第8章_方差分析

1、某連鎖超市公司為了研究不同促銷手段對商品銷售額的影響，選擇了某類日常生活用品在其屬下的5個(gè)門店分別采用某種促銷方式各進(jìn)行了4個(gè)月的試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)前該類商品在這5個(gè)門店的銷售額基本處于同一水平。試驗(yàn)結(jié)果見表促銷方式月銷售額（萬元）A1（通常銷售）A2（廣告宣傳）A3（有獎(jiǎng)銷售）A4（特價(jià)銷售）A5（買一送一）12.513.115.617.918.215.414.716.519.617.111.812.313.421.816.513.213.613.120.416.2其中“通常促銷”是指不采用任何促銷手段，“廣告宣傳”是指沒有價(jià)格優(yōu)惠的單純廣告促銷，“買一送一”是指買一件商品送另一件小商品?，F(xiàn)該公司希

2、望了解的是：（1）不同的促銷方式是否對該類商品銷量的增長有顯著影響？（2）若有顯著影響，哪種促銷方式效果最好？（3）是否任意兩種促銷方式的效果之間都存在顯著差異？掌握以上信息對該公司制定今后的最佳銷售策略，有非常重要的意義？方差分析(Analysis of Variances, 簡記為ANOVA）可以一次對多個(gè)總體完成均值是否相同的檢驗(yàn)。我們先討論單因素方差分析設(shè)對于s個(gè)不同的技術(shù)方案，分別進(jìn)行了ns個(gè)實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)其效果，記方案i的第j個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為xij，問題是：如何判別這些方案的效果之間是否存在顯著區(qū)別？從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)只需要檢驗(yàn)各方案的平均效果i之間是否存在顯著區(qū)別即可。單因素方差分析的數(shù)據(jù)通

3、?？梢圆捎萌缦碌谋砀穹绞搅谐鰔11x12x1n1x21x22x2n2xs1xs2xsns單因素方差分析雖然起源于對技術(shù)方案的評價(jià)，但現(xiàn)在它也被用來解決許多具有不同的實(shí)際背景的問題。例如方案政策、設(shè)備、方法、藥品、工藝、原料實(shí)驗(yàn)調(diào)查、檢驗(yàn)、觀察、檢查、測試所謂“單因素”，就是指分析中只有“方案”這個(gè)單一的因素（變量），不同的方案，就是“方案”這一變量的不同取值。這些不同的取值也可以認(rèn)為是“方案”這個(gè)因素的不同水平。實(shí)驗(yàn)效果方案1 x11x12x1n1方案2 x21x22x2n2方案s xs1xs2xsns因素或變量的不同取值或水平對應(yīng)同一水平的不同觀察值或樣本值xij, 下標(biāo)i對應(yīng)單一因素的第i

4、個(gè)水平，下標(biāo)j對應(yīng)第j個(gè)樣本觀察值假設(shè)這s個(gè)方案的總體都服從正態(tài)分布：N(i, 2), 這意味著這些總體都有相同的方差，但均值可能互不相同。123隨機(jī)樣本Xij，可以看成各個(gè)方案的總體均值i與隨機(jī)誤差ij之和:ijiijX其中ij N(0, 2), 并且如果對不同方案進(jìn)行的不同實(shí)驗(yàn)都是獨(dú)立進(jìn)行的話， ij之間也是相互獨(dú)立的。如果表示實(shí)驗(yàn)效果的數(shù)據(jù)都是一元的，則稱上述模型為單因素（一元）方差分析的統(tǒng)計(jì)模型。相應(yīng)地，若表示效果的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是多元的，就稱為單因素多元模型。ijiXij上述模型中的隨機(jī)誤差可以表示為：iijijX但我們并不能觀察到總體的均值i，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以通過樣本均值 來估計(jì)它，也

