會(huì)影響計(jì)算精度。錢世鍔書中在以上的基礎(chǔ)上通過將大系數(shù)矩陣分解為多個(gè)小系數(shù)矩陣，將復(fù)數(shù)運(yùn)算化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，給出

10、了求解方程組的快速算法：其中，。這樣大復(fù)系數(shù)矩陣就變成了個(gè)小實(shí)系數(shù)矩陣，再利用類似推導(dǎo)式（20）的過程即可得到所需解。對(duì)采樣間隔為的信號(hào)，一般取如下歸一化的高斯函數(shù)作為綜合函數(shù)：其中的取值是錢世鍔書中給出的和間取得最小誤差的條件。必須注意到的是，的支撐不應(yīng)也不必等于，否則當(dāng)很大時(shí)，求解對(duì)偶標(biāo)架將相對(duì)比較耗時(shí)。由殷勤業(yè)講義3-4節(jié)的內(nèi)容和作者編程時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，一般取時(shí)可以達(dá)到很好的效果，且若讓在的值為在的值并在其它點(diǎn)處為，則可以利用式（21）只計(jì)算長(zhǎng)度為的對(duì)偶函數(shù)向量。對(duì)偶標(biāo)架變換的重構(gòu)誤差精度與時(shí)頻采樣點(diǎn)數(shù)與信號(hào)長(zhǎng)度之比有關(guān)，這可以被稱為對(duì)偶標(biāo)架采樣冗余度，定義如下：3.2 程序?qū)崿F(xiàn)附錄5給出了與

11、式（21）對(duì)應(yīng)的快速計(jì)算最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架的程序，附錄6給出了與式（14）對(duì)應(yīng)的最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換的程序，附錄7給出了與式（15）對(duì)應(yīng)的逆最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換程序。同樣對(duì)式（4）的四段跳頻信號(hào)，取采樣冗余度，使用最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換程序和逆最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換程序得到時(shí)頻譜和重構(gòu)誤差如下：圖8四段跳頻信號(hào)最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架時(shí)頻譜圖及重構(gòu)誤差圖從圖8可以看出，最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換只用了WFT存儲(chǔ)量的，就得到了有效的譜圖和非常高的重構(gòu)精度，這暗示了最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換在處理較大數(shù)據(jù)的潛力。實(shí)際上，對(duì)長(zhǎng)度為131072的音樂片段(許嵩憂傷還是快樂截取，音樂采樣頻率為44100Hz)，使用冗余度的最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換得到時(shí)頻圖和重構(gòu)誤差如

12、下：圖9 音樂片段最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換時(shí)頻譜圖及重構(gòu)誤差圖考慮到該段音樂為鋼琴片段，圖9中的時(shí)頻譜是比較合理的，且程序運(yùn)行時(shí)間只有26.65s(其中有限支撐最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架的計(jì)算時(shí)間僅為0.004s)，再加上非常高的重構(gòu)精度，完全可以斷言最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換具有處理實(shí)際數(shù)據(jù)的能力。最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換另一個(gè)比較好的特點(diǎn)是，其自動(dòng)選擇了一個(gè)比較好的窗寬(見式（22）)。首先對(duì)變化較慢的頻率為7.8125Hz的正弦信號(hào)，使用冗余度的最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換得到時(shí)頻譜圖和重構(gòu)誤差圖如下：圖10 慢變信號(hào)最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換時(shí)頻譜圖及重構(gòu)誤差圖其次，對(duì)變化劇烈的單位脈沖信號(hào)，仍使用冗余度的最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換，得到其時(shí)頻譜圖和重構(gòu)誤

13、差圖如下：圖11 快變信號(hào)最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換時(shí)頻譜圖及重構(gòu)誤差圖從圖10和圖11可以看出，最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架自動(dòng)選擇的窗寬可以同時(shí)較好地處理慢變信號(hào)和快變信號(hào)，這給使用帶來了較大的便利。最后需要說明的是冗余度和重構(gòu)精度的關(guān)系，事實(shí)上求解對(duì)偶標(biāo)架的方程組式（17）的系數(shù)矩陣規(guī)模為，而。因此越大，對(duì)偶標(biāo)架滿足的方程組就越欠定，所得的最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架就接近緊標(biāo)架，因而有較高的重構(gòu)精度(標(biāo)架正反變換都線性有界(連續(xù))的充要條件是其為緊標(biāo)架)。而當(dāng)達(dá)到一定程度，使得解空間中已經(jīng)有很好的對(duì)偶標(biāo)架時(shí)，重構(gòu)精度就應(yīng)當(dāng)保持穩(wěn)定了。上述討論可以從最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換重構(gòu)精度隨冗余度的變化驗(yàn)證，對(duì)長(zhǎng)度為1024的100Hz正弦信號(hào)

