7不可壓縮流體動力學基礎

1、第五章 不可壓縮 流體動力學基礎 當把流體的流動看作是連續(xù)介質(zhì)的流動，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。流體的當把流體的流動看作是連續(xù)介質(zhì)的流動，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。流體的這種性質(zhì)稱為連續(xù)性，用數(shù)學形式表達出來的就是連續(xù)性方程。這種性質(zhì)稱為連續(xù)性，用數(shù)學形式表達出來的就是連續(xù)性方程。首先推導在笛卡兒坐標系中微分形式的連續(xù)性方程。首先推導在笛卡兒坐標系中微分形式的連續(xù)性方程。 如圖如圖7 71 1 微元六面體微元六面體 設該微元六面體中心點設該微元六面體中心點O O（x, y, zx, y, z）上流體質(zhì)點的速度）上流體質(zhì)點的速度密度為密度為 ，于是和，于是和 軸垂直的兩個平面上的質(zhì)量流量如圖所示。軸

2、垂直的兩個平面上的質(zhì)量流量如圖所示。 xvyvzv在在 方向上，方向上， 時間通過時間通過EFGHEFGH面流入的流體質(zhì)量為：面流入的流體質(zhì)量為： x（a a）2xxdxvvdydzdtx時間通過時間通過ABCDABCD面流出的流體質(zhì)量面流出的流體質(zhì)量 ：（b b）2xxdxvvdydzdtx在在 時間內(nèi)，自時間內(nèi)，自垂直于垂直于x軸的兩個面流出、流入的流體質(zhì)量差為：軸的兩個面流出、流入的流體質(zhì)量差為：xxmvdxdydzdtx（c1c1）xdtdtdt同理可得同理可得 和和 方向方向 時間內(nèi)，流出、流入的流體質(zhì)量差為時間內(nèi)，流出、流入的流體質(zhì)量差為: : yzyymvdxdydzdtyzzm

3、vdxdydzdtz（c2c2） （c3c3） 因此，因此， 時間內(nèi)，流出、流入整個六面體的流體質(zhì)量時間內(nèi)，流出、流入整個六面體的流體質(zhì)量差差為為xyzxyzmmmvvvdxdydzdtxyz（c c） 微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化為：微元六面體內(nèi)由于密度隨時間的變化而引起的質(zhì)量的變化為： tmdxdydzdttdtdt由質(zhì)量守恒條件：由質(zhì)量守恒條件：0tvzvyvxzyx()0vt或或它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。 在定常流動中，由于在定常流動中，由于0t0zyxvzvyvx對于不可壓縮流體（對于不可

4、壓縮流體（ = =常數(shù)）常數(shù)）0zvyvxvzyx0 v或或0 xyztmmmm在其它正交坐標系中流場中任一點的連續(xù)性方程和柱坐標系中的表示式為在其它正交坐標系中流場中任一點的連續(xù)性方程和柱坐標系中的表示式為 ： 0)()(1)(1zrvzvrvrrrt對于不可壓縮流體對于不可壓縮流體 01rvzvvrrvrzr式中式中 為極徑；為極徑； 為極角。為極角。r球坐標系中的表示式為球坐標系中的表示式為: :)sin(sin1)(122vrrrvrtr0)(sin1vr0cot2sin11rvrvvrvrrvrr式中式中 為徑矩；為徑矩； 為緯度；為緯度； 為徑度。為徑度。r【例】【例】 0zvyv

5、xvzyx044zvyxzyxzvz44 ),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv 流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因此，流體微團在運流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因此，流體微團在運動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運動。一般情況下，動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運動。一般情況下，流體微團的運動可以分解為移動，轉(zhuǎn)動和變形運動。流體微團的運動可以分解為移動，轉(zhuǎn)動和變形運動。 圖圖7-2 7-2 流體微團運動速度分量流體微團運動速度分量 2

6、22zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx xDAyyBCx（1 1）平移運動：所有偏倒數(shù)為）平移運動：所有偏倒數(shù)為0 0，如圖，如圖7-47-4（a a）所示，所示，矩形矩形ABCDABCD各角點各角點具有相同的速度具有相同的速度 。導致矩形。導致矩形ABCDABCD平移平移x x = = t t, , y y = = t t, , 其其ABCDABCD

7、的形狀不變。的形狀不變。（2 2）線變形運動：如圖）線變形運動：如圖7-47-4（b b）所示，線變形運動取決于速度分量在它所示，線變形運動取決于速度分量在它所在方向上的變化率（即線變形速率所在方向上的變化率（即線變形速率 和和 ），），導致矩形導致矩形ABCDABCD的變的變形量：形量：yxvv ,xvyvxvxyvy圖圖7-4 7-4 流體微團的平面運動流體微團的平面運動 txxvxx22tyyvyy22（3 3）角變形運動和旋轉(zhuǎn)運動：如圖）角變形運動和旋轉(zhuǎn)運動：如圖7-47-4（c c）、（）、（d d）所示，當）所示，當 txvxtxxvyy)2(2tantyvytyyvxx)2(2t