5、就是用 iXiijXX來估計(jì)（觀察）真實(shí)的誤差ij 。實(shí)驗(yàn)效果方案1 x11x12x1n1方案2 x21x22x2n2方案s xs1xs2xsns212221njjxnx樣本均值組內(nèi)平均（第2組）：siisinjijnnxnxi1111樣本總平均：總平均：siisiiinnnn111其中方案i的主效應(yīng)：iia由單因素的方差分析模型 和上式，有ijiijXijiijiijaX即Xij可以表示為總平均、方案i的主效應(yīng)與隨機(jī)項(xiàng)之和。由各方案的主效應(yīng)的表達(dá)式知，若對于所有的i都有ai = 0，則各方案的均值相同（都等于）。所以單因素方差分析的基本任務(wù)就是檢驗(yàn)如下的假設(shè)：原假設(shè) H0：ai = 0 或

6、1= 2= s備擇假設(shè) H：ai 不全為 0 或 1，2， s中至少有兩個(gè)不相等ij的構(gòu)成i（行穩(wěn)定中心）的構(gòu)成ij (服從 N(0, 2)ai(= i - ) 全局穩(wěn)定中心主效應(yīng)（行穩(wěn)定中心i與全局中心的偏差）隨機(jī)擾動按照Xij的構(gòu)成：ijiijiijaX可以看到Xij與總的平均水平的偏差由兩部分構(gòu)成:ijiia,通常用Xij與總的平均水平的偏差的平方和, 來反映各Xij與總平均水平的整體波動, 記為ST。但與i是觀察不到的，所以用相應(yīng)的樣本觀察值代替，并且用 代替真實(shí)的誤差ij 。因此iijxxsinjiiijsinjijTiixxxxxxS112112)()(ijiia可以證明如下的平方

7、和分解公式：AEsinjisinjiijTSSxxxxSii112112)()(也就是總的偏差（波動）可分解為siiisinjiAxxnxxSi12112)()(組間變差各方案效果差別導(dǎo)致的偏差。sinjiijEixxS112)(組內(nèi)變差隨機(jī)因素導(dǎo)致的偏差。證明見莊楚強(qiáng)等編應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，華南理工大學(xué)出版社。實(shí)際上，SA既包括了各方案效果差異導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差，也包括隨機(jī)誤差；而SE僅包括隨機(jī)誤差。 也就是也就是, 觀察值之間的差異來自兩個(gè)方面：觀察值之間的差異來自兩個(gè)方面：某因素不同水平的影響（系統(tǒng)性影響）其他隨機(jī)因素的影響（隨機(jī)性影響）水平間方差（組間方差）水平內(nèi)方差（組內(nèi)方差）于是，若假設(shè)

8、H0滿足，應(yīng)該有比值：)() 1(snSsSfEA就不會太大，否則就表明H0不成立。此外容易說明相應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量（即將f中的各xij換成Xij后得到的統(tǒng)計(jì)量）服從分布F( s 1 , n s )。從而F可以作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。對給定的顯著性水平, 可以求得臨界值f(s 1 , n s), 若f f, 則拒絕H0。實(shí)際算法：（1）先計(jì)算組間變差siiiAxxnS12)(（2）再計(jì)算組內(nèi)變差sinjiijEixxS112)(（3）計(jì)算統(tǒng)計(jì)值)() 1(snSsSfEA（4）檢驗(yàn)對給定的顯著性水平, 可以求得臨界值f (s 1 , n s), 若f f, 則拒絕H0；否則接受H0。注意：（2）在拒絕H0時(shí)

9、，我們僅僅能斷定至少有兩個(gè)方案之間的平均效果（均值）存在顯著差異，但是到底哪些方案之間有顯著差異，哪些之間沒有，則無法判定。如果要知道這一結(jié)果，理論上應(yīng)當(dāng)采用第6章的方法，對不同方案做兩兩對比，也就是進(jìn)行多個(gè)組合之間的對比檢驗(yàn)。完全進(jìn)行所有比較需要進(jìn)行 次檢驗(yàn)。幸虧這可由SPSS自動完成。)!2(! 2!2sss（1）這里的檢驗(yàn)是單尾檢驗(yàn)。直觀地看，當(dāng)H0不滿足時(shí)，SA 相對于SE而言總是比較大的，因此我們只會在f比較大時(shí)拒絕H0。因此，在進(jìn)行方差分析時(shí)，按如下的處理方式：因此，在進(jìn)行方差分析時(shí)，按如下的處理方式：不拒絕不拒絕H0，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足，表示拒絕總體均數(shù)相等的證據(jù)不足