14、，結(jié)果如下表所示：表1 最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換重構(gòu)精度隨冗余度變化表13e-321e-1541e-1588e-16168e-16從表1中可以看出，當(dāng)冗余度時(shí)，解空間中應(yīng)該就已經(jīng)包含了很接近緊標(biāo)架的對(duì)偶標(biāo)架了。4. Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換4.1 原理分析不同于構(gòu)造方程組，Grossman給出了一個(gè)極其簡(jiǎn)單的構(gòu)造性求解對(duì)偶標(biāo)架的方法。為便于該方法的敘述，稱和為常數(shù)1的函數(shù)集為單位1的分割，定義平移算子為，定義調(diào)制算子為，則有：定理1：設(shè)是對(duì)單位1的分割，任意選擇，如果令，那么定義了一個(gè)Gabor分析標(biāo)架，相應(yīng)的綜合標(biāo)架可為，這里定義為。Gross對(duì)偶標(biāo)架變換實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵是單位1的分割，但實(shí)際上這可以

15、直接通過將一個(gè)窗函數(shù)離散向量求和歸一化實(shí)現(xiàn)。4.2 程序?qū)崿F(xiàn)附錄8給出了Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換的實(shí)現(xiàn)(其需要調(diào)用附錄6和附錄7中的程序)，對(duì)主頻為50Hz的Ricker信號(hào)，取采樣冗余度，使用Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換程序得到其時(shí)頻譜圖和重構(gòu)誤差如下：圖12 50Hz主頻Ricker信號(hào)Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換時(shí)頻圖和重構(gòu)誤差圖相對(duì)于最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換，Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換節(jié)省了求解最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架的時(shí)間，然而，當(dāng)采樣冗余度較小時(shí)，Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換的重構(gòu)誤差精度較低，對(duì)長(zhǎng)度為1024的100Hz正弦信號(hào)，結(jié)果如下表所示：表2 Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換重構(gòu)精度隨冗余

16、度變化表16e-123e-146e-283e-3165e-6322e-11645e-161285e-162565e-16對(duì)比表1和表2并結(jié)合計(jì)算量可得出結(jié)論，當(dāng)采樣冗余度時(shí)，應(yīng)選擇最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架變換，當(dāng)采樣冗余度時(shí)，應(yīng)選擇Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換。5. 附錄附錄1：WFT的matlab程序%窗口傅里葉變換程序%s為長(zhǎng)度為N的離散信號(hào)，w為窗函數(shù)指針%S為s的加窗變換,其分量S(i,j)(jlength(hTildeVec) error(采樣間隔過大，無法恢復(fù)信號(hào)！);end%計(jì)算所需常量L=length(hTildeVec);N=L/dN; %計(jì)算對(duì)偶標(biāo)架頻率采樣點(diǎn)數(shù)M=L/dM; %計(jì)算對(duì)

17、偶標(biāo)架時(shí)間采樣點(diǎn)數(shù)%初始化變量gammaTildeVec=zeros(1,L);hKMat=zeros(dN,M);muKBarVec=zeros(dN,1);muKBarVec(1)=1/N;%循環(huán)k計(jì)算最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架函數(shù)for k=0:dM-1 %構(gòu)造dN行M列的系數(shù)矩陣 for q=0:dN-1 for l=0:M-1 hKMat(q+1,l+1)=hTildeVec(mod(k+l*dM+q*N,L)+1); end end %利用MP逆求解能量最小的解 gammaKBarVec=(pinv(hKMat)*muKBarVec); %注意這里包含共軛了 gammaTildeVec(k+(0

18、:M-1)*dM+1)=gammaKBarVec;endgammaTildeVec=real(gammaTildeVec);end附錄6：對(duì)偶標(biāo)架變換的matlab程序%對(duì)偶標(biāo)架變換程序%sTilde為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的離散信號(hào)變量命名基于殷勤業(yè)講義%gammaTildeVec為最優(yōu)對(duì)偶標(biāo)架函數(shù)離散向量%dM為對(duì)偶標(biāo)架時(shí)間采樣間隔點(diǎn)數(shù)%dN為對(duì)偶標(biāo)架頻率采樣間隔點(diǎn)數(shù)%m0為空間采樣起點(diǎn)，要求其值為0,dM-1間的整數(shù)%n0為波數(shù)采樣起點(diǎn)，要求其值為-L/2,-L/2+dN-1間的整數(shù)%cTildeMat為對(duì)偶標(biāo)架系數(shù)矩陣function cTildeMat=dualFrameTransform(sTi

