【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2015年高考數(shù)學(xué)(人教A版,理)一輪復(fù)習(xí)配套講義：第8篇 第4講 直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、第4講直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系最新考綱1能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系2能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題3初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.知 識(shí) 梳 理1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系設(shè)直線(xiàn)l：AxByC0(A2B20)，圓：(xa)2(yb)2r2(r0)，d為圓心(a，b)到直線(xiàn)l的距離，聯(lián)立直線(xiàn)和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交dr0相切dr0相離dr02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置關(guān)系 幾何法：圓

2、心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離dr1r2無(wú)解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|dr1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d|r1r2|(r1r2)無(wú)解辨 析 感 悟1對(duì)直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的理解(1)直線(xiàn)ykx1與圓x2y21恒有公共點(diǎn)()(2)“k1”是“直線(xiàn)xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(3)(教材習(xí)題改編)直線(xiàn)y2x3被圓x2y26x8y0所截得的弦長(zhǎng)等于2.()2對(duì)圓與圓位置關(guān)系的理解(4)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切()(5)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交

3、()3關(guān)于圓的切線(xiàn)與公共弦(6)過(guò)圓O：x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線(xiàn)方程是x0xy0yr2.()(7)兩個(gè)相交圓的方程相減消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程()(8)圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y10的公切線(xiàn)有且僅有2條()感悟提升1兩個(gè)防范一是應(yīng)用圓的性質(zhì)求圓的弦長(zhǎng)，注意弦長(zhǎng)的一半、弦心距和圓的半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形，有的同學(xué)往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)，考慮要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)應(yīng)為兩圓外切與內(nèi)切，(5)應(yīng)為兩圓相交、內(nèi)切、內(nèi)含2兩個(gè)重要結(jié)論一是兩圓的位置關(guān)系與公切線(xiàn)的條數(shù)：內(nèi)含時(shí)：0

4、條；內(nèi)切：1條；相交：2條；外切：3條；外離：4條二是當(dāng)兩圓相交時(shí)，把兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程.考點(diǎn)一直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系【例1】 (1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線(xiàn)axby1與圓O的位置關(guān)系是()A相切 B相交 C相離 D不確定(2)(2013山東卷)過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2y21的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則直線(xiàn)AB的方程為()A2xy30 B2xy30 C4xy30 D4xy30解析(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b21，而圓心O到直線(xiàn)axby1的距離d1.故直線(xiàn)與圓O相交(2)如圖，圓心坐標(biāo)為C(1,0

5、)，易知A(1,1)，又kABkPC1，且kPC，kAB2.故直線(xiàn)AB的方程為y12(x1)，即2xy30.答案(1)B(2)A規(guī)律方法 判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線(xiàn)的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線(xiàn)的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法【訓(xùn)練1】 (1)“a3”是“直線(xiàn)yx4與圓(xa)2(y3)28相切”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(2)(2014鄭州模擬)直線(xiàn)yxm與圓x2y21在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m取值范圍是()A(，2) B(，3)C. D.解析(1)若直線(xiàn)yx4與圓(xa)2(y3)28相

6、切，則有2，即|a1|4，所以a3或5.但當(dāng)a3時(shí)，直線(xiàn)yx4與圓(xa)2(y3)28一定相切，故“a3”是“直線(xiàn)yx4與圓(xa)2(y3)28相切”的充分不必要條件(2)當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)m1；當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)有圓心到直線(xiàn)的距離d1，解得m，所以要使直線(xiàn)與圓在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則1m.答案(1)A(2)D考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系【例2】 已知兩圓x2y22x6y10和x2y210x12ym0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)求m45時(shí)兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦的長(zhǎng)解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x1)2(y3)211，

7、(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，解得m2510.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5，故只有5，解得m2510.(3)兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程為(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230，公共弦長(zhǎng)為2 2.規(guī)律方法 (1)判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在的直線(xiàn)方程或是公共弦長(zhǎng)，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線(xiàn)方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線(xiàn)就可以求出公共弦長(zhǎng)【訓(xùn)練2】 (1

8、)圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關(guān)系是()A相離 B相交 C外切 D內(nèi)切(2)設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|()A4 B4 C8 D8解析(1)圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為r11，圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r22，故兩圓的圓心距|O1O2|，而r2r11，r1r23，則有r2r1|O1O2|r1r2，故兩圓相交(2)依題意，可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，a)、半徑為r，其中ra0，因此圓的方程是(xa)2(ya)2a2，由圓過(guò)點(diǎn)(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即a210a170，則該方程的兩根分別是圓心C1，C