10、拒絕拒絕H0，接受，接受H1, 表示總體均數(shù)不全相等表示總體均數(shù)不全相等分析終止。分析終止。需要進(jìn)一步作多重比較需要進(jìn)一步作多重比較 我們看到，當(dāng)多個(gè)總體的方差相等時(shí)，我們既可以進(jìn)行方差分析，也可以將這些總體兩兩進(jìn)行逐對比較。 相比之下，方差分析除了前面提到的可以更好的估計(jì)方差之外，其另外的一個(gè)好處是可以降低犯第一類錯(cuò)誤的概率。 以引例的分析為例，在那里，我們通過方差分析比較5個(gè)總體的均值是否相等，設(shè)定的犯第一類錯(cuò)誤的概率為0.05. 如果我們將這5個(gè)總體兩兩配對進(jìn)行比較，則需要作10個(gè)兩總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)。 若這10個(gè)配對假設(shè)檢驗(yàn)所設(shè)定的犯第一類錯(cuò)誤的概率（又稱為比較性犯第一類錯(cuò)誤的概率）

11、均為0.05；則這10次檢驗(yàn)中至少有一次犯第一類錯(cuò)誤的概率為1-(1-0.05)10=0.40.稱這個(gè)概率為總的或試驗(yàn)性犯第一類錯(cuò)誤的概率。因此對多個(gè)總體的均值比較問題因此對多個(gè)總體的均值比較問題, , 通常不會用兩兩通常不會用兩兩比較的比較的t t檢驗(yàn)來代替方差分析檢驗(yàn)來代替方差分析. .若 拒絕H0；否則若 接受H0。在利用計(jì)算機(jī)軟件來做方差分析時(shí)，軟件通常會給出統(tǒng)計(jì)值 f 的最低顯著性水平p，這時(shí)可根據(jù)p值的大小進(jìn)行檢驗(yàn)：ppff實(shí)際上)(1fFPp是過f 的直線截得分布曲線下方右邊的面積，若 則表明pff 數(shù)據(jù)：教材數(shù)據(jù)光盤中的“CH4CH8莖葉箱方差工資性別崗位300余”步驟: (1

12、)點(diǎn)擊AnalysisCompare Means One-way ANOVA(2) 選左框中的變量：“當(dāng)前工資”，用箭頭送入右邊Dependent list(因變量列表)框中(3) 選左框中的變量：“工作性質(zhì)”，用箭頭送入右邊Factor(因素變量)框中(4)點(diǎn)擊OK，SPSS就給出分析結(jié)果。SASEp 結(jié)果說明：由于計(jì)算得到的p值=0.000.05。因此對給定的顯著性水平 = 0.05，應(yīng)該拒絕原假設(shè)，也就是：不同工作性質(zhì)的工資存在顯著區(qū)別。數(shù)據(jù)：教材數(shù)據(jù)光盤中的“CH4CH8莖葉箱方差工資性別崗位300余”步驟: (1)點(diǎn)擊AnalysisCompare Means One-way ANO

13、VA(2) 選左框中的變量：“當(dāng)前工資”，用箭頭送入右邊Dependent list(因變量列表)框中(3) 選左框中的變量：“工作性質(zhì)”，用箭頭送入右邊Factor(因素變量)框中(4)指定選項(xiàng)：點(diǎn)擊Option按鈕，機(jī)器彈出一個(gè)對話窗口在該對話窗口中Statistics選項(xiàng)中，選擇Homogeneity-of-variance復(fù)選項(xiàng)，表示進(jìn)行方差齊次性檢驗(yàn)。在Missing Values選項(xiàng)中，選擇Exclude cases analysis by analysis選項(xiàng)，表示只剔除正在分析的組內(nèi)的缺失值（這是系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)）。然后按Continue返回上一窗口。（這意味著如果拒絕H0，則也無

