5.3什么是幾何證明

1、泰安第二十二中學 李繼洋(1)(1)什么是定義什么是定義? ?(2)(2)什么是命題什么是命題? ? 一般地一般地, ,用來說明一個概念含義的語句叫做用來說明一個概念含義的語句叫做這個概念的這個概念的定義定義. . 一般地一般地, ,對某一件事情作出判斷的句子叫對某一件事情作出判斷的句子叫做做命題命題. . 命題通常由命題通常由題設題設( (或條件或條件) )和和結論（結論（或題或題斷斷）兩部分組成兩部分組成. .命題由哪兩部分組成命題由哪兩部分組成? ?（3）怎么判斷一個命題為假命題？怎么判斷一個命題為假命題？舉反例舉反例下列句子哪些是命題下列句子哪些是命題、哪些不是？哪些不是？是命題的指出

2、是命題的指出真假。真假。（1 1）同角的余角相等。）同角的余角相等。（2 2）在直線）在直線ABAB上任取一點上任取一點C C。（3 3）相等的角是對頂角。）相等的角是對頂角。（4 4）全等的兩個三角形的面積相等。）全等的兩個三角形的面積相等。（5 5）不相交的兩條直線叫做平行線。）不相交的兩條直線叫做平行線。（6 6）所有的質數(shù)都是奇數(shù)。）所有的質數(shù)都是奇數(shù)。 是是，真，真不是不是是是，假，假是是，真，真是是,假假是是，假，假下列命題的下列命題的條件條件是什么？是什么？結論結論是什么？是什么？（1 1）如果兩個三角形的兩邊及其夾角對應相等，）如果兩個三角形的兩邊及其夾角對應相等，那么這兩個三

3、角形全等那么這兩個三角形全等條件：條件：兩個三角形的兩邊及其夾角對應相等兩個三角形的兩邊及其夾角對應相等結論：結論：這兩個三角形全等這兩個三角形全等（2 2）直角三角形的兩個銳角互余。）直角三角形的兩個銳角互余。條件：條件：兩個角是一個直角三角形的銳角兩個角是一個直角三角形的銳角結論：結論：這兩個角互余這兩個角互余。（3 3）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。形。條件：條件：一個四邊形的兩條對角線互相平分一個四邊形的兩條對角線互相平分結論：結論：這個四邊形是平行四邊形這個四邊形是平行四邊形2.2.兩點之間線段最短兩點之間線段最短?；臼聦嵒臼聦崳喝?/p>

4、們經(jīng)過長期實踐總結出來被大家公：人們經(jīng)過長期實踐總結出來被大家公認為正確的命題認為正確的命題, ,作為判斷其他命題的依據(jù)。作為判斷其他命題的依據(jù)。這這些公認為正確的命題叫做基本事實。些公認為正確的命題叫做基本事實。 1.1.兩點確定一條直線。兩點確定一條直線。4 4. .兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相 等，那么這兩條直線平行。等，那么這兩條直線平行。本套教材以下列命題作為基本事實本套教材以下列命題作為基本事實3 3. .過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。5 5. .過直線外一點有且只有一條直線與已知直過直線

5、外一點有且只有一條直線與已知直線平行。線平行。6.6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。w等式的基本性質和不等式的基本性質都可等式的基本性質和不等式的基本性質都可以看作以看作基本事實?；臼聦?。w在等式或不等式中在等式或不等式中, ,一個量可以用它的等一個量可以用它的等量來替換量來替換. .例如例如, ,如果如果a=b,b=c,a=b,b=c,那么那么a=c,a=c,這這一性質也看作基本事實一性質也看作基本事實, ,稱為稱為“等量代換等量代換”. .8.8.全三邊分別相等的兩個三角形全等全三邊分別相等的兩個三角形全等7.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三

6、角形全等。兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。兩個角是對頂角兩個角是對頂角這兩個角相等這兩個角相等如果如果，那么那么。第二步：結合圖形寫已知和求證第二步：結合圖形寫已知和求證第一步：命題描述了兩個對頂角，所以畫出兩線相第一步：命題描述了兩個對頂角，所以畫出兩線相交圖形。交圖形。ABCDO條件：條件：AOC和和BOD是對頂角是對頂角結論：結論：AOC=BOD已知已知：求證：求證：在選對頂角時，如果選在選對頂角時，如果選AOD=BOC可以可以嗎？該怎樣書寫已知嗎？該怎樣書寫已知求證？求證？即：對頂角相等。即：對頂角相等。（ 已知已知 ）（ 平角的定義平角的定義 ）（ 等量代換等量代換 ）（ 等角