8、anxvyvyx當當矩形矩形ABCDABCD只發(fā)生角變形運動，如圖只發(fā)生角變形運動，如圖7-47-4（c c）所示。）所示。 xvyvyx當當矩形矩形ABCDABCD只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動，形狀不變只發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動，形狀不變在一般情況下在一般情況下 xvyvyx的同時，還會發(fā)生角變形運動。這兩種運動由和所決定。的同時，還會發(fā)生角變形運動。這兩種運動由和所決定。亦就是亦就是矩形矩形ABCDABCD在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動在發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動圖圖7-4 7-4 流體微團的平面運動流體微團的平面運動 于是沿于是沿z z軸流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量：軸流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量： 1122yxzvvttxy同理，沿同理，沿x x，

9、y y軸流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為軸流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量分別為: : zvyvyzx21xvzvzxy21流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度定義為流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度定義為: : Vkjizyx21其中，流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為：其中，流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量及模量為： yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx 流體微團沿流體微團沿z z軸的角變形速度分量：軸的角變形速度分量： 1122yxzvvttxy同理，可有流體微團角變形速度分量及其模量為：同理，可有流體微團角變形速度分量及其模量為： yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx 前面在

10、流體微團的分析中，已給出前面在流體微團的分析中，已給出O O點的速度，點的速度，與點與點O O相距微小矢徑的點相距微小矢徑的點A( )A( )的速度為的速度為 : :zzyyxx,zzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzzzAzyyyyAyxxxxAx如果在式（如果在式（7-107-10）的第一式右端加入兩組等于零的項：）的第一式右端加入兩組等于零的項： yxvyxvyy2121zxvzxvzz2121其值不變。經(jīng)過簡單組合，可將該式寫成其值不變。經(jīng)過簡單組合，可將該式寫成 ：zxvzvyyvxvzxvzvyyvxvxxvvvzxxyzxxyxxAx)(21)(2

11、1)(21)(21同理，有：同理，有： yzvyvxxvzvyzvyvxxvzvzzvvvxyvxvzzvyvxyvxvzzvyvyyvvvyzzxyzzxzzAzxyyzxyyzyyAy)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21和和將式（將式（7-87-8），（），（7-97-9）代入以上三式，便可將式（）代入以上三式，便可將式（7-107-10）寫成）寫成 ：)()()()()()(xyyxzzvvvzxxzyyvvvyzzyxxvvvyxxyzzAzxzzxyyAyzyyzxxAx 上式表明：各速度分量的第一項是平移速度分量，第二、三、四項分別是由線上式表明：各速度

12、分量的第一項是平移速度分量，第二、三、四項分別是由線變形運動、角變形運動和旋轉(zhuǎn)運動所引起的線速度分量。此關系也稱為變形運動、角變形運動和旋轉(zhuǎn)運動所引起的線速度分量。此關系也稱為海姆霍茲海姆霍茲(Helmholtz)(Helmholtz)速度分解定理速度分解定理，該定理可簡述為：，該定理可簡述為： 在某流場在某流場O O點鄰近的任意點點鄰近的任意點A A上的速度可以分成上的速度可以分成三個部分三個部分：分別為：分別為與與O O點相同的點相同的平移速度平移速度（平移運動）；（平移運動）；繞繞O O點轉(zhuǎn)動在點轉(zhuǎn)動在A A點引起的速度點引起的速度（旋轉(zhuǎn)運動）；（旋轉(zhuǎn)運動）；由于變形由于變形（包括線變形

13、和角變形）在（包括線變形和角變形）在A A點引起的速度點引起的速度（變形運動）。（變形運動）。 根據(jù)流體微團在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋根據(jù)流體微團在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動。流動。 數(shù)學條件：數(shù)學條件： 當當 021V021V當當 無旋流動無旋流動 有旋流動有旋流動 通常以通常以 是否等于零是否等于零作為判別流動是否有旋或無旋的判別條件。作為判別流動是否有旋或無旋的判別條件。 V 在笛卡兒坐標系中：在笛卡兒坐標系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz即當流場速度同時滿足：即當流場速度同時滿足： zvyvyzxvzvzx