14、須再保證各總體有同樣的方差）點(diǎn)擊Post Hoc按鈕，系統(tǒng)彈出Post Hoc Multiple Comparison(各組均值兩兩比較)窗口。 在Equal Variance Assumed(齊次方差假設(shè))選項(xiàng)中選擇LSD, 其含義是即通過t檢驗(yàn)，來對比檢驗(yàn)組中兩兩均值是否存在顯著差異，不進(jìn)行兩兩均值的誤差調(diào)整。再在Equal Variance Not Assumed(非齊次方差假設(shè)) 選項(xiàng)中選擇TamHanes T2。其含義是然后點(diǎn)擊Continue返回上一窗口。點(diǎn)擊Contrasts(對照)按鈕，彈出Contrasts對話窗。選擇Polynomial激活Degree列表框，選擇Linea

15、r(默認(rèn)值).然后在框Coeffcients，依次Add進(jìn)行對比的各組系數(shù)（每輸入一組系數(shù)以后，Next按鈕激活，點(diǎn)擊它可再輸入下一組系數(shù)）。輸入完后點(diǎn)擊Continue返回上一窗口。注：如果不需要進(jìn)行特定的對比檢驗(yàn)，就無須進(jìn)行該項(xiàng)選擇。最后點(diǎn)擊OK，SPSS就可輸出結(jié)果。1.在SPSS中先建立一個(gè)數(shù)據(jù)文件，文件中包含兩個(gè)變量：銷售額，促銷方式。2.其中“促銷方式”取值分別為: 1, 2, 3, 4, 5。分別對應(yīng)著5種促銷方法。再將所有銷售數(shù)據(jù)送入變量，相應(yīng)地確定“促銷方式”的取值。3.調(diào)用SPSS的單因素方差分析的功能進(jìn)行方差分析，步驟同上例。例如下面的問題：對運(yùn)動員訓(xùn)練的效果不但與訓(xùn)練方

16、法有關(guān)，也與運(yùn)動員的身體素質(zhì)有關(guān)。如果選出了n組運(yùn)動員，每個(gè)組的運(yùn)動員有同樣的體質(zhì)特征，每個(gè)組有s個(gè)運(yùn)動員，用s種不同方法進(jìn)行訓(xùn)練，這樣可以獲得sn個(gè)不同的訓(xùn)練效果，怎樣判斷不同的方法訓(xùn)練效果是否有顯著差異？不同體質(zhì)特征對訓(xùn)練效果是否有顯著影響？實(shí)際問題中影響實(shí)驗(yàn)效果的因素可能不只一個(gè)，現(xiàn)在考慮有兩個(gè)影響因素的情形。問題的有關(guān)條件可以概括成如下的表體質(zhì)1體質(zhì)2體質(zhì)n方法1x11x12x1n方法2x21x21x2n方法sxs1xs2xsn因素B1因素B2因素Bn因素A1因素A2因素As其中xij表示因素Ai和因素Bj下的實(shí)驗(yàn)效果的觀察值問題因素A的不同水平（方案）的效果（均值）有無顯著不同？因素

17、B的不同水平（方案）的效果（均值）有無顯著不同？所謂“雙因素”，是指問題中有兩個(gè)（反映前提或條件的）變量（因素）：變量A和變量B。Ai是變量A的一個(gè)取值（又稱因素A的一個(gè)水平），Bj是變量B的一個(gè)取值（又稱因素A的一個(gè)水平）。雙因素問題在經(jīng)濟(jì)管理中是常見的。上述運(yùn)動員訓(xùn)練的問題明顯可以應(yīng)用于: 不同水平（層次）的人員用不同方法培訓(xùn)的問題；再比如可以用來表示不同質(zhì)量的商品采用不同的包裝形式的銷售效果；不同的原材料采用不同的工藝的加工（生產(chǎn)）效果等等。從計(jì)算上看與單因素問題的區(qū)別在于，單因素問題，只考慮表中行的均值；而對雙因素問題，既要考慮行的均值，也要考慮列的均值。假設(shè)在Ai和Bj下總體Xij，

