工程力學(xué) 第十一章-能量法

1、能量法能量法111 引言引言 Introduction112 應(yīng)變能應(yīng)變能,余能余能(補償能補償能) Strain Energy Complementary Energy113 卡氏定理卡氏定理 Castiglianos TheoremEnergy Method 第11章 能 量 法11.1 概 述1.1.能量法：能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。2.2.能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：（1 1）線彈性體；非線性彈性體）線彈性體；非線性彈性體（2 2）

2、靜定問題；超靜定問題）靜定問題；超靜定問題（3 3）是有限單元法的重要基礎(chǔ)）是有限單元法的重要基礎(chǔ)能量法能量法一、能量原理：一、能量原理：二、桿件變形能的計算：二、桿件變形能的計算：1.1.軸向拉壓桿的變形能計算：軸向拉壓桿的變形能計算：LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122 或21:u比能 彈性體內(nèi)部所貯存的變形能，在數(shù)值上等于外力所作彈性體內(nèi)部所貯存的變形能，在數(shù)值上等于外力所作的功，即的功，即WU 利用這種功能關(guān)系分析計算可變形固體的位移、變形利用這種功能關(guān)系分析計算可變形固體的位移、變形和內(nèi)力的方法稱為能量方法。和內(nèi)力的方法稱為能量方法。能量法能量法2.2.扭轉(zhuǎn)桿的變形

3、能計算：扭轉(zhuǎn)桿的變形能計算：LPnxGIxMUd2)( 2niPiiiniIGLMU122 或21:u比能3.3.彎曲桿的變形能計算：彎曲桿的變形能計算：LxEIxMUd2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能能量法能量法三、變形能的普遍表達式：三、變形能的普遍表達式： 變形能與加載次序無關(guān)；相互獨立的力（矢）引起的變形能變形能與加載次序無關(guān)；相互獨立的力（矢）引起的變形能可以相互疊加?？梢韵嗷クB加。細長桿，剪力引起的變形能可忽略不計。細長桿，剪力引起的變形能可忽略不計。LxEAxQd2)( 2S剪切撓度因子SxEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(22

4、2xEIxMxGIxMxEAxNULLPnLd2)(d2)(d2)(222能量法能量法例例1 用能量法求用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。點的撓度。梁為等截面直梁。CPfW21解：解：外力功等于應(yīng)變能外力功等于應(yīng)變能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在應(yīng)用對稱性，得在應(yīng)用對稱性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷載時，可否用此法求思考：分布荷載時，可否用此法求C點位移？點位移？qCaaAPBf能量法能量法例例2 2 彎曲剛度為彎曲剛度為EI的簡支梁受均布荷載的簡支梁受均布荷載q作用，如圖作用，如圖所示。試求梁內(nèi)的應(yīng)變能

5、所示。試求梁內(nèi)的應(yīng)變能 。解：梁的撓曲線方程為：解：梁的撓曲線方程為：lxlxlxEIlqw44334224荷載所作外力功為：荷載所作外力功為：wxqWld210將前一式代入后一式得：將前一式代入后一式得：EIlqWV24052w x l y A B q x 能量法能量法2. 余能余能 設(shè)圖設(shè)圖a為非線性彈性材料所制成的拉桿，拉桿的為非線性彈性材料所制成的拉桿，拉桿的F- 曲線如圖曲線如圖b 。 “余功余功Wc”定義為：定義為：FCFW10d 與余功相應(yīng)的能稱為余能與余功相應(yīng)的能稱為余能Vc，余功，余功Wc與余能與余能Vc 在數(shù)值上相等。在數(shù)值上相等。F (a) F O dF 1 F1 (b)

6、能量法能量法FCcFWV10d（代表代表F- 曲線與縱坐標軸間的面積曲線與縱坐標軸間的面積）即：即：F O dF 1 F1 (b)能量法能量法對線彈性材料，余能和應(yīng)變能對線彈性材料，余能和應(yīng)變能在數(shù)值上相等，但其概念和計算在數(shù)值上相等，但其概念和計算方法截然不同。方法截然不同。注意：注意：對非線性材料，余能對非線性材料，余能V c與應(yīng)與應(yīng)變能變能V 在數(shù)值上不一定相等。在數(shù)值上不一定相等。余功、余能、余能密度都沒有具體的物余功、余能、余能密度都沒有具體的物理概念，僅是具有功和能的量綱而已。理概念，僅是具有功和能的量綱而已。 O F dF 1 F1 (b)能量法能量法113 卡氏定理卡氏定理 1

