朝陽區(qū)高考二模數(shù)學(xué)理試題目及答案

1、 北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)第二次綜合練習(xí) 數(shù)學(xué)測(cè)試題（理工類） 2011.5 （考試時(shí)間120分鐘 滿分150分） 本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分 第一部分（選擇題 共40分） 注意事項(xiàng)： 1.答第一部分前，考生必將自己的姓名、考試科目涂寫在答題卡上?？荚嚱Y(jié)束時(shí)，將試題卷和答題卡一并交回。 2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，不能答在試題卷上。 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 （1）已知全集u=r，集合a=x02x0,則a(cu

2、b)= (a)xx1 (b)xx0 (c)x0x1 (d)xxy0”是“1”的 （a）必要不充分條件 （b）充分不必要條件 （c）充分必要條件 （d）既不充分又不必要條件 （3）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其正視圖（如圖所示）的面積為8,則側(cè)視圖的面積為 （a）8 （b）4 （c）4 （d） （4）已知隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布n(a,4),且p(x1)=0.5,則實(shí)數(shù)a的值為 (a)1 (b) (c)2 (d)4 （5）若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”?，F(xiàn)從1,2,3, 4,5, 6 這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其

3、中“傘數(shù)”有 （a）120個(gè) （b）80個(gè) （c）40個(gè) （d）20個(gè) （6）點(diǎn)p是拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)p到點(diǎn)a（0,1）的距離與到直線x=1的距離和最小值是 （a） （b） （c）2 （d） （7）已知棱長(zhǎng)為1的正方體abcda1 b1 c1 d1中，點(diǎn)e,f分別是棱bb1 ，dd1 上的動(dòng)點(diǎn)，且be=d1 f=（0）。設(shè)ef與ab所成的角為，與bc所成的角為，則+的最小值 （a）不存在 （b）等于60 （c）等于90 （d）等于120（8）已知點(diǎn)p是abc的中位線ef上任意一點(diǎn)，且efbc，實(shí)數(shù)x,y滿足+ x+y=0.設(shè)abc,pbc,pca,pab的面積分別為s,s1 ,s2

4、,s3 ,記=,=,=.則當(dāng)取最大值時(shí)，2x+y的值為 （a） （b） （c）1 （d）2 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。（9）已知復(fù)數(shù)z滿足iz=1-i,則z=_. （10）曲線c：(為參數(shù))的普通方程為 。 （11）曲線y=33x2 與x軸所圍成的圖形面積為 。 （12）已知數(shù)列an滿足a1=2,且an+1an+ an+12an=0,nn* ,則a2= ;并歸納出數(shù)列an的 通項(xiàng)公式an 。 （13）如圖，pa與圓o相切于點(diǎn)a，pcb為圓o的割線，并且不過圓心o，已知bpa30,pa 2,pc1,則pb= ；圓o的半

5、徑等于 。 （14）已知函數(shù)f（x）=ax2+(b+1)x+b1,且a（0,3），則對(duì)于任意的br，函數(shù)f（x）= f（x） x總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的概率是 。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題滿分13分） 已知函數(shù)f（x）2sinxsin（+x）2sin2x+1（xr）。 （i）求函數(shù)f（x）的最小正周期及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ii）若f()=,x0(-,),求cos2x0的值。 （16）（本小題滿分13分） 為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪 核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)

6、行銷售，否則不能銷售。已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒有影響。 （i）求該產(chǎn)品不能銷售的概率； （ii）如果產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元（即獲利80元）。已知一箱中有產(chǎn)品4件，記一箱產(chǎn)品獲利x元，求x的分布列，并求出均值e(x)。 （17）（本小題滿分13分） 在長(zhǎng)方形aa1 b1 b中，ab2aa1 =4,c,c1分別是ab，a1 b1的中點(diǎn)（如圖1）。將此長(zhǎng)方形沿cc1 對(duì)折，使二面角a1cc1b為直二面角，d,e分別是a1 b1，cc1的中點(diǎn)（如圖2）。（i）求證：c1d平面a1be；（i

7、i）求證：平面a1be平面aa1 b1 b；（iii）求直線b c1與平面a1be所成角的正弦值。 （18）（本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)f(x)=x+(xa)2 ,ar. （i）若a=0，求函數(shù)f(x)在1,e上的最小值； （ii）若函數(shù)f(x)在，2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （iii）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。 （19）（本小題滿分14分） 已知橢圓c：（ab0）經(jīng)過點(diǎn)a（2,1），離心率為.過點(diǎn)b（3,0） 的直線l與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)m,n. （i）求橢圓c的方程； （ii）求的取值范圍； （iii）設(shè)直線am和直線an的斜率分別為kam和kan,求證：kam+kan為