18、服從N(ij, 2)分布。（這一假定意味著這sn個(gè)總體分布有相同的方差，但均值可能各不相同。）引入下列記號sinjijns111總體Xij的總平均njijin11第i行總體的平均siijjs11第j列總體的平均將第i行平均 與總平均的差siaii, 2 , 1,稱為Ai的主效應(yīng)。 i將第j列平均 與總平均的差njbjj, 2 , 1,稱為Bj的主效應(yīng)。j 如果Ai與Bj間不存在交互效應(yīng)，就有njsibajiij, 2 , 1;, 2 , 1,也就是，隨機(jī)樣本Xij的均值ij，是由總平均，Ai的主效應(yīng)ai，Bj的主效應(yīng)bj構(gòu)成。另一方面，隨機(jī)樣本Xij，可視為其總體均值ij與隨機(jī)誤差ij之和：i

19、jijijX式中ij服從分布N(0, 2) ，并且ij之間相互獨(dú)立。于是njsibaXijjiij, 2 , 1;, 2 , 1,稱為“無交互影響的雙因素（一元）模型”。（如果效果的數(shù)據(jù)是多元的，就是雙因素多元模型。）反過來，隨機(jī)誤差可以表示為njsiXbaXjiijjiijij, 2 , 1;, 2 , 1,ij的構(gòu)成ijij (服從 N(0, 2)ai(= i- )bj(= j - ) 全局穩(wěn)定中心主效應(yīng)（行、列穩(wěn)定中心分別與全局中心的偏差）隨機(jī)擾動零假設(shè)：siaHiiA,.,2 , 1, 0,:0即njbHjjB,.,2 , 1, 0,:0即備擇假設(shè)：不全為零或不全相等，isAaH,.,

20、:211不全為零或不全相等，jnBbH,.,:211首先定義統(tǒng)計(jì)量：總變差：sinjijTXXS112)(行間變差：siiAXXnS12)(列間變差：njjBXXsS12)(總誤差平方和：sinjjiijEXXXXS112)(其中,111sinjijXsnX,11njijiXnX,11siijjXsX對如上定義的統(tǒng)計(jì)量有如下結(jié)論成立：（1） 相互獨(dú)立，且EBASSS,EBATSSSS（2） )1)(1(22nsSE（3）當(dāng) 成立時(shí)，有AH0) 1(22sSA（4）當(dāng) 成立時(shí)，有BH0) 1(22nSB（5）當(dāng) 成立時(shí)，有AH0)1)(1( , 1() 1() 1)(1() 1(nssFSSnn

21、sSsSFEAEAA（6）當(dāng) 成立時(shí)，有BH0)1)(1( , 1() 1() 1)(1() 1(nsnFSSsnsSnSFEBEBB對于給定的顯著性水平查F分布表，找到臨界值)1)(1( , 1(nssfkA若 則拒絕零假設(shè)H0A，即A因素中至少有兩個(gè)水平之間的平均效果存在顯著差異；否則，接受零假設(shè)H0A ，即A因素的不同水平之間平均效果無顯著差異。AAkf 查F分布表，找到臨界值)1)(1( , 1(nsnfkB若 則拒絕零假設(shè)H0B，即B因素中至少有兩個(gè)水平之間的平均效果存在顯著差異；否則，接受零假設(shè)H0B ，即B因素的不同水平之間平均效果無顯著差異。BBkf 不同品牌的彩電在各地區(qū)的銷

22、售量數(shù)據(jù) 品牌(因素A) 銷售地區(qū)( 因素B )B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288 350368323280 343363353298 340330343260 323333308298 1.建立數(shù)據(jù)文件，如下表2.調(diào)用SPSS的方差分析功能3.選擇適當(dāng)?shù)倪x項(xiàng)4.結(jié)果說明不同品牌之間存在顯著差異，但地區(qū)之間的銷售無顯著差異。下面仍通過例子引出問題仍考慮運(yùn)動員的訓(xùn)練問題，對運(yùn)動員訓(xùn)練的效果仍受訓(xùn)練方法與運(yùn)動員體質(zhì)特征兩個(gè)因素的影響。因此我們?nèi)钥紤]問題：怎樣判斷不同的方法訓(xùn)練效果是否有顯著差異？不同體質(zhì)特征對訓(xùn)練效果是否有顯著影響？但也許我們還關(guān)心，運(yùn)動員訓(xùn)練效果的差異是

