2009年高考試題——數(shù)學(xué)（遼寧卷）（理）

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一- 選擇題（每小題5分，共60分）（1）已知集合m=x|-3x5,n=x|-5x5,則mn=(a) x|-5x5 (b) x|-3x5(c) x|-5x5 (d) x|-30,v=s-t (b) a0, v=s+t （d）a0, v=s+t（11）正六棱錐p-abcdef中，g為pb的中點(diǎn)，則三棱錐d-gac與三棱錐p-gac體積之比為（a）1：1 (b) 1：2 (c) 2：1 (d) 3：2（12）若滿足2x+=5, 滿足2x+2(x-1)=5, +=（a） (b)3 (c) (d)4（13）某企業(yè)有3個分廠生產(chǎn)同一種電子

2、產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1：2：1，用分層抽樣方法（每個分廠的產(chǎn)品為一層）從3個分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為 h.（14）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則 （15）設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）。 則該幾何體的體積為 （16）以知f是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則的最小值為 。（17）（本小題滿分12分）如圖，a,b,c,d都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面a處

3、測得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角分別為，于水面c處測得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角均為，ac=0.1km。試探究圖中b，d間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求b，d的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） （18）（本小題滿分12分）如圖，已知兩個正方行abcd 和dcef不在同一平面內(nèi)，m，n分別為ab，df的中點(diǎn) 。（i）若平面abcd 平面dcef，求直線mn與平面dcef所成角的正值弦；（ii）用反證法證明：直線me 與 bn 是兩條異面直線。 （19）（本小題滿分12分）某人向一目射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為。該目標(biāo)分為3個不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6。擊中目標(biāo)時(shí)，

4、擊中任何一部分的概率與其面積成正比。（）設(shè)x表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求x的分布列；（）若目標(biāo)被擊中2次，a表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求p（a） （20）（本小題滿分12分）已知，橢圓c過點(diǎn)a，兩個焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）。（1） 求橢圓c的方程； （2） e,f是橢圓c上的兩個動點(diǎn)，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個定值。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如

5、果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)用2b鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑。（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明講 已知 abc 中，ab=ac, d是 abc外接圓劣弧上的點(diǎn)（不與點(diǎn)a,c重合），延長bd至e。（1） 求證：ad的延長線平分cde；（2） 若bac=30，abc中bc邊上的高為2+，求abc外接圓的面積。 （23）（本小題滿分10分）選修4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，以o為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為cos（）=1，m,n分別為c與x軸，y軸的交點(diǎn)。（1）寫出c的直角坐標(biāo)方程，并求m,n的極坐標(biāo)； （2）設(shè)mn的中點(diǎn)為

6、p，求直線op的極坐標(biāo)方程。（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)。（1） 若解不等式；（2）如果,求 的取值范圍。 參考答案(1) b (2) d (3) b (4)b (5)a (6)b (7)d (8) c (9) a(10) c (11)c (12)c (13)1013 (14) (15) 4 (16)9(17)解:在abc中，dac=30, adc=60dac=30,所以cd=ac=0.1 又bcd=1806060=60，故cb是cad底邊ad的中垂線，所以bd=ba， 5分在abc中，即ab=因此，bd=故b，d的距離約為0.33km。 12分（18）（i）解法一

7、：取cd的中點(diǎn)g，連接mg，ng。設(shè)正方形abcd，dcef的邊長為2， 則mgcd，mg=2，ng=.因?yàn)槠矫鎍bcd平面dced，所以mg平面dcef，可得mng是mn與平面dcef所成的角。因?yàn)閙n=，所以sinmng=為mn與平面dcef所成角的正弦值 6分解法二： 設(shè)正方形abcd，dcef的邊長為2，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線dc，df，da為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則m（1,0,2）,n(0,1,0),可得=(-1,1,2). 又=（0，0，2）為平面dcef的法向量，可得cos(,)= 所以mn與平面dcef所成角的正弦值為cos 6分()假設(shè)直線me與bn共

8、面， 8分則ab平面mben，且平面mben與平面dcef交于en由已知，兩正方形不共面，故ab平面dcef。又ab/cd，所以ab/平面dcef。面en為平面mben與平面dcef的交線，所以ab/en。又ab/cd/ef，所以en/ef，這與enef=e矛盾，故假設(shè)不成立。所以me與bn不共面，它們是異面直線. 12分（19）解：（）依題意x的分列為 6分（）設(shè)a1表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2. b1表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2.依題意知p（a1）=p(b1)=0.1，p（a2）=p(b2)=0.3，,所求的概率為 （20）解：（）由題意

9、，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 4分（）設(shè)直線ae方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 8分又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以k代k，可得所以直線ef的斜率即直線ef的斜率為定值，其值為。 12分(21)解：(1)的定義域?yàn)椤?分（i）若即,則故在單調(diào)增加。(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(ii)考慮函數(shù) 則由于1a5,故，即g(x)在(4, +)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有12分（22）解：（）如圖，設(shè)f為ad延長線上一點(diǎn)a，b，c，d四點(diǎn)共圓，cdf=abc又ab=ac abc=acb,且adb=acb, adb=cdf,對頂角edf=adb, 故edf=cdf,即ad的延長線平分cde.（）設(shè)o為外接圓圓心，連接ao交bc于h,則ahbc.連接oc,a由題意oac=oca=150, acb=750,och=600.設(shè)圓半徑為r,則r+r=2+,a得