8、定值。 （20）（本小題滿分14分） 對(duì)于正整數(shù)a,b，存在唯一一對(duì)整數(shù)q和r，使得a=bq+r,0rb.特別地，當(dāng)r=0時(shí)，稱b 能整除a,記作ba,已知a1,2,3,，23。 （i）存在qa,使得201191q+r（0r91），試求q,r的值； （ii）求證：不存在這樣的函數(shù)f：a1,2,3，使得對(duì)任意的整數(shù)x1,x2a,若x1- x21,2,3,則f(x1 )f(x2)； （iii）若ba，card(b)=12(card(b)指集合b中的元素的個(gè)數(shù)),且存在a,bb,b0,所以f(x)在1,e上是增函數(shù)， 當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值f(1)1. 所以f(x)在1,e上的最小值為1. 3

9、分 （ii）解法一：f(x)+2（xa） 設(shè)g（x）2x2-2ax+1, 4分 依題意，在區(qū)間，2上存在子區(qū)間使得不等式g（x）0成立. 5分 注意到拋物線g（x）2x2-2ax+1開口向上，所以只要g（2）0，或g（）0即可 6分 由g（2）0，即8-4a+10,得a， 由g（）0，即-a+10,得a, 所以a， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-，）. 8分 解法二：f(x)+2（xa），4分 依題意得，在區(qū)間，2上存在子區(qū)間使得不等式2x2-2ax+10成立. 又因?yàn)閤0,所以2a（2x+）. 5分 設(shè)g（x）2x+，所以2a小于函數(shù)g（x）在區(qū)間，2的最大值. 又因?yàn)間（x）=2-， 由g（x

10、）=2-0解得x； 由g（x）=2-0解得0x. 所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（，2）上遞增，在區(qū)間（，）上遞減. 所以函數(shù)g（x）在x，或x2處取得最大值. 又g（2），g（）3,所以2a，a 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-，）. 8分 （iii）因?yàn)閒(x) ，令h(x)2x2-2ax+1 顯然，當(dāng)a0時(shí)，在（0,+ ）上h(x) 0恒成立f(x) 0，此時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極 值點(diǎn)；9分 當(dāng)a0時(shí)， （i）當(dāng)0，即0a時(shí)，在（0,+ ）上h(x)0恒成立，這時(shí)f(x) 0，此 時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)；10分 （ii）當(dāng)0時(shí)，即a時(shí)， 易知，當(dāng)x時(shí)，h(x) 0,這時(shí)f(x) 0； 當(dāng)0x或x時(shí)

11、，h(x) 0,這時(shí)f(x) 0； 所以，當(dāng)a時(shí)，x是函數(shù)f(x)的極大值；x是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn). 12分 綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)； 當(dāng)a時(shí)，x是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)；x是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn). 13分 （19）（本小題滿分14分） 解：（i）由題意得解得a，b. 故橢圓c的方程為.4分 （ii）由題意顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=k(x-3), 由得（1+2k2）x212k2x+18k26=0. 5分 因?yàn)橹本€l與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)m,n, 所以144k44（1+2k2）（18k26）24（1k2）0.解得-1k1. 6分 設(shè)m,n的坐標(biāo)分別為（x1 ,y

12、1）,（x2 ,y2）, 則x1+x2，x1x2，y1k（x13）, y2k（x23）. 7分 所以（x13）（x23）+ y1y2 8分 （1+k2）x1x23（x1+ x2）+9 +.9分 因?yàn)?1k1，所以2+3. 故的取值范圍為（2,3. 10分 （iii）由（ii）得kam+kan 11分 -2. 所以kam+kan為定值-2. 14分 （20）（本小題滿分14分） （i）解：因?yàn)?0119122+9,所以q22,r9. 2分 （ii）證明：假設(shè)存在這樣的函數(shù)f：a1,2,3，使得對(duì)任意的整數(shù)x,y,若，則f(x)f(y). 設(shè)f(1)a，a1,2,3，f(2)b，b1,2,3，由已

13、知ab. 由于，所以f(3)f(1), f(3)f(2). 不妨令f(3)c，c1,2,3，這里ca,且cb, 同理，f(4)b，且f(4)c， 因?yàn)?,2,3只有三個(gè)元素，所以f(4)a. 即f(1)f(4)，但是3,與已知矛盾. 因此假設(shè)不成立，即不存在這樣的函數(shù)f：a1,2,3，使得對(duì)任意的整數(shù)x,y,若 ，則f(x)f(y). 8分 （iii）當(dāng)m8時(shí)，記m7+ii=1,2,16,n=2(7+i)i=1,2,3,4,記p,則card(p)=12,顯然對(duì)任意1ij16,不存在n3,使得7+jn(7+i)成立.故p是非“和諧集”此時(shí)p8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23.同理，當(dāng)m9,10,11,12時(shí)，存在含m的集合a的有12個(gè)元素的子集為非“和諧集”. 因此m7. 10分 下面證明：含7的任意集合a的有12個(gè)元素的子集為非“和諧集”. 設(shè)ba1,a2,a11,7. 若1,14,21中之一為集合b的元素，顯然為“和諧集”. 現(xiàn)考慮1,14,21都不屬于集合b，構(gòu)造集合b12,4,8,16，b23