23、否是這運(yùn)動員訓(xùn)練效果的差異是否是這兩個(gè)因素交互或共同作用的結(jié)果？兩個(gè)因素交互或共同作用的結(jié)果？仍將運(yùn)動員分為n組，每個(gè)組的運(yùn)動員有同樣的體質(zhì)特征，但現(xiàn)在每個(gè)組有s t個(gè)運(yùn)動員，用s種不同方法進(jìn)行訓(xùn)練每組中的t個(gè)運(yùn)動員，這樣可以獲得sn t個(gè)不同的訓(xùn)練效果。體質(zhì)1體質(zhì)2體質(zhì)n1 2 t1 2 t1 2 t方法1x111 x112x11tx121 x122x12tx1n1 x1n2x1nt方法2x211 x212x21tx221 x222x22tx2n1 x2n2x2nt方法sxs11 xs12xs1txs21 xs22xs2txsn1 xsn2xsnt因素B1因素B2因素Bn因素A1因素A2因素

24、As表中每個(gè)格子的數(shù)據(jù)也可以是在同樣的因素水平(Ai, Bj)下重復(fù)進(jìn)行t次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，這也就是將該問題稱為重復(fù)實(shí)驗(yàn)的雙因素方差分析的原因，因此表中xijk表示因素Ai和因素Bj下的第k次實(shí)驗(yàn)效果的觀察值我們現(xiàn)在的問題是：因素A的不同水平（方案）的效果（均值）有無顯著不同？因素B的不同水平（方案）的效果（均值）有無顯著不同？從計(jì)算上看與無重復(fù)的雙因素問題的區(qū)別在于，對重復(fù)實(shí)驗(yàn)的雙因素問題，除了既要考慮行的均值，也要考慮列的均值外；還要考慮每個(gè)格子中的均值。有關(guān)應(yīng)用的討論請見教材p221。因素A與因素B交互作用如何？假設(shè)在Ai和Bj下總體Xij，服從N(ij, 2)分布。（這一假定意味著這sn個(gè)

25、總體分布有相同的方差，但均值可能各不相同。）引入下列記號sinjijns111總體Xij的總平均njijin11第i行總體的平均siijjs11第j列總體的平均將第i行平均 與總平均的差siaii, 2 , 1,稱為Ai的主效應(yīng)。 i將第j列平均 與總平均的差njbjj, 2 , 1,稱為Bj的主效應(yīng)。j 如果Ai與Bj間存在交互效應(yīng)，就有njsibacjiijij, 2 , 1;, 2 , 1,稱為Ai與Bj的交互效應(yīng)。于是，有njsicbaijjiij, 2 , 1;, 2 , 1,即隨機(jī)樣本Xij的均值ij，是由總平均，Ai的主效應(yīng)ai，Bj的主效應(yīng)bj以及Ai與Bj的交互效應(yīng)cij構(gòu)成

26、另一方面，從重復(fù)取樣的角度來看，隨機(jī)樣本Xijk，可視為其總體均值ij與隨機(jī)誤差ijk之和：ijkijijkX式中ijk服從分布N(0, 2) ，并且ijk之間相互獨(dú)立。于是tknjsicbaXijkijjiijk,.,2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1,稱為“有交互影響的雙因素（一元）模型”。反過來，隨機(jī)誤差可以表示為tknjsiXcbaXijijkijjiijkijk,.,2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1ijk的構(gòu)成ij的構(gòu)成ijk (服從 N(0, 2)ai(= i- )cijbj(= j - ) 全局穩(wěn)定中心主效應(yīng)（行、列穩(wěn)定中心分別與全局中心的偏差）交互作用隨機(jī)擾動

27、零假設(shè)：siaHiiA,.,2 , 1, 0,:0即njbHjjB,.,2 , 1, 0,:0即備擇假設(shè)：不全為零或不全相等，isAaH,.,:211不全為零或不全相等，jnBbH,.,:211njnibacHjiijijC,.,2 , 1;,.,2 , 1, 0:0njnibacHjiijijC,.,2 , 1;,.,2 , 1,:1不全為零定義統(tǒng)計(jì)量：總變差：sinjtkijkTXXS1112)(行間變差： siiAXXntS12)(列間變差：njjBXXstS12)(其中,1111sinjtkijkXsntX,111 njtkijkiXntX,111sitkijkjXstX交叉變差： s

