2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課時(shí)學(xué)案第1章《1.2 第2課時(shí) 空間向量基本定理的初步應(yīng)用》(含解析)

1、第2課時(shí)空間向量基本定理的初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用基底法表示空間向量. 2.初步體會(huì)利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的思想知識點(diǎn)一證明平行、共線、共面問題(1) 對于空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ab.(2) 如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb.思考怎樣利用向量共線、向量共面解決幾何中的證明平行、共線、共面問題？答案平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題知識點(diǎn)二求夾角、證明垂直問題(1)為a，b的夾角，則cos .(2)若a，b是非零向量，則abab0.思考

2、怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求夾角、證明垂直問題？答案幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍知識點(diǎn)三求距離(長度)問題( )思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求距離(長度)問題？答案幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用數(shù)量積可以求得1四點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形ABCD的充要條件是.()2若，則A，B，C，D四點(diǎn)共線()3已知兩個(gè)向量 ， 的夾角為 60，則 NMP60.()4如果，則四點(diǎn)O，P，M，N一定共面()一、證明平行、共面問題例1如圖，已知正方體ABCDABCD，E，F(xiàn)分別為AA和CC的中點(diǎn)求證：BFED.證明，直線BF與ED沒有公

3、共點(diǎn)，BFED.反思感悟證明平行、共面問題的思路(1)利用向量共線的充要條件來證明點(diǎn)共線或直線平行(2)利用空間向量基本定理證明點(diǎn)線共面或線面平行跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面證明因?yàn)椋?，共面，所以A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面二、求夾角、證明垂直問題例2如圖所示，在三棱錐 ABCD 中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DBDCDA2，E為BC的中點(diǎn)(1)證明：AEBC ；(2)求直線AE與DC的夾角的余弦值(1)證明因?yàn)?)，所以() 22，又DA，DB，DC兩兩垂直， 且DBDCD

4、A2，所以0，故 AEBC.(2)解 222，由222226，得.所以cos， .故直線AE與DC的夾角的余弦值為.反思感悟求夾角、證明線線垂直的方法利用數(shù)量積定義可得cosa，b，求a，b的大小，進(jìn)而求得線線角，兩直線垂直可作為求夾角的特殊情況跟蹤訓(xùn)練2在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCB1B1，M，N分別是AD，DC的中點(diǎn)求異面直線MN與BC1所成角的余弦值解()， ，所以2，又， ，所以 cos，故異面直線MN與BC1所成角的余弦值為.三、求距離(長度)問題例3已知平面平面，且l ，在l上有兩點(diǎn)A，B，線段AC ，線段BD ，并且ACl ，BDl，AB6，BD24，AC8，

5、則 CD _.答案26解析平面平面，且l，在l上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，線段BD，AC l ，BD l ，AB6，BD24，AC8， ，2 ( )2222 6436576676，CD26.反思感悟求距離(長度)問題的思路選擇已知長度和夾角的三個(gè)向量作為基向量，利用基底表示向量，將距離(長度)問題轉(zhuǎn)化為向量的模的問題跟蹤訓(xùn)練3正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則|等于()A.a B.aC.a D.a答案A解析()，| a.1(多選)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外的任一點(diǎn)，則“點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C共面”的充分條件是()A.2B. C.D. 答案BD解析根據(jù)“x

6、yz ，若 xyz1，則點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C 共面”， 因?yàn)?(1)(1)01,11(1)1,11，1，由上可知，BD滿足要求2設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足0，0，0，則BCD是()A鈍角三角形 B銳角三角形C直角三角形 D不確定答案B解析在BCD中，()()20，B為銳角，同理，C，D均為銳角3如圖，三棱錐SABC中，SA底面 ABC，ABBC，ABBC2，SA2，則SC與AB所成角的大小為()A90 B60C45 D30 答案B解析因?yàn)镾A底面ABC，所以SAAC，SAAB，所以0，又ABBC，ABBC2，所以 BAC45 ，AC2 .因此cos 45224，所以4，又SA2，

7、所以 SC4 ，因此cos， ，所以SC與AB所成角的大小為60 .4如圖，已知ABCD中，AD4，CD3，D60，PA平面ABCD，且PA6，則PC的長為_答案7解析，|2()2|2|2|22226242322|cos 120611249.PC7.5已知a，b是空間兩個(gè)向量，若|a|2，|b|2，|ab|，則cosa，b_.答案解析將|ab|化為(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，b.1知識清單：(1)空間向量基本定理(2)空間向量共線、共面的充要條件(3)向量的數(shù)量積及應(yīng)用2方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸3常見誤區(qū)：(1)向量夾角和線線角的范圍不同，不要混淆(2)轉(zhuǎn)化目