9、2的橫坐標(biāo)，|C1C2|8.故選C.答案(1)B(2)C考點(diǎn)三有關(guān)圓的綜合問(wèn)題【例3】 (2013江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線(xiàn)l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線(xiàn)yx1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍審題路線(xiàn)(1)由兩條直線(xiàn)解得圓心C的坐標(biāo)設(shè)過(guò)點(diǎn)A與圓C相切的切線(xiàn)方程由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求斜率寫(xiě)出切線(xiàn)方程；(2)設(shè)圓C的方程設(shè)點(diǎn)M(x，y)由|MA|2|MO|得M的軌跡方程由兩圓有公共點(diǎn)，列出關(guān)于a的不等式解不等式可得解(1)由題設(shè)，圓心C是直線(xiàn)y2x4和yx

10、1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線(xiàn)的斜率必存在設(shè)過(guò)A(0,3)的圓C的切線(xiàn)方程為ykx3，由題意，得1，解得k0或，故所求切線(xiàn)方程為y3或3x4y120.(2)因?yàn)閳A心在直線(xiàn)y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)閨MA|2|MO|，所以2 ，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD|21，即13.整理得85a212a0.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是.規(guī)律方法 (1)圓與直線(xiàn)l相

11、切的情形圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于l.(2)圓與直線(xiàn)l相交的情形圓心到l的距離小于半徑，過(guò)圓心而垂直于l的直線(xiàn)平分l被圓截得的弦；連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線(xiàn)垂直于弦；過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，最短的是垂直于過(guò)這點(diǎn)的直徑的那條弦，最長(zhǎng)的是過(guò)這點(diǎn)的直徑在解有關(guān)圓的解析幾何題時(shí)，主動(dòng)地、充分地利用這些性質(zhì)可以得到新奇的思路，避免冗長(zhǎng)的計(jì)算【訓(xùn)練3】 (2013江西卷)過(guò)點(diǎn)(，0)引直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線(xiàn)l的斜率等于()A. B C D解析由y得x2y21(y0)，即該曲線(xiàn)表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的半圓，如圖所示故SAOB|OA|OB

12、|sinAOBsinAOB.所以當(dāng)sinAOB1，即OAOB時(shí)，SAOB取得最大值，此時(shí)點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d|OA|sin 45.設(shè)此時(shí)直線(xiàn)l的斜率為k，則方程為yk(x)，即kxyk0，則有，解得k，由圖象可知直線(xiàn)l的傾斜角為鈍角，故取k.答案B 1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來(lái)判斷的2求過(guò)一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程時(shí)，首先要判斷此點(diǎn)是否在圓上，然后設(shè)出切線(xiàn)方程注意：斜率不存在的情形3圓的弦長(zhǎng)的常用求法(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則2r2d2；(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：|AB|x1x2|.

13、答題模板10與圓有關(guān)的探索問(wèn)題【典例】 (12分)已知圓C：x2y22x4y40.問(wèn)在圓C上是否存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)ykx1對(duì)稱(chēng)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由規(guī)范解答圓C的方程可化為(x1)2(y2)29，圓心為C(1，2)假設(shè)在圓C上存在兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足條件，則圓心C(1，2)在直線(xiàn)ykx1上，即k1.(2分)于是可知，kAB1.設(shè)lAB：yxb，代入圓C的方程，整理得2x22(b1)xb24b40，則4(b1)28(b24b4)0，即b26b90.解得33b33.(6分)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2b1，

14、x1x2b22b2. 也就是x1x2(x1b)(x2b)0.由題意知OAOB，則有x1x2y1y20， (8分)2x1x2b(x1x2)b20.b24b4b2bb20，化簡(jiǎn)得b23b40. (10分)解得b4或b1，均滿(mǎn)足0， (11分)即直線(xiàn)AB的方程為xy40，或xy10 . (12分)反思感悟 本題是與圓有關(guān)的探索類(lèi)問(wèn)題，要注意充分利用圓的幾何性質(zhì)解題，解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)假設(shè)存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)過(guò)圓心(2)若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則OAOB.轉(zhuǎn)化為0.答題模板第一步：假設(shè)符合要求的結(jié)論存在第二步：從條件出發(fā)(即假設(shè))利用直線(xiàn)與圓的關(guān)系求解第三步：確定符合要求的結(jié)論存

