波動的穩(wěn)定性

1、高高 等等 動動 力力 氣氣 象象 學(xué)學(xué)（動力氣象學(xué)（動力氣象學(xué)II II）郭郭 品品 文文大大 氣氣 科科 學(xué)學(xué) 學(xué)學(xué) 院院天氣尺度的波動，控制日常天氣； 發(fā)生、發(fā)展、移動的機制、規(guī)律大氣波動學(xué)：波動的性質(zhì)、機制、求解波速討論傳播問題 大氣能量學(xué)： 天氣尺度系統(tǒng)的發(fā)生發(fā)展問題。 動：擾動，渦旋運動，波環(huán)流，基本氣流：緯向平均氣流，大氣VVVVV,波動是疊加在基本氣流上；或說基本氣流受擾動，會產(chǎn)生波動。 波動發(fā)展了波動發(fā)展了波能增加波能增加波振幅增大波振幅增大天氣系統(tǒng)發(fā)生發(fā)展天氣系統(tǒng)發(fā)生發(fā)展波動振幅變化波動振幅變化1 波動穩(wěn)定性的基本概念波動穩(wěn)定性的基本概念波動或者流動穩(wěn)定性問題首先在流體力學(xué)

2、中被討論和定義：如果氣流受到擾動：1）擾動發(fā)展，（基本氣流由層流變?yōu)椋_動發(fā)展，（基本氣流由層流變?yōu)橥牧鳎?，即基本氣流是不穩(wěn)定，疊加湍流），即基本氣流是不穩(wěn)定，疊加在其上的擾動是不穩(wěn)定；在其上的擾動是不穩(wěn)定；2）擾動減弱，或始終很小，則基本氣）擾動減弱，或始終很小，則基本氣流是穩(wěn)定的，擾動也是穩(wěn)定的。流是穩(wěn)定的，擾動也是穩(wěn)定的。流體力學(xué)側(cè)重的是基本氣流是否穩(wěn)定，（純粹是動力學(xué)問題）；而氣象上側(cè)重的是波動是否穩(wěn)定，（動力、熱力問題）。如果波動或擾動能發(fā)展， 這個波動就是不穩(wěn)定的；如果波動或擾動不發(fā)展，即始終很小或衰減， 這個波動就是穩(wěn)定的。從能量學(xué)來講，如果波動的動能K增加了，波動發(fā)展了，則不穩(wěn)

3、定。具體的，對于天氣尺度波動（Rossby波）正壓不穩(wěn)定的斜壓不穩(wěn)定的KKKA如：緯向基流時如：緯向基流時dMyuvuKKM,取決于波和流的結(jié)構(gòu)配置 均勻基流 波動是正壓穩(wěn)定的0,0KKyu討論波動傳播問題時，均勻基流討論波動發(fā)展問題時，非均勻基流2 波動穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表達(dá)波動穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表達(dá) 簡諧波解 )()(tkxictxikAeAeAConst，k(x-ct)位相：波動傳播不能討論波的穩(wěn)定性問題。 實際上，c或可以是復(fù)數(shù)， )()(tCxiktkCtkCtCxikirriireAeeAeiCCC這樣：)(tAAetkCi記：記：)(),()(*)(*tCxktAetArtCxikr位相為振

4、幅為不穩(wěn)定，還是，不論穩(wěn)定常量，擾動始終很小，則如果000AA0iiCC實際波動是有很多簡諧波疊加而成，振蕩解都是共軛出現(xiàn)的 kirkxdtxd特征根：如簡諧振蕩方程，22t kit kiBeAex振蕩解：對于波動，兩個特征解都是成對地、共軛出現(xiàn)的： irriCCiC波動都是發(fā)展的。時，只要當(dāng),0iitkCitkCCteBeeAeii波動是否穩(wěn)定，只要判斷Ci是否等于0。波動發(fā)展，波動不穩(wěn)定 波動不發(fā)展，波動穩(wěn)定 0iC0iC重力內(nèi)波、慣性波：受力機制很清楚；一般直接從振蕩看是否穩(wěn)定，由此，可以得到：靜力穩(wěn)定度、慣性穩(wěn)定度。 而Rossby波的產(chǎn)生機制是效應(yīng)， 從渦旋場（渦度方程）討論Ross