7、.1.卡氏第一定理卡氏第一定理 導(dǎo)出導(dǎo)出“力力”的定的定理理設(shè)圖中材料為非線性彈性，設(shè)圖中材料為非線性彈性，由于應(yīng)變能只與由于應(yīng)變能只與最后荷載有關(guān)，最后荷載有關(guān)，而與加載順序無而與加載順序無關(guān)。不妨按比例關(guān)。不妨按比例方式加載，從而方式加載，從而有有iniifWVd101 假設(shè)與第假設(shè)與第i個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量d i ,則應(yīng)變能的變化為：則應(yīng)變能的變化為：iiVVdd1 2 3 n 1 2 3 n B iFidi能量法能量法 因僅與第因僅與第i個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量個荷載相應(yīng)的位移有一微小增量,而與其而與其余各荷載相應(yīng)的位移保持不變，因此，對于位移的

8、微余各荷載相應(yīng)的位移保持不變，因此，對于位移的微小增量小增量d i ，僅，僅Fi作了外力功，外力功的變化為：作了外力功，外力功的變化為：iiFWdd注意到上式與下式在數(shù)值上相等注意到上式與下式在數(shù)值上相等iiVVdd從而有：從而有：iiVF（卡氏第一定理卡氏第一定理 ）注意：注意：卡氏第一定理既適合于線彈性體，也適合于非線卡氏第一定理既適合于線彈性體，也適合于非線性彈性體。性彈性體。 式中式中Fi及及 i分別為廣義力、廣義位移。分別為廣義力、廣義位移。必須將必須將V 寫成給定位移的函數(shù)，才可求其變化率。寫成給定位移的函數(shù)，才可求其變化率。能量法能量法例例4 由兩根橫截面面積均為由兩根橫截面面積

9、均為A的等直桿組成的平面桁的等直桿組成的平面桁架，在結(jié)點架，在結(jié)點B處承受集中力處承受集中力F，如圖，如圖a 所示。兩桿的所示。兩桿的材料相同，其彈性模量為材料相同，其彈性模量為E，且均處于線彈性范圍內(nèi)。，且均處于線彈性范圍內(nèi)。試按卡氏第一定理，求結(jié)點試按卡氏第一定理，求結(jié)點B的水平和鉛垂位移。的水平和鉛垂位移。 解：解： 設(shè)結(jié)點設(shè)結(jié)點B的水平和鉛垂位移分別為的水平和鉛垂位移分別為 1和和 2， 先假設(shè)結(jié)點先假設(shè)結(jié)點B只發(fā)生水平位移只發(fā)生水平位移 1 （圖（圖b） 10112245cosBCAB則：則：A B (b) C B 1A B F 45 O (a) C l 能量法能量法同理，結(jié)點同理，

10、結(jié)點B只發(fā)生鉛垂位移只發(fā)生鉛垂位移 2（圖（圖c） 則：則：2022245sin0BCAB當水平位移與鉛垂位移同時發(fā)生時，則有（疊加）當水平位移與鉛垂位移同時發(fā)生時，則有（疊加）21122BCABA B (c) C B 2能量法能量法21212121221212222lEAlEAlEAVii應(yīng)用卡氏第一定理得應(yīng)用卡氏第一定理得FVV21 0 及解得：解得：EAFlEAFl）（及22121桁架的應(yīng)變能為桁架的應(yīng)變能為能量法能量法2.2.卡氏第二定理卡氏第二定理 導(dǎo)出導(dǎo)出“位移位移”的定理的定理設(shè)有非線性彈性的梁，設(shè)有非線性彈性的梁，梁內(nèi)的余能為：梁內(nèi)的余能為：iniFccfiWVd110假設(shè)第假