7、的性質等角的性質 ）例1. 求證：如果兩個角對頂角，那么這兩個角相等。求證：如果兩個角對頂角，那么這兩個角相等。BODAOCBODAOC求證：是對頂角和已知：如圖，CDBAO除基本事實外，命題的真實性都必須經(jīng)過證明，推理的過程叫做除基本事實外，命題的真實性都必須經(jīng)過證明，推理的過程叫做證明。證明。 由已知條件、定義、由已知條件、定義、基本事實基本事實或已經(jīng)證實了的真命題出或已經(jīng)證實了的真命題出發(fā)，通過推理的方法得到證實的真命題稱作發(fā)，通過推理的方法得到證實的真命題稱作定理定理。幾何證明過程的步驟幾何證明過程的步驟（1 1）根據(jù)題意，畫出圖形）根據(jù)題意，畫出圖形。（2 2）結合圖形，寫出已知、求

8、證）結合圖形，寫出已知、求證。（3 3）找出由已知推出求證的途徑，寫出證明）找出由已知推出求證的途徑，寫出證明。證明：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。證明：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。第一步：根據(jù)題目描述，畫圖形為第一步：根據(jù)題目描述，畫圖形為：第二步：結合所畫圖形，根據(jù)條件寫已知為：第二步：結合所畫圖形，根據(jù)條件寫已知為：ABCDEFGH根據(jù)結論寫求證為：根據(jù)結論寫求證為：第三步，寫出證明過程，每一步都要有依據(jù)。第三步，寫出證明過程，每一步都要有依據(jù)。ABCD并被并被EF所截，交點為所截，交點為G、H。BGH=CHG 運用對頂角相運用對頂角相等得一對角等得一對角相等相等

9、運 用 性 質運 用 性 質得同 位 角得同 位 角相等相等 運用等量運用等量代 換 得代 換 得結論結論在 練 習 本上 寫 出過程（已知已知 ）即：兩直線平行，同旁內角互補。即：兩直線平行，同旁內角互補。（ 兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等 ）（ 補角的定義補角的定義 ）（ 等量代換等量代換 ）除基本事實外，命題的真實性都必須經(jīng)過證明，推理的過程叫做除基本事實外，命題的真實性都必須經(jīng)過證明，推理的過程叫做證明。證明。 由已知條件、定義、公理或已經(jīng)證實了的真命題出發(fā)，由已知條件、定義、公理或已經(jīng)證實了的真命題出發(fā)，通過推理的方法得到證實的真命題稱作通過推理的方法得到證實的真命題稱

10、作定理定理?；臼聦?、定理、真命題、命題之間的關系基本事實、定理、真命題、命題之間的關系: :命題命題真命題真命題假命題假命題基本事實基本事實定理定理其它的真命題其它的真命題辨一辨辨一辨:所有的命題都是基本事實。所有的命題都是基本事實。所有的真命題都是定理所有的真命題都是定理 。所有的定理是真命題所有的定理是真命題 。所有的基本事實是真命題所有的基本事實是真命題 。1 1、“兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短”這個語句是（這個語句是（ ） A A、定理、定理 B B、基本事實、基本事實 C C、定義、定義 D D、只是命題、只是命題2.“2.“同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線同一平面內

11、，不相交的兩條直線叫做平行線”這個語句是（這個語句是（ ）A A、定理、定理 B B、基本事實、基本事實 C C、定義、定義 D D、只是命題、只是命題3 3、下列命題中，屬于定義的是（、下列命題中，屬于定義的是（ ）A A、兩點確定一條直線；、兩點確定一條直線； B B、同角的余角相等；、同角的余角相等；C C、兩直線平行，內錯角相等；、兩直線平行，內錯角相等； D D、點、點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度B BC CD D選一選選一選4 4、下列句子中，是定理的是（、下列句子中，是定理的是（ ），是基本），是基本事實的是（事實的是（ ）

12、，是定義的是（），是定義的是（ ），）， A A、若、若a=ba=b，b=cb=c，則，則a=ca=c； B B、對頂角相等、對頂角相等 C C、全等三角形的對應邊相等，對應角相等、全等三角形的對應邊相等，對應角相等 D D、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 E E、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等相等B BA A、C C、E ED D練習練習1、在題中的括號內填寫理由。已知：直線AB/CD,直線EF與AB,CD分別交于點P和Q， AB EF.求證：CD EFDFEBCAPQEFCDPQDEPBEFABPQDE

13、PBCDAB是直角是直角/證明：（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）3 3、如圖，若、如圖，若1=21=2, ,則則3=43=4 ，請用推理的，請用推理的方法說明它是真命題。方法說明它是真命題。134ab2解:1=2 (已知)abab3=4( (兩直線平行兩直線平行, ,內錯角相等內錯角相等) )( (同位角相等同位角相等, ,兩直線平行兩直線平行) )、如圖、如圖, ,若若1+2=1801+2=1800 0, ,則則ab.ab.用推理的方用推理的方法說明它是一個真命題法說明它是一個真命題。ba21用用推理推理的方法判斷為的方法判斷為正確的命題正確的命題叫做叫做定理定理. .數(shù)學中通常挑選一部分人類經(jīng)過長期實踐后數(shù)學中通常挑選一部分人類經(jīng)過長期實踐后公認公認為正確的命題為正確的命題叫做叫做基本事實基本事實 通過本節(jié)課的學習，請