5、by波，而沒有具體討論其振蕩受力情況；一般從Ci是否等于是否等于0判別其穩(wěn)定性。判別其穩(wěn)定性。3 靜力穩(wěn)定度靜力穩(wěn)定度氣塊法氣塊法討論浮力振蕩（層結(jié)）穩(wěn)定性問題討論浮力振蕩（層結(jié)）穩(wěn)定性問題 氣塊受擾離開平衡位置向上擾動。 )()()()()()()()()()(zzTzPzPzzTzPzzTzP，準(zhǔn)靜力過程絕熱膨脹上升過程中，氣塊作干，氣塊要素：，環(huán)境要素：上升故z處氣團所受的凈浮力的方向，取決于 與，或與TT哪個下降得塊。 zPgdtdw1gzPzPgdtdwgTTTgRTPRTPTRPgdtdwzzTzzTzTTzzTzdzdTzTTd)()()()(0000zTgdtdwd)(zgTg

6、Ndln)(2zNdtdw2定能量而增強，層結(jié)不穩(wěn)，力作正功，擾動得到性的；，力不作功，層結(jié)是中，層結(jié)是穩(wěn)定的；，力作負(fù)功，擾動減弱000222NNN4 慣性穩(wěn)定度慣性穩(wěn)定度 科氏力作用下，慣性振蕩的穩(wěn)定性問題。如果僅受科氏力作，運動軌跡是一個慣性圓；由于科氏力作不作功，K不會增加，故是穩(wěn)定的。實際大氣，振蕩發(fā)生在基本氣流下：均勻基流：一邊振蕩，一邊向下游運動；運動的性質(zhì)不變切變基流（實際大氣）：基本狀態(tài)(背景場）：地轉(zhuǎn)平衡010)(1xfvyuyfuggg一定存在如圖所示的氣壓場： )(000guufyufdtdvvfdtdu靜力穩(wěn)定度：層結(jié)大氣中，垂直面內(nèi)；考慮重力和垂直向的壓力梯度力（浮

7、力）的合力的方向，與位移的方向的關(guān)系。 慣性穩(wěn)定度：水平面內(nèi)（南北向）；考慮科氏力和南北向的壓力梯度力的合力的方向，與位移的方向的關(guān)系。)0(gu初始環(huán)境場：)0(0guu 質(zhì)點速度：受到擾動到y(tǒng)處，環(huán)境：yyuuyuyggg0)0()(質(zhì)點 ：ydyduuyu0)(yfuyufvvfdtdydtdudydu0000)()0()(0000yyuuyfufuufdtdvgggyyuffdtdvg)(0不穩(wěn)定中性穩(wěn)定000yufg正如靜力慣性度取決于層結(jié)（背景）， 慣性穩(wěn)定度也取決于環(huán)境背景基本氣流的絕對渦度 一般地，實際大氣（北半球）：151610140101010, 0,10ssyufsfg一

8、般都有 0，為穩(wěn)定的。 a要使 00yufga，不穩(wěn)定 yuyuxvggggaggfyuf基本氣流的絕對渦度。 一般地，實際大氣（北半球）：00fyug0yug0yug在急流軸以北： 以南：5 正壓不穩(wěn)定正壓不穩(wěn)定Rossby波的正壓不穩(wěn)定問題波的正壓不穩(wěn)定問題 VVV1描寫Rossby波的方程：考慮方程：考慮效應(yīng)效應(yīng)00)(&0yvxuyuxvfdtdvyvxut水平無輻散下的渦度方程；非線性方程。2線性化線性化),(),()(tyxvvtyxuyuuConstyu)(緯向切變的基本氣流： 0,0 yudxdyyuvuAKK0),(vyuu切變氣流下，能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化。 如果基流是均勻的，則

9、一定是穩(wěn)定的；如果基流是均勻的，則一定是穩(wěn)定的； 如果波不穩(wěn)定，則基流一定是非均勻的（一般是緯向切變的）。yuxvdyud,0yvxu2,xvyu(*)0)()(0)()(0)(222xdyudxyutvyxyutvyvyvxuut變系數(shù)的偏微分方程。 3形式解：形式解：時，取當(dāng)Constu )(tlykxiAe但現(xiàn)在 或c可能是復(fù)數(shù)； 勻方向介質(zhì)（基流）不均的函數(shù)方程系數(shù)是yy 一定是y的函數(shù)，且x方向上仍是均勻的 )()(ctxikeyiriCCCiri所以ikctikx,且有0)()(0)()()()(2222222222dyuddydkyuceyikdyudeydydikyuikikc