11、設(shè)第i個荷載個荷載Fi有一微小增量有一微小增量dFi ，而其余荷載均，而其余荷載均保持不變，因此，由于保持不變，因此，由于Fi改變了改變了dFi ，外力總余功的，外力總余功的相應(yīng)改變量為：相應(yīng)改變量為：iicFWdd余能的相應(yīng)改變量為：余能的相應(yīng)改變量為：iiccFFVVdd1 2 3 n 1 2 3 n B能量法能量法由于外力余功在數(shù)值上等于余能，得由于外力余功在數(shù)值上等于余能，得ccWVdd解得：解得：FVici（稱為（稱為“余能定理余能定理”） 特別：特別： 對線彈性體，由于力與位移成正比，對線彈性體，由于力與位移成正比，應(yīng)變能應(yīng)變能V 在數(shù)值上等于余能在數(shù)值上等于余能V c ， 此時上

12、式變?yōu)椋捍藭r上式變?yōu)椋?FVii（稱為（稱為“卡氏第二卡氏第二定理定理”）式中的式中的Fi 和和 i分別為廣義力和廣義位移。分別為廣義力和廣義位移。能量法能量法注意：注意：卡氏第一定理和卡氏第一定理和余能定理余能定理既適合于線彈性體，既適合于線彈性體，也適合于非線性彈性體，而卡氏第二定理也適合于非線性彈性體，而卡氏第二定理 作為作為余能定理的特例，僅余能定理的特例，僅適合于線彈性體。適合于線彈性體。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222所導(dǎo)出的位移是加力點沿加力方向的位移。所導(dǎo)出的位移是加力點沿加力方向的位

13、移。 當所求位移處無相應(yīng)廣義力時，可在該處當所求位移處無相應(yīng)廣義力時，可在該處“虛加虛加”上廣義力，將其看成已知外力，反上廣義力，將其看成已知外力，反映在反力和內(nèi)力方程中，待求過偏導(dǎo)后，再映在反力和內(nèi)力方程中，待求過偏導(dǎo)后，再令該令該“虛加虛加”外力為外力為0 0。實際計算時，常采用以下更實用的形式：實際計算時，常采用以下更實用的形式：能量法能量法例例5 5 結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求A 面的撓度和轉(zhuǎn)角。變形求內(nèi)力解：求撓度，建坐標系xPxPxMA)(EIPL33將內(nèi)力對PA求偏導(dǎo)xPxMA)(LAAAxPxMEIxMPUfd)()( LxEIPx02dALPEIxO 能量法能量法求轉(zhuǎn)角求轉(zhuǎn)角 A

14、求內(nèi)力求內(nèi)力AMxPxM)(沒有與沒有與 A向相對應(yīng)的力（廣義力），加之向相對應(yīng)的力（廣義力），加之。EIPL22 “負號負號”說明說明 A與所加廣義力與所加廣義力MA反向反向。EIPLA22 將內(nèi)力對將內(nèi)力對MA求偏導(dǎo)后，令求偏導(dǎo)后，令M A=01)(0AMAMxMLAAxMxMEIxMd)()( LxEIPx0d求變形（求變形（ 注意：注意：M A=0）LxO APMA能量法能量法 彎曲剛度為彎曲剛度為EI的簡支梁受均布荷載的簡支梁受均布荷載q作用，作用，如圖所示。試用卡氏第二定理求跨中撓度。如圖所示。試用卡氏第二定理求跨中撓度。w x l y A B q x PxqxqlxxM21212

15、1)(2xPMxMA210)(P求變形（ 注意：P=0）EIqldxEIqxqlxxPxMEIxMwlLC38454)(2d)()( 42/02求內(nèi)力將內(nèi)力對MA求偏導(dǎo)后，令P=0演習(xí)演習(xí)能量法能量法1 1能量守恒能量守恒彈性范圍固體變形能彈性范圍固體變形能U U在數(shù)值上等于外力所做的功在數(shù)值上等于外力所做的功W W，即，即U=WU=W。超出了超出了彈性范圍彈性范圍，塑性變形將消耗一部分能量，塑性變形將消耗一部分能量，變形能不能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣?。變形能不能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣Α? 2線彈性材料桿件變形能線彈性材料桿件變形能a.a.軸向拉壓桿的變形能計算：軸向拉壓桿的變形能計算：LxEAxNUd2)( 2n