28、injjiijBAXXXXtS112)(,11tkijkijXtX總誤差平方和：sinjtkijijkEXXS1112)(此外對如上定義的統(tǒng)計(jì)量有如下結(jié)論成立：（1） 相互獨(dú)立，且EBABASSSS,EBABATSSSSS（2） )1(22tsnSE（3）當(dāng) 成立時(shí)，有AH0) 1(22sSA（4）當(dāng) 成立時(shí)，有BH0) 1(22nSB（5）當(dāng) 成立時(shí)，有CH0)1)(1(22nsSBA從而（6）當(dāng) 成立時(shí)，有AH0)1(, 1() 1() 1() 1() 1(tsnsFSsStsntsnSsSFEAEAA（7）當(dāng) 成立時(shí)，有BH0)1(, 1() 1() 1() 1() 1(tsnnFSnS

29、tsntsnSnSFEBEBB（8）當(dāng) 成立時(shí)，有CH0)1(),1)(1() 1)(1() 1() 1() 1)(1(tsnnsFSnsStsntsnSnsSFEBAEBABA對于給定的顯著性水平查F分布表，找到臨界值)1(, 1(tsnsfkA若 則拒絕零假設(shè)H0A，即A因素中至少有兩個(gè)水平之間的平均效果存在顯著差異；否則，接受零假設(shè)H0A ，即A因素的不同水平之間平均效果無顯著差異。AAkf 查F分布表，找到臨界值)1(, 1(tsnnfkB若 則拒絕零假設(shè)H0B，即B因素中至少有兩個(gè)水平之間的平均效果存在顯著差異；否則，接受零假設(shè)H0B ，即B因素的不同水平之間平均效果無顯著差異。BB

30、kf 查F分布表，找到臨界值)1(),1)(1(tsnnsfkBA若 則拒絕零假設(shè)H0C，即A因素和B因素的交互效果中至少有一個(gè)顯著異于零；否則，接受零假設(shè)H0C ，即A因素與B因素的交互效果均與零無顯著差異，或A因素與B因素的交互效果不顯著。BABAkf檢驗(yàn)的步驟、過程見教材與課堂演示檢驗(yàn)的步驟、過程見教材與課堂演示科研工作中進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的重要性科研工作中進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)的重要性l進(jìn)行一項(xiàng)科研課題如同造一座大橋、一座大廈。 如果大廈事先沒有良好的設(shè)計(jì)就會倒塌，同樣科研課題事先沒有良好的設(shè)計(jì)就會失敗。l科研設(shè)計(jì)如同建筑設(shè)計(jì)一樣舉足輕重。l很多科研工作者僅依賴現(xiàn)有的專業(yè)知識進(jìn)行研究，只是在實(shí)驗(yàn)做完后

31、才開始想到運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識。進(jìn)行完試驗(yàn)后再找統(tǒng)計(jì)學(xué)家分析數(shù)據(jù)，如同病人死后再找醫(yī)生進(jìn)行尸體解剖，醫(yī)生會告訴病人死的原因是什么。同樣，統(tǒng)計(jì)學(xué)家會告訴你試驗(yàn)失敗的原因是什么。 -費(fèi)歇爾(Ronand A. Fisher, 1890-1962)研究設(shè)計(jì)的好壞，直接關(guān)系到研究結(jié)果的可靠性，任何設(shè)計(jì)上的缺陷，都不能期望事后彌補(bǔ)。從方法論的角度對管理研究中的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題的討論見陳曉萍等組織與管理研究的實(shí)證方法（北京大學(xué)出版社2008年6月版）作為試驗(yàn)性研究的一個(gè)例子，考慮Chemitech公司遇到的問題。Chemitech開發(fā)了一種新的城市供水過濾系統(tǒng)，其元件需從幾家供應(yīng)商處購買，然后Chemitech在位