10、ii0)(22222kcudyuddyd4兩個邊條件邊條件02121,yyyyxv波的情況通道Rossby0)()(0)(2122222yykcudyuddyd這是齊次方程，會有零解；求取非零解的條件本征值問題。若系數(shù)為常系數(shù)，則可求本征值；但是現(xiàn)在為變系數(shù)的，這樣的本征值問題在數(shù)學(xué)上是不可解的 而我們現(xiàn)在不要求解，只要知道Ci是否等于0的條件雷利：1920s，層流不穩(wěn)定問題； 郭曉嵐：1949，提出正壓不穩(wěn)定理論。雷利解：令：iririiCCc,iririricuiCCuiCCucu211則：則：0)()(2222222iriririkidyuddydidyd虛、實部分開，得到兩個方程：)

11、1 (0)()(2222222iirrrdyuddyudkdyd)2(0)()(2222222riiridyuddyudkdyd)()(0)()(1211yyyyirirri)2() 1 (0)()()(2222222222riiiirridyuddyuddyddyd0)()(2222222iirridyuddyddyd0)()(0)()(0)()(2121212121212222222222222yyiyyirriyyiyyirriyyiyyirridydyuddyddyddydyuddydyddyddyddydyuddydyddyd)()(0)()(1211yyyyirir00)(2121

12、22222222yyiyyidycudyudCdycuCdyud00)(212122222222yyiyyidycudyudCdycuCdyud要使波動不穩(wěn)定，即 0212222yydycudyud必須有 0iC必須有：被積函數(shù) 2222cudyud在積分區(qū)域內(nèi)變號 22dyud在積分區(qū)域中變號。 根據(jù)Rolle中值定理，在區(qū)域中至少存在一點至少存在一點 )(21yyyyss，使得： 0)(22sydyuddyudfa22dyuddyda在區(qū)域中至少存在一點 )(21yyyyss基本氣流的絕對渦度的經(jīng)向梯度存在零點；在這一點上，絕對渦度取極值。正壓不穩(wěn)定的必要條件0, 022dyud022dy

13、ud22dyud022dyud, 022dyud北半球：故使得比較容易； 而使積分值為0，必然要求有0的部分，即即熱帶地區(qū)（下凹的）也有，但很少。,Constu 0)(22sydyud,Constu KK4 . 0“均勻基流下，Rossby波正壓穩(wěn)定”的原因是什么？1）從判據(jù)上講： 如果，Rossby波正壓穩(wěn)定。2）從能量上講： 如果Rossby波與基流間無相互作用，Rossby波不能得到能量，故Rossby波不能發(fā)展，正壓穩(wěn)定。(3)從全球平均狀況講，即Rossby波正壓穩(wěn)定。6 斜壓不穩(wěn)定斜壓不穩(wěn)定 斜壓大氣中，Rossby波的不穩(wěn)定。KA 斜壓大氣： ),(Tpf1）等壓面與等容面相交（

14、流體力學(xué)）；2）等壓面上溫度分布不均勻（動力氣象）。則：1）從能量的角度看，具有有效位能，使波動發(fā)展，能量增加； 2）有熱成風(fēng)存在，各層大氣的運動是不一樣的。0pVg氣象要素，如風(fēng)場、溫度場隨高度（p) 是連續(xù)變化的 p每層厚度為成很多層，將大氣在垂直方向上分層內(nèi)值相同，層與層之間值不相同。 。時，分布趨于實際情況當(dāng)0p如果是正壓大氣，由于整層大氣運動一如果是正壓大氣，由于整層大氣運動一致，那么整個大氣可以處理為一層。致，那么整個大氣可以處理為一層。對于斜壓大氣，運動隨高度而變，將大對于斜壓大氣，運動隨高度而變，將大氣進(jìn)行分層，以體現(xiàn)各層大氣運動的差氣進(jìn)行分層，以體現(xiàn)各層大氣運動的差異。異。精