16、iiiiiAELNU122 或21:u比能b.b.扭轉(zhuǎn)桿的變形能計算：扭轉(zhuǎn)桿的變形能計算：LPnxGIxMUd2)( 2niPiiiniIGLMU122 或21:u比能c.c.彎曲桿的變形能計算：彎曲桿的變形能計算：LxEIxMUd2)( 2niiiiiIELMU122 或21:u比能能量法能量法卡氏定理卡氏定理卡氏第二定理：若將結(jié)構(gòu)的變形能卡氏第二定理：若將結(jié)構(gòu)的變形能U U表示為載荷表示為載荷P P1 1，P P2 2，P Pi i，的函數(shù)，則變形能對任一載荷的函數(shù)，則變形能對任一載荷P Pi i的偏導(dǎo)數(shù)等于的偏導(dǎo)數(shù)等于P Pi i作用點作用點沿沿P Pi i作用方向的位移作用方向的位移i

17、 i，即：，即： 卡氏第一定理：桿件的變形能卡氏第一定理：桿件的變形能U U( (ii)()(i i=1,2, =1,2, ,n),n)，對于桿件，對于桿件上與某一載荷相應(yīng)位移的變化率等于該載荷的值。即有：上與某一載荷相應(yīng)位移的變化率等于該載荷的值。即有： , (i=1,2, ,n) , (i=1, 2, .n) 本定理只適用于線彈性材料。本定理只適用于線彈性材料。作業(yè)：3-1（b) (d) ,3-6-(a) (b)能量法能量法例例6 結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求梁的撓曲線。解：求撓曲線任意點的撓度 f（x）求內(nèi)力將內(nèi)力對Px 求偏導(dǎo)后，令Px=0沒有與f（x）相對應(yīng)的力，加之。)()()(111x

18、xPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMPxAB10)(x0)(0 xxBCPPxMPALxBPx CfxOx1能量法能量法變形（ 注意：Px=0）LxxxPxMEIxMPUxfd)()( )(xxxxxLPEI0111d)(1)2)(3(223LxxxLxEIP能量法能量法例例7 等截面梁如圖，用卡氏定理求B 點的撓度。求內(nèi)力解：1.依 求多余反力，0 Cf將內(nèi)力對RC求偏導(dǎo))5 . 0()()(xLPxLRxMCAB)()(xLRxMCBCxLRxMCAB)(取靜定基如圖xLRxMCBC)(PCAL0.5 LBfxOPCAL0.5 LBRC能量法能量法變形LCCCxRxME

19、IxMRUfd)()( LCLxxLRxxLxLPEI025 .00d)(d)()5 .0(10)3485(133LRPLEIC165PRC能量法能量法2.求0Bf將內(nèi)力對P求偏導(dǎo))5 .0()(165)(xLPxLPxMAB)(165)(xLPxMBC16311)(LxPxMAB16)(5)(xLPxMBC求內(nèi)力能量法能量法變形LBxPxMEIxMPUfd)()( LLLxxLPxLxPEI5 .0225 .002d)()165(d)16311(1EIPL76873能量法能量法例9-17d=20mm,h=180mm,b=100mm,E=200Gpa,s=235MPa,b=400MPa,n=2

20、,nst=3, 求Fd1m2m1mhbF1)1)計算柔度計算柔度解：解：200204110001il100P22Ecr22241dEAFcrcr2224131dEAFNcrCDKNF495.152）求）求CD桿的臨界力桿的臨界力3）校核梁的強度）校核梁的強度FM32maxMPaWMZ13.191801006110495.153223maxmaxNCD=F/3NA=2F/3F28.1213.19235maxstn卡氏定理卡氏定理卡氏第二定理：若將結(jié)構(gòu)的變形能卡氏第二定理：若將結(jié)構(gòu)的變形能U U表示為載荷表示為載荷P P1 1，P P2 2，P Pi i，的函數(shù)，則變形能對任一載荷的函數(shù)，則變形能對任一載荷P Pi i的偏導(dǎo)數(shù)等于的偏導(dǎo)數(shù)等于P Pi i作用點作用點沿沿P Pi i作用方向的位移作用方向的位移i i，即：，即： 卡氏第一定理：桿件的變形能卡氏第一定理：桿件的變形能U U( (ii)()(i i=1,2, =1,2, ,n),n)，對于桿件，對于桿件上與某一載荷相應(yīng)位移的變化率等于該載荷的