8、標(biāo)不清：表示向量時(shí)沒有轉(zhuǎn)化目標(biāo)，不理解空間向量基本定理的意義1已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足20，則等于()A2 B2C. D答案A解析由已知得2()()0，2.2如圖，已知空間四邊形ABCD中，ACBD，順次連接各邊中點(diǎn)P，Q，R，S，所得圖形是()A長方形B正方形C梯形D菱形答案D解析因?yàn)?同理，所以，所以四邊形PQRS為平行四邊形又，所以|，即PSBD.又|，故PQAC，而ACBD，所以PSPQ，故四邊形ABCD為菱形3如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F(xiàn)，G分別是DC，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角的余弦值是(

9、)A0 B.C. D. 答案A解析根據(jù)題意可得，()() ()() 2 2 24140，從而得到和垂直，故其所成角的余弦值為0.4在正三棱柱ABCA1B1C1 中，若ABBB1，則 CA1 與 C1B 所成的角的大小是()A60 B75C90 D105答案C解析設(shè)|m，a，b，c，則ac，bc，(ac)(bc)abbcacc2mmcos 00m20， CA1 與 C1B 所成的角的大小是 90.5如圖，二面角l等于，A，B是棱l上兩點(diǎn)， BD, AC 分別在平面，內(nèi)，ACl ，BDl ，且 2ABACBD2，則CD的長等于()A2 B.C4 D5答案B解析二面角l等于，ACl,BDl，所以，2

10、222222 22122200222cos 13.即CD.6已知向量a，b滿足條件|a|3，|b|4，若mab，nab，a，b135，mn，則實(shí)數(shù)_.答案解析因?yàn)閙n0，所以(ab)(ab)0，所以a2(1)abb20，所以18(1)34160，解得.7如圖，在空間四邊形ABCD 中，ABDCBD ，ABC，BCBD1，AB，則異面直線 AB 與 CD 所成角的大小是_答案 解析依題意可知CD，()0cos 451.設(shè)直線AB與CD所成角為，則cos ，故.8如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，|AB|AD|AA1|1，BADBAA1120，DAA160，則線段AC1的長度是_答案 解

11、析 ， 22222221112112112112，AC1.9在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值解(1)如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.10.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點(diǎn)，正方體的棱長為1.(1)求，的余弦值；(2)求證：.(1)解，.因?yàn)?，0，0，所以.又|，所以cos，.(2)證明，()，所以0，所以.11在四面體OABC中，G是底面ABC的重心

12、，且xyz，則log3|xyz|等于()A3 B1C1 D3答案A解析連接AG(圖略)，()()xyz，xyz，則log3|xyz|log33.12在三棱柱ABC A1B1C1中， AA1底面ABC, ABBCAA1, ABC90， 點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)， 則直線EF和BC1所成的角是()A30 B45C90 D60答案D解析因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，所以 ()， 所以()()2 ，設(shè)所求異面直線的夾角為 ，則 cos ，所以60 .13如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是_答案90解析不

13、妨設(shè)棱長為2，則，cos，0，則，90.14如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體 ABCDA1B1C1D1 ，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，下列說法中正確的是_(填序號) ()22()2 ；()0 ；向量與的夾角是60；BD1與AC所成角的余弦值為.答案解析以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等， 它們彼此的夾角都是60，可設(shè)棱長為1，則11cos 60，()2222222 111326，而 2()22()22(222)2236，所以正確()()()220，所以正確向量 ，顯然AA1D為等邊三角形，則AA1D60 .所以向量與的夾角是 120，向量與的夾角是 120 ，則不正確又，則|，|，()1，所以cos， ，所以不正確，故正確15(多選)在四面體PABC 中，以上說法正確的有()A若，則可知 3 B若Q為ABC 的重心，則 C若0，0，則 0 D若四面體PABC各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則|1答案ABC解析對于A, ，32，22，2，3，即3，故A正確；對于B，若Q為ABC 的重心，則0，33， 3，即，故B正確；對于C，0，0，0，()0，0，0，0，故C正確；