32、于南加州哥倫比亞的工廠裝配這些元件。由工程部負(fù)責(zé)確定新過濾系統(tǒng)的最佳裝配方法?？紤]過各種可能之后，小組將范圍縮小至三種方法：方法A、方法B及方法C。這些方法在產(chǎn)品裝配步驟上有所不同。Chemitech的管理者希望確定哪種裝配方法每周生產(chǎn)的過濾系統(tǒng)數(shù)最大。在Chemitech試驗(yàn)中，裝配方法是自變量或因素。因?yàn)閷?yīng)于這個(gè)因素有三種方法，我們說對應(yīng)于該試驗(yàn)有三個(gè)處理。其中每個(gè)處理對應(yīng)于三種裝配方法之一。Chemitech的問題是涉及到一個(gè)定性因素（裝配方法）的單因素試驗(yàn)的一個(gè)例子。其他試驗(yàn)可能包含多個(gè)因素，其中有些因素是定性的而另一些則是定量的。三種裝配方法或處理規(guī)定了Chemitech試驗(yàn)的三個(gè)

33、總體。其一是使用裝配方法A的全體員工，其二是使用裝配方法B的全體員工，其三是使用裝配方法C的全體員工。對每個(gè)總體，因變量或響應(yīng)變量為每周裝配的過濾系統(tǒng)數(shù)目。該試驗(yàn)的主要統(tǒng)計(jì)目的是確定三個(gè)總體每周所生產(chǎn)的平均個(gè)數(shù)是否相同。假定從Chemitech的生產(chǎn)車間的全體裝配工人中抽取了由三名員工組成的樣本。用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的術(shù)語，三名隨機(jī)抽取的工人是試驗(yàn)單元。我們將在Chemitech問題中使用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)。這類設(shè)計(jì)要求將每種裝配方法或處理隨機(jī)地指派給試驗(yàn)單元或工人之一。例如，方法A可能被隨機(jī)地指派給第二名工人，方法B指派給第一名工人，方法C指派給第三名工人。如同本例所解釋的那樣，隨機(jī)化的概念

34、是所有試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要原理1 。1 隨機(jī)化是將處理隨機(jī)地指派給試驗(yàn)單位的過程，目的是保證組與組之間已知和未知的因素的可比性，減少選擇性偏差(selection bias) 。在R. A. Fisher 的工作以前，處理是被系統(tǒng)地或主觀地指派的。注意到該試驗(yàn)將導(dǎo)致對每個(gè)處理只有一個(gè)裝配數(shù)目的度量。換句話說，對應(yīng)于每個(gè)處理的樣本容量為1。為了獲得每種裝配方法的進(jìn)一步的數(shù)據(jù)，我們必須重復(fù)或復(fù)制基本試驗(yàn)步驟。例如，假定不是隨機(jī)抽取3名工人，而是15名工人，然后將3個(gè)處理之一隨機(jī)地指派給其中5名工人。因?yàn)槊糠N裝配方法都指派給5名工人，我們說獲得了5個(gè)復(fù)制。復(fù)制的過程是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的另一個(gè)重要原則。下圖顯示

35、了Chemitech試驗(yàn)的完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)。評價(jià)Chemitech裝配方法試驗(yàn)的完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)15名工人生產(chǎn)的單位個(gè)數(shù)一旦對試驗(yàn)設(shè)計(jì)滿意后，我們將收集并分析數(shù)據(jù)。對于Chemitech情形，員工將受到關(guān)于如何完成指派給他們的裝配方法的指導(dǎo)，然后開始用這種方法裝配新過濾系統(tǒng)。假定指派及培訓(xùn)工作都已經(jīng)完成，而且一周內(nèi)每個(gè)員工裝配的系統(tǒng)數(shù)目列下表中。三種方法所生產(chǎn)的樣本平均個(gè)數(shù)也列在下表。由這些數(shù)據(jù)可知，方法B的產(chǎn)量比其他方法高?，F(xiàn)實(shí)問題是：觀察到的三個(gè)樣本均值之間的差異是否足夠大，以致于我們能夠得出“對應(yīng)于每一種裝配方法的總體均值不同”的結(jié)論。這可以用方差分析的方法解決。Test of Homogeneit