19、lde,gammaTildeVec,dM,dN,m0,n0)%判斷輸入的有效性if length(sTilde)=length(gammaTildeVec) error(要求對(duì)偶標(biāo)架離散向量和信號(hào)維數(shù)相同！);endif mod(length(sTilde),dM)=0 error(dM必須為整數(shù)且能整除信號(hào)長(zhǎng)度);endif mod(length(sTilde),dN)=0 error(dN必須為整數(shù)且能整除信號(hào)長(zhǎng)度);endif rem(m0,1)=0 | m0dM-1 error(m0必須為0,dM-1-1間的整數(shù));endif rem(n0,1)=0 | n0-length(sTild

20、e)/2+dN-1 error(n0必須為-L/2,-L/2+dN-1間的整數(shù));end%計(jì)算所需常量L=length(sTilde);M=L/dM; %計(jì)算對(duì)偶標(biāo)架空間采樣點(diǎn)數(shù)N=L/dN; %計(jì)算對(duì)偶標(biāo)架波數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)%計(jì)算對(duì)偶標(biāo)架系數(shù)矩陣cTildeMatcTildeMat=zeros(M,N);for m=0:M-1 cache=fft(sTilde.*conj(gammaTildeVec(mod(0:(L-1)-m0-m*dM,L)+1); cTildeMat(m+1,:)=cache(mod(n0+(0:N-1)*dN,L)+1);endend附錄7：對(duì)偶標(biāo)架逆變換的matlab程序

21、%逆對(duì)偶標(biāo)架變換程序%cTildeMat為對(duì)偶標(biāo)架系數(shù)矩陣，變量命名基于殷勤業(yè)講義%hTildeVec為綜合函數(shù)離散向量%dM為對(duì)偶標(biāo)架時(shí)間采樣間隔點(diǎn)數(shù)%m0為空間采樣起點(diǎn)，要求其值為0,dM-1間的整數(shù)%n0為波數(shù)采樣起點(diǎn)，要求其值為-L/2,-L/2+dN-1間的整數(shù)%sTilde0為對(duì)偶標(biāo)架重構(gòu)信號(hào)function sTilde0=inverseDualFrameTransform(cTildeMat,hTildeVec,dM,dN,m0,n0)%判斷輸入的有效性if rem(m0,1)=0 | m0dM-1 error(m0必須為0,dM-1-1間的整數(shù));endif rem(n0,1

22、)=0 | n0-length(hTildeVec)/2+dN-1 error(n0必須為-L/2,-L/2+dN-1間的整數(shù));end%計(jì)算所需常量M,N=size(cTildeMat);L=length(hTildeVec);unitImaginary=sqrt(-1);%重構(gòu)信號(hào)sTilde0=zeros(1,L);ifftCTildeMat=ifft(cTildeMat,2);for m=0:M-1 sTilde0=sTilde0+hTildeVec(mod(0:L-1)-m0-m*dM,L)+1).*ifftCTildeMat(m+1,mod(0:L-1,N)+1);endsTild

23、e0=N*exp(unitImaginary*n0*(0:L-1)*2*pi/L).*sTilde0;end附錄8：Grossman對(duì)偶標(biāo)架變換的matlab程序%主程序clear;clc;%初始化變量dt=0.001;L=210;sTilde=sin(2*pi*100*(0:L-1)*dt).1); %構(gòu)造正弦信號(hào)%sTilde=sin(400*(0:L/4-1)*pi*dt),sin(800*(L/4:2*L/4-1)*pi*dt),sin(200*(2*L/4:3*L/4-1)*pi*dt),sin(600*(3*L/4:L-1)*pi*dt); %構(gòu)造四段跳頻信號(hào)%sTilde=(1-

24、2*(pi*(50)*(-L/2:L/2-1)*dt).2).*exp(-(pi*(50)*(-L/2:L/2-1)*dt).2); %ricker信號(hào);%sTilde,fs,=wavread(截取憂傷還是快樂.wav);sTilde=transpose(sTilde(:,1);sTilde=sTilde(1:L);dt=1/fs; %實(shí)際音頻信號(hào)%計(jì)算Grossman對(duì)偶標(biāo)架if fix(log2(length(sTilde)=log2(length(sTilde) error(信號(hào)的長(zhǎng)度必須為2的整數(shù)次方);endL=length(sTilde);C1=256; %設(shè)置對(duì)偶標(biāo)架變換的冗余度dM=2(ceil(log2(sqrt(L/C1);dN=L/(C1*dM); %模擬緊標(biāo)架變換deltaX與