14、yvxvxy時流動無旋。時流動無旋。 需要指出的是，需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。與流體微團本身的運動軌跡無關。 如圖如圖7-57-5（a a），流體微團的運動為旋轉(zhuǎn)的圓周運動，其微團自身不旋轉(zhuǎn)，流場為），流體微團的運動為旋轉(zhuǎn)的圓周運動，其微團自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖無旋流動；圖7-57-5（b b）流體微團的運動盡管為直線運動，但流體微團在運動過程中）流體微團的運動盡管為直線運動，但流體微團在運動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動為有旋流動。自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動

15、為有旋流動。（a） （b） 圖圖7-5 7-5 流體微團運動軌跡流體微團運動軌跡 【例例】 某一流動速度場為某一流動速度場為 ， ，其中，其中 是不是不為零的常數(shù)，流線是平行于為零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動是有旋軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。流動還是無旋流動。 【解】【解】 由于由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動是有旋運動。所以該流動是有旋運動。 ayvx0zyvvax021xvzvzxy 渦量用來描述流體微團的旋轉(zhuǎn)運動。渦量的定義為：渦量用來描述流體微團的旋轉(zhuǎn)運動。渦量的定義為： V2渦量是點的坐標和時間的函數(shù)。它在直角坐標系中的

16、投影為渦量是點的坐標和時間的函數(shù)。它在直角坐標系中的投影為 ：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz 在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為渦量場渦量場。如同在速度場中引入了流線、如同在速度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強度的概念。流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強度的概念。 1 1渦線渦線: :渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線。如圖渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線。如圖7-77-7所示。所示。 圖圖7-7 7-7 渦線渦線 圖圖7-8 7-8 渦管渦管根據(jù)渦通矢

17、量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為根據(jù)渦通矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為: : ),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx2 2渦管、渦束：渦管、渦束：在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。如圖7-87-8所示。所示。截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運動的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運動的流體稱為渦束，微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦

18、絲。3 3旋旋渦強度（渦通量）渦強度（渦通量） 在渦量場中取一微元面積在渦量場中取一微元面積dAdA，見圖見圖, ,其上流體微團的渦量為其上流體微團的渦量為 ， 為為dAdA的外法線方向，定義的外法線方向，定義 2ndAdAnAddJn2)cos(2為任意微元面積為任意微元面積dAdA上的旋上的旋渦強度，也稱渦通量。渦強度，也稱渦通量。 任意面積任意面積A A上的旋上的旋渦強度為：渦強度為： dAdAJnAA21 1速度環(huán)量速度環(huán)量: :在流場的某封閉周線上，如圖在流場的某封閉周線上，如圖7-97-9（b b），），流體速度矢量沿周線的線積分，流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號

19、定義為速度環(huán)量，用符號 表示，即表示，即: : )(dzvdyvdxvldvzyx 速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負與速度的方向和線積分的繞行方向有關。速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負與速度的方向和線積分的繞行方向有關。對非定常對非定常流動，速度環(huán)量是一個瞬時的概念，應根據(jù)同一瞬時曲線上各點的速度計算。流動，速度環(huán)量是一個瞬時的概念，應根據(jù)同一瞬時曲線上各點的速度計算。 圖圖7-9 7-9 微元有向線段微元有向線段 2 2斯托克斯（斯托克斯（StokesStokes）定理）定理: :在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強

20、度，即線所包圍曲面面積的旋渦強度，即:JdAAdldvnAA2 這一定理將旋渦強度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)量計算旋渦強度的這一定理將旋渦強度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)量計算旋渦強度的方法。方法。 【例】【例】 一二維渦量場，在一圓心在坐標原點、半徑一二維渦量場，在一圓心在坐標原點、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量的渦通量 。若流體微團在半徑。若流體微團在半徑 處的速度分量處的速度分量 為常數(shù)，它的為常數(shù)，它的值是多少？值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得【解】由斯托克斯定理得 ：Jrvrdv202smrJv/21 . 02

21、4 . 02 無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢必須無旋。所以無無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢必須無旋。所以無旋流場又稱為旋流場又稱為有勢流場有勢流場。速度勢的存在與流體是否可壓縮、流動是否定常無關。速度勢的存在與流體是否可壓縮、流動是否定常無關。 在笛卡兒坐標系中：在笛卡兒坐標系中： 2xvyy x 2yvxx y 驗證是否滿足：驗證是否滿足：0V xvxyvy即：即：0yxvvyx 式中式中 為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢是函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢是調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)。 2平面不可壓縮流體平面不可壓

22、縮流體： 等流函數(shù)線為流線等流函數(shù)線為流線；當 常數(shù)時，0dyvdxvdyydxxdxyxyvvyxdxdy 即： 不論是理想流體還是粘性流體，不論是有旋的還是無旋的流動，只要是不可壓縮流體的平面流動，就存在流函數(shù)。 yxvxxyvy0yyxx 三三 速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關系速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關系 流速的大小和方向沿流線不變的流動為流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流均勻流；若流線平行且流速相；若流線平行且流速相等，則稱等，則稱均勻等速流均勻等速流。cossinsincosyvxvyvxvxvyvyvxv,90,0圖圖7-17-10 0 均勻等速流均勻等速流 無限大平面上，流體從一點沿徑