15、在或不存在第四步：給出明確結(jié)果第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范【自主體驗(yàn)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線(xiàn)ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是_解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y21，如圖，直線(xiàn)ykx2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需保證圓心C到y(tǒng)kx2的距離不大于2即可圓心C(4,0)到直線(xiàn)ykx2的距離d，由題意知2，整理得3k24k0，解得0k.故kmax.答案基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1(2014廣州二測(cè))直線(xiàn)ykx1與圓x2y22y0的位置關(guān)

16、系是()A相交 B相切 C相離 D取決于k的值解析由ykx1知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0,1)，由x2y22y0得x2(y1)21.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心，直線(xiàn)與圓相交答案A2圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切 B相交 C外切 D相離解析兩圓圓心分別為(2,0)和(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32d32，兩圓相交答案B3若直線(xiàn)xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為，即|a1|2，解得3a1.答案C4(2014寶雞二檢)若圓x2y22x4ym0(m3)的一條弦AB

17、的中點(diǎn)為P(0,1)，則垂直于AB的直徑所在直線(xiàn)的方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析由圓的方程得該圓圓心為C(1,2)，則CPAB，直線(xiàn)CP的斜率為1，故垂直于AB的直徑所在直線(xiàn)的方程為y1x，即xy10.答案B5(2014威海期末考試)若直線(xiàn)ykx與圓(x2)2y21的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)2xyb0對(duì)稱(chēng)，則k，b的值分別為()Ak，b4 Bk，b4Ck，b4 Dk，b4解析因?yàn)橹本€(xiàn)ykx與圓(x2)2y21的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)2xyb0對(duì)稱(chēng)，則ykx與直線(xiàn)2xyb0垂直，且2xyb0過(guò)圓心，所以解得k，b4.答案A二、填空題6過(guò)點(diǎn)A(2,4)向圓x2y24所引切線(xiàn)的方程為_(kāi)

18、解析顯然x2為所求切線(xiàn)之一；另設(shè)直線(xiàn)方程為y4k(x2)，即kxy42k0，那么2，解得k，即3x4y100.答案x2或3x4y1007過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l與圓C：(x1)2y24交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)ACB最小時(shí)，直線(xiàn)l的方程為_(kāi)解析由題意得，當(dāng)CMAB時(shí)，ACB最小，從而直線(xiàn)方程y1，即2x4y30.答案2x4y308(2014三門(mén)峽二模)兩圓相交于兩點(diǎn)(1,3)和(m，1)，兩圓圓心都在直線(xiàn)xyc0上，且m，c均為實(shí)數(shù)，則mc_.解析根據(jù)兩圓相交的性質(zhì)可知，兩點(diǎn)(1,3)和(m，1)的中點(diǎn)在直線(xiàn)xyc0上，并且過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)與xyc0垂直，故有m5，c2，mc3.答案3三、解答題9求過(guò)兩圓

19、x2y24xy1，x2y22x2y10的交點(diǎn)的圓中面積最小的圓的方程解由得2xy0代入得x或1，兩圓兩個(gè)交點(diǎn)為，(1，2)過(guò)兩交點(diǎn)圓中，以，(1，2)為端點(diǎn)的線(xiàn)段為直徑的圓時(shí)，面積最小該圓圓心為，半徑為，圓方程為22.10已知：圓C：x2y28y120，直線(xiàn)l：axy2a0.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相切；(2)當(dāng)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2時(shí)，求直線(xiàn)l的方程解將圓C的方程x2y28y120化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y4)24，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線(xiàn)l與圓C相切，則有2，解得a.(2)過(guò)圓心C作CDAB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，得解得a7或1.故所求直線(xiàn)方

20、程為7xy140或xy20.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1(2014安徽宣城六校聯(lián)考)已知點(diǎn)P(x0，y0)，圓O：x2y2r2(r0)，直線(xiàn)l：x0xy0yr2，有以下幾個(gè)結(jié)論：若點(diǎn)P在圓O上，則直線(xiàn)l與圓O相切；若點(diǎn)P在圓O外，則直線(xiàn)l與圓O相離；若點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則直線(xiàn)l與圓O相交；無(wú)論點(diǎn)P在何處，直線(xiàn)l與圓O恒相切，其中正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式有d，若點(diǎn)P在圓O上，則xyr2，dr，相切；若點(diǎn)P在圓O外，則xyr2，dr，相交；若點(diǎn)P在圓O內(nèi)，則xyr2，dr，相離，故只有正確答案A2(2013重慶卷)已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，