中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)與典型例題

1、二次函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題一、二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點m，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點a,b及拋物線與y軸的交點c，再找到點c的對稱點d。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無

2、交點時，描出拋物線與y軸的交點c及對稱點d。由c、m、d三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點a、b，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。二、二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。三、二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a0a0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時，

3、y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開口方向：0時，拋物線開口向上 0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)0時，圖像與x軸沒有交點。補充：1、兩點間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） y如圖：點a坐標(biāo)為（x1，y1）點b坐標(biāo)為（x2，y2）則ab間的距離，即線段ab的長度為 a 0 x

4、 b2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間）左加右減、上加下減四、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時，當(dāng)時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時，當(dāng)時，。典型例題1. 已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（ ）a0b1c2d3【答案】d2. 如圖為拋物線的圖像，a

5、、b、c 為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，且oa=oc=1，則下列關(guān)系中正確的是 aab=1 b ab=1 c b2a d ac0 【答案】b3. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）.【答案】d4. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0），（1，2），當(dāng)隨的增大而增大時，的取值范圍是 （1,-2）-1【答案】5. 在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180，所得拋物線的解析式是（ ）a b c d【答案】b6. 已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對稱軸，給出下列結(jié)果，則正確的結(jié)論是（ ）a b c d 【答案】 d7拋物線上部分點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對

6、應(yīng)值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說法中正確的是 （填寫序號）拋物線與軸的一個交點為（3,0）； 函數(shù)的最大值為6；拋物線的對稱軸是； 在對稱軸左側(cè)，隨增大而增大【答案】8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，o是坐標(biāo)原點，點a的坐標(biāo)是（2，4），過點a作aby軸，垂足為b，連結(jié)oa(1)求oab的面積；(2)若拋物線經(jīng)過點a求c的值；將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在oab的內(nèi)部（不包括oab的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）解：(1) 點a的坐標(biāo)是（2，4），aby軸，ab=2，ob4，(2)把點a的坐標(biāo)（2，4）代入，得，c4，拋物線頂點d的坐標(biāo)是

7、(1，5)，ab的中點e的坐標(biāo)是（1，4），oa的中點f的坐標(biāo)是（1，2），m的取值范圍為lm39已知二次函數(shù)y= x 2+ x的圖像如圖（1）求它的對稱軸與x軸交點d的坐標(biāo)；（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸、y軸的交點分別為a、b、c三點，若acb=90，求此時拋物線的解析式； （3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點為m，以ab為直徑，d為圓心作d，試判斷直線cm與d的位置關(guān)系，并說明理由解：（1）二次函數(shù)y=-x2+x的對稱軸為x=3，d（3，0）（2）設(shè)拋物線向上平移h個單位（h0），則平移后的拋物線解析式為y=-x2+x+h acb=90，oc2=oaob 設(shè)

8、點a、b的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則h2=- x1x2 x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的兩個根，x1x2=-4h，h2=4h，h=4，拋物線的解析式為y=-x2+x+4（3）cm與d相切，理由如下：連結(jié)cd、cm，過點c作cndm于點d，如下圖所示：ab是d的直徑，acb=90，點c在d上根據(jù)平移后的拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+x+4可得：od=3，oc=4，dm=，cd=5cn=3，mn=，cm=cm=，cd=5，dm=，cdm是直角三角形且dcm=90，cm與d相切10. 如圖10，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，ab在x軸上，ab10，以ab為直徑的o與y軸正半軸交于點c，連接bc，

9、ac.cd是o的切線，adcd于點d，tancad，拋物線過a，b，c三點.（1）求證：cadcab；（2）求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點e是否在直線cd上，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點p，使四邊形pbca是直角梯形.若存在，直接寫出點p的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由.（1）證明：連接oc.cd是o的切線，occd adcd，ocad，ocacadocoa，ocacab， cadcab（2）ab是o的直徑，acb90ocab，cabocb，caobco，即tancaotancad，oa2oc又ab10， ， oc0oc4，oa8，ob2a（8，0），b（2，0），

10、c（0，4）拋物線過a，b，c三點.c4由題意得，解之得，設(shè)直線dc交x軸于點f，易證aocadc，adao8.ocad，focfad，8(bf5)5(bf10)，設(shè)直線dc的解析式為，則，即由得頂點e的坐標(biāo)為將代入直線dc的解析式中，右邊左邊.拋物線的頂點e在直線cd上11. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形abcd是直角梯形，bcad，bad= 90，bc與y軸相交于點m，且m是bc的中點，a、b、d三點的坐標(biāo)分別是a（-1，0），b( -1，2)，d( 3，0)，連接dm，并把線段dm沿da方向平移到on，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點d、m、n（1）求拋物線的解析式（2）拋物線

11、上是否存在點p使得pa= pc若存在，求出點p的坐標(biāo)；若不存在請說明理由。（3）設(shè)拋物線與x軸的另個交點為e點q是拋物線的對稱軸上的個動點，當(dāng)點q在什么位置時有最大？并求出最大值。abcdoenmxy圖（1）解：由題意可得m（0，2），n（-3，2） ， 解得：y=（2）pa= pc ，p在ac的垂直平分線上，依題意，ac的垂直平分線經(jīng)過b（-1，2），（1，0）， 這條直線為y=x+1 解得：， p1（）， p2（）（3）d為e關(guān)于對稱軸x=15對稱，cd所在的直線y=x+3 yq=45，q（-15，45）最大值為cd=個單位/秒 （3）（）, 當(dāng)時，有最大值為， 此時 12如圖，拋物線y=

12、x2+bx2與x軸交于a、b兩點，與y軸交于c點，且a（一1，0）求拋物線的解析式及頂點d的坐標(biāo)；判斷abc的形狀，證明你的結(jié)論；點m(m，0)是x軸上的一個動點，當(dāng)cm+dm的值最小時，求m的值（1）點a（-1，0）在拋物線y=x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =拋物線的解析式為y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,頂點d的坐標(biāo)為 (, -). （2）當(dāng)x = 0時y = -2, c（0，-2），oc = 2當(dāng)y = 0時， x2-x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4, b (4,0)oa

13、= 1, ob = 4, ab = 5. ab2 = 25, ac2 = oa2 + oc2 = 5, bc2 = oc2 + ob2 = 20,ac2 +bc2 = ab2. abc是直角三角形.（3）作出點c關(guān)于x軸的對稱點c，則c（0，2），oc=2，連接cd交x軸于點m，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，mc + md的值最小設(shè)直線cd的解析式為y = kx + n , 則，解得n = 2, . .當(dāng)y = 0時， ， . 13. （2011浙江金華， 10分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形oabc，相鄰兩邊oa和oc分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a0)過矩形頂點b、c.（1）當(dāng)n1時，如果a=1，試求b的值；（2）當(dāng)n2時，如圖2，在矩形oabc上方作一邊長為1的正方形efmn，使ef在線段cb上，如果m，n兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；（3）將矩形oabc繞點o順時針旋轉(zhuǎn)，使得點b落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點o，試求出當(dāng)n=3時a的值；直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系式. yxocab圖1圖2