15、確的分層應(yīng)該分成無窮多層精確的分層應(yīng)該分成無窮多層垂直方向上分層：目的：垂直方向大氣上下不同精度：分得越細(xì)，精度越高數(shù)值預(yù)報從最初的二層模式發(fā)展到現(xiàn)在的幾十層。 對于斜壓大氣，對于斜壓大氣，至少要分成2層；上下兩層不同，才能體現(xiàn)出大氣的斜壓性。在理論研究中最多使用的是二層模式 本節(jié)：本節(jié)：（1）如何處理斜壓大氣。 （2）Rossby波的斜壓不穩(wěn)定。采用p坐標(biāo)系下的絕熱無摩擦方程組：絕熱無摩擦方程組：與層結(jié)有關(guān)的參數(shù)。_ln0)()()(0pppyvpxuptpyvxuPRTpfuypvyvvxvutvfvxpuyuvxuutussTvu,非線性方程。 線性化：線性化： sssvvupuu,)(

16、斜壓不穩(wěn)定）波動不穩(wěn)定一定是正壓穩(wěn)定的，如果此時變，一定是不隨即正壓不穩(wěn)定的性質(zhì)，作用的性質(zhì)，的變化，體現(xiàn)波流相互隨（體現(xiàn)大氣的斜壓性。yuyupuu)(0)2()1( pyvxuufyxvutvv fxpuxuutu0ufppuuufyufy00v)()(0)(0;000)()( ）（）（，而右邊左邊得到代入原方程組第二式，把基本氣流滿足原方程，pufypvpyvpxuttv fxxpyvpxuts0)svpufpxut（把方程（1）和方程（2）化為渦度方程，并且假設(shè)擾動與y無關(guān)（波動是一維）。) 1 ()2(yx得到： 0)(vxufxvxut波動或擾動與y無關(guān)0,Vyvxuxuyuxvx

17、v低層低壓有輻合，產(chǎn)生氣旋； 高層高壓有輻散，產(chǎn)生反氣旋；500hPa相當(dāng)于正壓層，基本無輻散， 最大； 在500hPa上Rossby波很清楚， 效應(yīng)形成Rossby波。槽前暖空氣，偏南風(fēng)；槽后冷空氣，偏北風(fēng)。溫度槽落后于高度槽。槽經(jīng)常西傾：冷暖空氣排列。進(jìn)一步設(shè)：準(zhǔn)地轉(zhuǎn)： xfv1連續(xù)方程： pxu代入渦度方程，得到：渦度方程，得到：1*0)(222xpfxxut從數(shù)學(xué)上講，2個未知量，單由此方程不可解；從物理上講，沒有引入熱力過程，無法體現(xiàn)輻合輻散、垂直運動。熱力學(xué)方程：熱力學(xué)方程：2*0)(sxpupxut化。產(chǎn)生上下不同的渦度變下相反）產(chǎn)生水平輔合輻散（上聯(lián)系的變化，與垂直運動相)(T

18、p動強度代表下層大氣的渦旋運動強度代表上層大氣的渦旋運層上寫在上下層大氣的中間把31把相應(yīng)的渦度方程也分別寫到每一層的中間層上。熱力方程寫在交界面上它與熱力過程相聯(lián)系，界面上寫在上下二層大氣的交直運動是聯(lián)系上下層大氣的垂2上下層的聯(lián)系交界層的垂直運動下層波的變化描述上層大氣0)()(0)()(Rossby0)()(2222233223231122121sxpupxutxpfxxutxpfxxut2222232323231212121)()()()()()(sxpupxutpfxxxutpfxxxut用差分代替微分：在這些層上的這些量沒有記錄只能通過相鄰的有記錄的站點的這些量的值作內(nèi)插得到。pp

19、PPp22)(2220201ppPPp22)(2242423pPPp2)(1313132斜壓項，顯示的是擾動隨高度的不同puuPPuupu2)uu2312P2層體現(xiàn)的是整層大氣的性質(zhì)，相當(dāng)于正壓層。 23113133122032323220121212)()2()(2(2)(2)(spxuuxuutpfxxxutpfxxxut231,線性方程組，閉合的，可求解。 令： )(1ctxikAe)(3ctxikBe)(2ctxikEe 三個振幅不同，位相不同。令A(yù)，B為復(fù)數(shù)，AieAA0BieBB0如果A，B為實數(shù)，則：槽不傾斜，體現(xiàn)不出斜壓性。 代入上面的方程組，得到：02)()(02)(02)(1320232021EpBucikAucikEpfBkucikEpfAkuciks這是關(guān)于A，B，E的線性齊次代數(shù)方程組。如果它有非零解，條件是：系數(shù)行列式0，02)()(2)(020