23、向直線均勻地向外流出的流動，稱為無限大平面上，流體從一點沿徑向直線均勻地向外流出的流動，稱為點源點源，這，這個點稱為個點稱為源點源點；如果流體沿徑向均勻的流向一點，稱為；如果流體沿徑向均勻的流向一點，稱為點匯點匯，這個點稱為，這個點稱為匯點匯點。不論不論是點源還是點匯，流場中只有徑向速度是點源還是點匯，流場中只有徑向速度，即，即圖圖7-17-11 1 源流和匯流源流和匯流01rvrvvr圖圖7-17-12 2 點渦點渦勢流疊加原理勢流疊加原理不可壓縮平面無旋流動:勢函數(shù)方程為：流函數(shù)方程為： 都是線性方程，線性方程的特點是解的可疊加性。這樣，對于一個復雜的流動過程，我們就可以把它分解成若干個簡

24、單流動過程的疊加，而這些簡單流動過程的解是已知的，它們的解的疊加就是復雜流動過程的解。20022222yx205.1不可壓縮粘性流體的運動微分方程一、微元體的受力分析和運動微分方程的推導 在流場中取微小平行六面體微元，由于粘性在流場中取微小平行六面體微元，由于粘性的存在，每個面上任意點的表面力可以分解為法的存在，每個面上任意點的表面力可以分解為法向應力和切向應力。向應力和切向應力。 作用在微元體上的表面力 把作用于控制體上x方向的力疊加起來，得到作用在微元體上的表面力在x方向的分量為： dxdydzzyxdzdxdyzdydxdzydxdydzxzxyxxzxyxx作用于微元體個面上的x軸方向

25、的表面力 作用于微元體個面上的Y、Z軸方向的表面力 同理，表面力在y方向的分量為：表面力在z方向的分量為： dxdydzxzyxyzyydxdydzyxzyzxzz作用在微元體上的質(zhì)量力 用用fx，fy，fz表示單位質(zhì)量流體上所受的質(zhì)量力沿表示單位質(zhì)量流體上所受的質(zhì)量力沿x，y，z軸方向的分量，則六面體流體微元在軸方向的分量，則六面體流體微元在x方向的質(zhì)量力為：方向的質(zhì)量力為：xxFfdxdydz根據(jù)牛頓第二定律，可寫出沿根據(jù)牛頓第二定律，可寫出沿x方向的運動微分方程：方向的運動微分方程：yxxzxxDfdxdydzdxdydzdxdydzxyzDtxV這里 ：DDttxxxVVVV是流體微團

26、的x方向的加速度。同理可得沿y、z軸方向的運動微分方程 于是有： 這就是微分形式的運動方程。 yxxxzxxyyzyxyyyzxzzzzDvfDtxyzDvfDtyzxDvfDtzxy二、本構方程本構方程是確立應力和應變率之間關系的方程式。斯托克斯通過將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到了粘性流體的任意流動中，建立了牛頓流體的本構方程： 上式也稱為廣義牛頓摩擦定律 223223223yxx yy xxzx zz xyzz yy zxxyyzzvvxyvvzxvvyzvpvxvpvyvpvz 沿x方向的運動微分方程可寫為：22 () ()3yxxxxzxvDvvvvvfpvDtxxyyxzxz 2222222

27、22222222222222()232()()31()3yxxxxzxyxxxxxzxxxxxxvDvvvvvpfvDtxxxyx yzx zvDvvvvvvpfvDtxxyzxxyzDvvvvpfDtxxyzx ()v化簡為 ：三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）于是有 上式稱納維斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流體運動微分方程的又一種形式。2222222222222222221313yxxxxxzxyyyyyxzyzzzzzvD vvvvvvpfD txxyzxxyzD vvvvvvvpfD tyxyzyxyzD vvvvpfD tzxyz13yxzvvvzxyz對于不可壓流體，其連續(xù)方程為：對于不可壓縮粘性流體，粘性體膨脹應力為零，其運動方程為： 0zvyvxvzyx222222222222222222zvyvxvzpFDtDvzvyvxvypFDtDvzvyvxvxpFDtDvzzzzzyyyyyxxxxx 并考慮到拉普拉斯算子： 不可壓縮粘性流體的運動方程還可寫為： 2222222zyx222xxxyyyzzzDvpfvDtxDvpfvDtyDvpfvDtz矢量形式為：如果質(zhì)量力只有重力作用，用 代表重力加速度，不可壓縮粘性流體的運動方程的矢量